2022年人教版初二数学三角形知识点归纳,推荐文档 2.pdf

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1、- 1 - 三角形几何 A 级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD 平分 BAC BAD= CAD (2) BAD= CAD AD 是角平分线2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线 .（如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD 是三角形的中线BD = CD (2) BD = CD AD 是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫

2、做三角形的高线. （如图）ABCD几何表达式举例：(1) AD 是 ABC 的高ADB=90(2) ADB=90 AD 是 ABC 的高4三角形的三边关系定理：几何表达式举例：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2 - 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）ABC(1) AB+BCAC (2) AB-BCAC 5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）ABC几何

3、表达式举例：(1) ABC 是等腰三角形AB = AC (2) AB = AC ABC 是等腰三角形6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是等边三角形 AB=BC=AC (2) AB=BC=AC ABC 是等边三角形7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余； （如图）（3） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）几何表达式举例：(1) A+ B+ C=180(2) C=90名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

4、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 3 - （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . （1）（2）（3） （4）A+ B=90(3) ACD= A+ B (4) ACD A 8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) C=90 ABC 是直角三角形(2) ABC 是直角三角形C=909等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) C=90CA=CB ABC 是等腰直角三角形(2

5、) ABC 是等腰直角三角形C=90CA=CB 10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等； （如图）（2）全等三角形的对应角相等 .（如图）几何表达式举例：(1) ABC EFG AB = EF DABCABCABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 4 - (2) ABC EFG A= E 11全等三角形的判定：“ SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL” . （如图）（1） （2）（3）几何

6、表达式举例：(1) AB = EF B= F 又BC = FG ABC EFG (2) (3)在 Rt ABC 和 Rt EFG 中AB=EF 又AC = EG Rt ABC Rt EFG 12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等； （如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）AOBCDE几何表达式举例：(1) OC 平分 AOB 又 CD OA CE OB CD = CE (2) CD OA CE OB 又 CD = CE ABCGEFABCGEFABCEFG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 5 - OC 是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 .（如图）ABEFO几何表达式举例：(1) EF 垂直平分 AB EF AB OA=OB (2) EF AB OA=OB EF 是 AB 的垂直平分线14 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）ABCMNP几何表达式

8、举例：(1) MN是线段AB的垂直平分线PA = PB (2) PA = PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等； （即等边对等角） （如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一； （如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60 .（如图）几何表达式举例：(1) AB = AC B= C (2) AB = AC 又BAD= CAD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共

9、 11 页 - - - - - - - - - - 6 - ABC（1）ABCD（2）ABC（3） BD = CD AD BC (3) ABC 是等边三角形A= B= C =6016等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等； （即等角对等边） （如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）ABC（1）ABC（2） （3）ABC（4）几何表达式举例：(1) B= C AB = AC (2) A= B=

10、 C ABC 是等边三角形(3) A=60又 AB = AC ABC 是等边三角形(4) C=90B=30 AC =21AB 17关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形； （如图）几何表达式举例：(1) ABC、EGF 关于MN 轴对称EFMOABCNG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 7 - （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图） ABC EGF

11、(2) ABC、EGF 关于MN 轴对称 OA=OE MN AE 18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边 a、b的平方和等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2； （如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是直角三角形 a2+b2=c2 (2) a2+b2=c2 ABC 是直角三角形19Rt斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半； （如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）DABC几何表达式举例： ABC 是直角三角形

12、D 是AB 的中点 CD = 21AB (2) CD=AD=BD ABC 是直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 8 - 几何 B 级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数 . 二

13、常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和 . 2三角形中，有三条角平分线、 三条中线、三条高线，它们都分别交于一点， 其中前两个交点都在三角形内， 而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外 .注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段 . 3 如图， 三角形中， 有一个重要的面积等式， 即： 若CD AB， BE CA， 则CD AB=BE CA. 4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和 . 5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和 . 6分别含30、 45、 60的直角三角形是特殊的直角三角形. 7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）

14、 AC CB=CD AB ；（2） 1= B ， 2= A . 8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角 . 9全等三角形中， 重合的点是对应顶点， 对应顶点所对的角是对应角， 对应角所对的ABCEDABCD12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 9 - 边是对应边. 10等边三角形是特殊的等腰三角形 . 11几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12符合“ AAA”“S

15、SA”条件的三角形不能判定全等. 13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法； （2）方程分析法； （3）代入分析法； （4）图形观察法. 14几何基本作图分为： （1）作线段等于已知线段； （2）作角等于已知角； （3）作已知角的平分线； （4）过已知点作已知直线的垂线； （5）作线段的中垂线； （6）过已知点作已知直线的平行线. 15会用尺规完成“ SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图. 16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图 .

16、17几何画图的类型： （1）估画图； （2）工具画图； （3）尺规画图. 18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 10 - 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；作辅助线必须符合几何基本作图 . （2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线） 在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角；过D 点作DE BC 交

17、 AB 于E， 构造等腰三角形 . （3）已知三角形中线（若AD 是 BC 的中线） 过 D 点作 DE AC 交 AB于 E，构造中位线 ； 延长 AD 到E， 使 DE=AD 连结 CE 构造全等， 转移线段和角； AD 是中线 S ABD= S ADC （等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC 作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形； 作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，构造新的等腰三角形. BCDAEBCDAEADECBADECBADCBADCBEADCBEADCB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

18、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 11 - （5）其它作等边三角形ABC 一边 的平行线DE， 构造新的等边三角形； 作 CE AB，转移角；延长 BD与AC 交于E，不规则图形转化为规则图形； 多边形转化为三角形；延长 BC 到 D ，使CD=BC，连结 AD，直角三角形转化为等腰三角形； 若 a b,AC,BC 是角平分线,则 C=90 . DACBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -