最新大一高数课件第十一章11-2ppt课件.ppt

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1、一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.设设 1nnu为为正正项项级级数数

2、, ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .5 5. .极极限限审审敛敛法法：例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔

3、 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收收敛敛 NnnmmNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn

4、,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2.2.条件是充分的条件是充分的, ,而非必要而非必要. .例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性

5、性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn7.7.根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )：设设 1nnu是正项

6、级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设设级级数数例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则级数收敛则级数收敛, ,且

7、其和且其和1us , ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其其中中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.例例 5 5 判判别别级级数数 2

8、1)1(nnnn的的收收敛敛性性. .解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定定理理 若若 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.上定理的作用：上定理的作用

9、：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发散发散, ,而而 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛. .例例 6 6 判别级数判别级数 12sinnnn的收敛性的收敛性. .解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交

10、错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当_时收敛时

11、收敛, ,当当_时发散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等等于于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二、二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练练 习习 题题三三、 用用比比值值审审敛敛法法判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、

12、1!2nnnnn. .四四、 用用根根值值审审敛敛法法判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五五、 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛? ?如果是收敛的如果是收敛的, ,是绝对收是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若n

13、nun2lim存在存在, ,证明证明: :级数级数 1nnu收敛收敛 . .八、证明八、证明: :0!lim3 nnnanb. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、发散；、发散； 2 2、发散、发散. .三、三、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛、收敛. .四、四、1 1、收敛；、收敛； 2 2、收敛、收敛. .五、五、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、 ., 1;, 10;, 1发发散散发发散散收收敛敛aaa六、六、1 1、绝对收敛；、绝对收敛； 2 2、条件收敛；、条件收敛； 3 3、条件收敛、条件收敛. .