最新向量的内积、长度及正交性ppt课件.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页v向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令x yx1y1x2y2 xnynx y称为向量x与y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有x yxTy下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个基规范正交化 v施密特正交化方法 设a1

2、a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 下页上页下页铃结束返回首页v施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 11ab 1112122 , ,bbbabab 111122221111 , , , , , , rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 下页上页下页铃结束返回首页 例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组

3、向量规范正交化 解 令b1a11113512164131 , ,1112122bbbabab10121113512131014 , , , ,22221113133bbbabbbbabab再令 e1 e2 e3即为所求 12161|111bbe1113512164131 , ,1112122bbbabab 10121113512131014 , , , ,22221113133bbbabbbbabab 12161|111bbe12161|111bbe11131|222bbe11131|222bbe10121|333bbe11131|222bbe10121|333bbe10121|333bbe

4、下页上页下页铃结束返回首页 例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即x1x2x30 它的基础解系为 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T把基础解系正交化 即得所求 亦即取 解 10112 a 1212110121110 , ,1112122 a1212110121110 , ,1112122 a 下页上页下页铃结束返回首页v正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基 正交矩阵举例 2121000021212121212121212121P 下页上页下页铃结束返回首页v正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵 v正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵 v正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换 设yPx为正交变换 则有 |xxxxxyyyTTTTPP 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变) 这是正交变换的优良特性 结束15 结束语结束语