1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课件--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、14空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 学习目标知识导图1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量(数学抽象)2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系(数学抽象)3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行垂直关系的判定定理(逻辑推理)4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行垂直关系(逻辑推理) 自主探究1怎样用向量表示空间中的点、直线和平面？2怎样求平面的法向量？3怎样用直线的方向向量和平面的法向量表示直线与直线，直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系？阅读课本26-32页，思考下面问题： 知识梳理知识点一空间中

2、点、直线和平面的向量表示 知识梳理 知识梳理 知识梳理向量a 知识梳理知识点二空间中直线、平面的平行u1u2R，使得u1u2unun0n1n2R，使得n1n2知识点三空间中直线、平面的垂直u1u2u1u20unR，使得unn1n2n1n20 知识梳理 知识梳理 判断下列说法是否正确(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直(4)若两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，互相垂直

3、辨 析答案：(1)(2)(3)(4) 典例分析xyzA1D1C1B1ACBOM 典例分析 典例分析总结 利用待定系数法求平面法向量的步骤 abP例题2 证明证明“平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行n u v 典例分析,/,/,/., ababP ab 已已知知：求求证证如如：图图, ,0,.na bu vn un vnn 设设平平面面 的的法法向向量量为为直直线线的的方方向向向向量量分分别别为为则则由由已已知知条条件件可可得得由由此此可可以以证证明明分分析析：与与平平面面内内的的任任意意一一个个向向量量垂垂直直 即即

4、 也也是是的的法法向向量量n abPu v ,/,/,/., ababP ab 求求证证：知知如如：已已图图, .na bu v 如如 图图 取取 平平 面面的的 法法 向向 量量直直 线线的的 方方 向向 向向 量量 分分 别别 为为证证 明明 ：/,/,0,0.abn un v 因因 为为所所 以以, R,ababPQxy 因因为为所所以以对对于于任任意意点点存存在在使使得得.PQxuyv ()0,n PQnxuyvxn uyn v 从从而而,/.n 所所以以 向向量量 也也是是平平面面的的法法向向量量 故故 典例分析 典例分析11111111,4,3,2.,/?ABCDA B C DAB

5、BCCCB CPA PACD 如如图图 在在长长方方体体上上是是否否存存在在点点使使平平面面中中得得例题3ABCDD1A1B1C1xyzPDDA DC DDxyzACDACAD111,(3, 0, 0),(0, 4, 0),(0, 0, 2),( 3,4,0),( 3,0,2). 解解： 以以 为为原原点点所所在在直直线线分分别别为为 轴轴、 轴轴、轴轴 建建立立如如图图所所示示空空间间直直角角坐坐标标系系，则则 nx y zACDxzn ACxyn ADxzyz 11( , ),2,340,31320.2 设设是是平平面面的的法法向向量量 则则即即zxynACD16,4, 3.,(4,3,6

6、). 取取则则所所以以是是平平面面的的一一个个法法向向量量1111(3, 0,2),(0, 4, 0),(3, 4, 2),(0,4,0),( 3,0, 2).ACBA BB C 由由得得 典例分析ABCDD1A1B1C1xyzP1111111(01),( 3 ,0, 2 ),( 3 ,4, 2 ).PB PB CB PA PA BB P 设设点点 满满足足则则所所以以n A PP110,1212120,2. 令令得得解解得得这这样样的的点点 存存在在111111,2/.B PB CPB CA PACD 所所以以 当当即即 为为的的中中点点时时平平面面分析：为基底，根据条件，可以1AAADAB

7、，和平面并用基向量表示111BBDDAC的法向量即可是平面再通过向量的运算证明111BBDDCA1111111111601 BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体1A1C1BCBAD1D1=0|P AC BP 典例分析例题41111111111601 BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体1A1C1BCBAD1D 典例分析例题4解：为空间的一个基底，且，则，设1cbacAAbADaABcBBabBDcbaCA11，601111BADADAABAAAADAB，211222cac

8、bbacba，【基底法】比【坐标法】更具有一般性11PBDD B 则对于平面上的，存在唯一的有序实数任意对，使一点得(,)1BPBDBB BPCA1)(11BBBDCA111BBCABDCAccbaabcba)()()(0的法向量是平面111BBDDCA111BBDDCA平面为基向量，上，取在平面111BBBDBBDD1A1C1BCBAD1D 典例分析例题5 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.求证：已知，如图，, ll l u n证明：nul的法向量平面的方向向量取,l的法向量是平面u的法向量是平面，nl nu 典例分析.,)2(,/) 1 (.

9、) 3 , 2 , 1 (),(), 3(. 1的值求若的关系式；求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知balbalnlRbababau/) 1 (l解：nu 0)(3)(23babanu035ba 课堂练习.,)2(,/) 1 (.) 3 , 2 , 1 (),(), 3(. 1的值求若的关系式；求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知balbalnlRbababau 课堂练习l)2(解：nu/3213baba23215ba96baba1111111.,1. 2BCCADDDCDADDCBAABCD求证：间直角坐标系为单位正交基底建立空为原点，以的棱长为已知正方体解：由题意可得：11(1

10、0 1)(11 0)(0 1 0)(0 11), , , , , ,ABCC) 101(,) 111(11，BCCA01) 1(01) 1(111BCCA11BCCA11BCCAA1B1C1D1ABCDzyxO 课堂练习.12. 31111111EFDEADBCFCDECCBCABDCBAABCD平面求证：平面的中点为的中点，为，中，如图，在长方体1,DDA DC DDxyz解：以 为原点所在直线分别为 轴、轴、 轴 建立如图所示空间直角坐标系.)0 , 2 ,21(),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 (1FEDA1111(101)(011)(21)2D A

11、D ED F ， ， ， ，xyzA1D1C1B1ACBOEF11111()nx y zEAD设, ,是平面的一个法向量，则1111111100n D Axzn D Eyz 1111xzyz即 课堂练习11111zxy取，则) 111 (1，n121 (2) 1 1 1 10n n 21nn 11EFDEAD平面平面xyzA1D1C1B1ACBOEF22221()nxyzEAD 设,是平面的一个法向量，则21222212212020nD FxyznD Eyz 22222xzyz 即222121zxy取，则，2(211)n ， ， 课堂练习 课堂小结线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直21/ll2121,/uuRuu使得/l0nunu/2121,/nnRnn使得21ll02121uuuu/lnuRnu使得,/02121nnnn