惠州市2019届高三第一次调研考试(理数).pdf

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1、1 惠州市 2019 届高三第一次调研考试数学（理科）全卷满分150 分，时间120 分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）复数52i的共轭复数是（）(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i

2、（2） 已知集合21Mx x，1Nx ax， 若NM， 则实数a的取值集合为 （）(A) 1(B) 1,1(C) 1,0(D) 1,1,0（3）函数22( )2cossin+2f xxx的最小正周期为，则=（）(A) 32(B) 2(C) 1(D) 12（4）下列有关命题的说法错误的是（）(A) 若“pq” 为假命题，则p与q均为假命题；(B) “1x” 是“1x” 的充分不必要条件；(C)若命题200R0pxx：，则命题2R0pxx：，；(D) “1sin2x” 的必要不充分条件是“6x”.（5） 已知各项均为正数的等比数列na中，11a，32a，5a，43a成等差数列， 则数列na的前n项

3、和nS（）(A)21n(B)121n(C)12n(D)2n（6）“ 牟合方盖 ” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）(A) (B) (C) (D)2 （7）若函数2( )xf xa，( )log |ag xx（0a，且1a） ，且(2)(2)0fg，则函数( )f x，( )g x在同一坐标系中的大致图象是（）(A) (B) (C) (D) （8）对

4、一个作直线运动的质点的运动过程观测了8 次，得到如下表所示的数据. 观测次数i1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据ia40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这 8 个数据的平均数)，则输出的S的值是（）(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9（9）已知1F和2F分别是双曲线222210,0 xyabab的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F ABV是等边三角形， 则该双曲线的离心率为( ) (A) 3+12(B) 31(C) 31(D) 2（10） 已知正四棱锥的

5、侧棱与底面的边长都为3 2， 则这个四棱锥外接球的表面积为（）(A) 108(B) 72(C) 36(D) 12（11） 已知函数( )lnfxxxx，若kZ且(2)( )k xf x对任意2x恒成立， 则k的最大值为（）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 （12）设抛物线24yx的焦点为F，过点2,0的直线交抛物线于,A B两点，与抛物线准线交于点C，若25ACFBCFSSVV，则AF（）(A) 23(B) 4 (C) 3 (D) 2 输出 S 结束输入iai=1 是开始2()iSSaai= i +1 S=0i 8 ?否S= S / 83 二填空题：本题共4 小题，每小题5 分。

6、（13）若实数 x，y 满足的约束条件101010 xyxyy，则函数2zxy的最大值是（14）已知向量(2,1),( ,1)abxrr，且abrr与br共线，则x的值为（15）某公司招聘5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2 名英语翻译人员不能分给同一部门，另3 名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是（16）已知数列na是公差不为0 的等差数列，对任意大于2 的正整数n，记集合,1ijx xaa iN jNijn的元素个数为nc，把nc的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17 行由左向右数第10 个数为 _3c4c5c6c7c8c9c10c11c12c三解答题：

7、共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。（17） （本小题满分12 分）在ABC中，锐角C满足252sincos 232CC. （1）求角C的大小；（2）点P在BC边上，3PAC，3PB，3 57sin38BAP，求ABC的面积。4 （18） （本小题满分12 分）如图， 直四棱柱1111DCBAABCD的底面是菱形， 侧面是正方形，060DAB，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、1C、E的平面交棱1BB于点F，BFFB21（1）求证：平面EAC1平面11BBCC；（2）求

8、二面角CACE1的平面角的余弦值（19） （本小题满分12 分）如图，椭圆E：222210 xyabab经过点0, 1A，且离心率为22（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E 交于不同两点P， Q（均异于点A），证明：直线AP 与 AQ 的斜率之和为定值（20） （本小题满分12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70 元，每单抽成2 元；乙公司无底薪， 40 单以内 (含 40 单)的部分每单抽成4 元， 超出 40 单的部分每单抽成6 元 假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天

9、的送餐单数，得到如下频数表：（1）现从甲公司记录的这100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40 的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元 ), 求X的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由. 甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42 天数20 40 20 10 10 乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42 天数10 20 20 40 10 AB1A1BCF1CD1DE5 （21）（本小题满分12 分

10、）已知函数2xfxxea aR，（1）试确定函数fx的零点个数；（2）设1x，2x是函数fx的两个零点，证明：122xx（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22） （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心 C2,4，半径3r（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）若0,4，直线l的参数方程为2cos2sinxtyt（t为参数），直线l交圆 C于 A、B 两点，求弦长AB的取值范围（23） （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知函数( )32f xxx

11、k（1）若( )3f x恒成立，求k的取值范围；（2）当1k时，解不等式：( )3f xx6 数学（理科）参考答案一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B D C D A B A B C C B D （1） 【解析】 B；522ii，其共轭复数为2 i；（2） 【解析】 D；注意当0a时，N，也满足NM，故选 D；（3） 【解析】 C；2235( )2cossin+2cos222f xxxx，2=2T，=1；（4） 【解析】 D；由题可知：6x时，1sin2x成立， 所以满足充分条件；但1sin2x时，x不一定为6，所以必要条件不成立，故D 错；（ 5） 【

12、解析】A ；设na的公比为q，则534223aaa，2333223a qaa q，2223qq，2q或12q（舍），1121 2221nnnnSaaa；（6） 【解析】 B；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2 条对角线且为实线的正方形，故选B；（7） 【解析】 A；由题意2xfxa是指数型的，logag xx是对数型的且是一个偶函数，由220fg，可得出20g，故 log20a，故01a，由此特征可以确定 C、D 两选项不正确，且2xf xa是一个减函数，由此

13、知B 不对， A 选项是正确答案，故选A；（8） 【解析】 B；14041434344464748448xQ，22222222214311023478s.故选 B；（9）【解析】C； 设12=2F Fc，2ABFQV是等边三角形，21=30AFFo，12,3AF c AFc=，32cca，因此31cea.故选 C；7 （10） 【解析】 C；可求出正四棱锥的高为3设其外接球的半径为R，则由两者的位置关系可得22233RR，解得3R，所以2436SR故选 C. （11） 【解析】 B；考虑直线(2)yk x与曲线( )yf x相切时的情形。设切点为()mf m(，），此时()0()2f mfmm

14、，即ln2ln2mmmmm，化简得：4 2ln0mm，设()42lng mmm，由于222()42ln0g eee，333()42ln0g eee。故23eme，所以切线斜率= ()=2lnk fmm的取值范围是4,5，又kZ，max4k，选 B；（12） 【解析】 D；设直线:2lyk x，1122,A x yB xy，将直线方程代入抛物线方程得：22224 140k xkxk， 由韦达定理得：124x x，分别过点,A B作准线的垂线11,AA BB，垂足分别为点11,A B，11121215ACFBCFACAAAFSxSBCBBBFxVV，即125230 xx，解得11x，2AF，故选

15、D。二、填空题：（13）3（14）2（ 15）12（16）293（13） 【解析】画出不等式组101010 xyxyy表示的平面区域，2zxy在点21，处取得最大值，max3z（14） 【解析】向量2,1ar，,1bxr，2,2abxrr，又abrr与br共线，可得22xx，解得2x（15） 【解析】由题意可得，有2 种分配方案：8 甲部门要2 个电脑编程人员， 则有 3种情况； 两名英语翻译人员的分配有2 种可能；根据分步计数原理，共有3 2=6 种分配方案甲部门要1 个电脑编程人员，则有 3 种情况电脑特长学生，则方法有3 种；两名英语翻译人员的分配方法有2 种；共 3 2=6 种分配方案

16、由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12 种。（16） 【解析】设11naand，则122ijaaaijd，由题意1ijn，当1i，2j时，2ij取最小值1， 当1in，jn时，2ij取最大值23n，易知2ij可取遍1,2,3,23n，即233ncnn.数阵中前16 行共有1 2316 136个数，所以第17 行左数第10 个数为1482 148 3293c。三、解答题：（17）解析：（1）252sincos 232CCQ，51cos2cos 232CC2 分133cos2cos2sin2222CCC，3cos 262C，4分又72666C，3C. 6 分（2）由（ 1）可知APCV

17、为等边三角形，且23APB，在APBV中 ，2sinsin3PBABBAP， 即323 57sin338AB，19AB，9 分22222cos3ABPAPBPA PB，即21993PAPA，2PA，故2 35BC，2AC11分15 3sin232ABCSCA CBV12分9 （18） （1）设四棱柱1111ABCDABC D的棱长为a12BFBF，11BC FBEF，2aBE由060DABABE，0120ABC，得32aAE，3ACa2 分32aCE，222AECEAC，AECE3 分1111ABCDABC D是直四棱柱，1CCABCD，又AEABCD，1CCAE，1CECCCI，AE平面11

18、BCC B4 分AE平面1ACE，平面1ACE平面11BCCB5 分（2）（方法一）过C作1CGAC于G，1CHC F于H，连接GH 6 分由平面1ACE平面11BCC B，平面1ACEI平面111BCCBCE，CH平面1ACE7 分1CHAC，又1CGAC，CGCHCI，1AC平面CGH，1ACGH，CGH是二面角1EACC的平面角9 分在1Rt ACC中，3ACa，1CCa，12ACa，32CGa ，在1Rt ECC中，32CEa，1CCa，1132ECa，3 1313CHa（32CGa 、3 1313CHa（求得任何一个给2 分，两个全对给 3 分）223926GHCGCHa，13cos

19、13GHCGHCG 12分（方法二）以E为原点，EC、EA所在直线为x轴、y轴，平行于1BB的直线1EE为10 z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)E，3(0,0)2Aa，13(,0,)2Caa7 分设平面1EAC的一个法向量为( , , )np q ru u r，则1302302nEAaqnECaparu u r u uu ru u r u uu u r即0320qpr，不妨取( 2,0,3)nu u r，9 分由（1）知1(,0,0)2Ba，3( ,0)2D aa，平面11BCC B的一个法向量为113(,0)22nBDaau ruuu r 11分二面角1EACC的平面角的余弦值11|

20、13cos13| |nnnnur uu ruru u r 12分（19）解：（ 1）由题意知2222aba，b1，2a，2 分所以椭圆 E 的方程为2212xy4分（2）证明：设直线PQ 的方程为yk(x1)1(k2) ，代入2212xy，得 (12k2)x24k(k1)x2k(k2) 0，由题意知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且 x1x20 ，则1224112kkxxk，1222212k kx xk，6 分所以121212121212112222APAQyykxkkxkxxkkkkxxxxx x9 分4122221222k kkkkkk k故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为

21、定值2 12 分11 （ 20 ） 解 ：（ 1 ）记 “抽 取 的 两 天 送 餐 单 数 都 大 于40”为 事 件M， 则220210019()495CP MC；4分（2） （）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当38a时，38 4152X； 当39a时，39 4156X；当40a时，40 4160X；当41a时，40 4 1 6 166X；当42a时，40 42 6172X所以X的所有可能取值为152，156，160，166，1726 分故X的分布列为：X152 156 160 166 172 P11015152511011121()1521561601661721621055510E X

22、8 分（）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38 0.2 39 0.4 40 0.241 0.1 42 0.1 39.5 10分所以甲公司送餐员日平均工资为702 39.5 149元 11 分由（）得乙公司送餐员日平均工资为162元因为149 162，故推荐小明去乙公司应聘 12 分（21）解： （ 1）由0f x得2xax e，令2xg xx e，函数fx的零点个数即直线ya与曲线2xg xx e的交点个数，21xxxgxex ex eQ1 分如图，由0gx得1x，函数g x在,1单调递增，由0g x得1x，函数g x在1,单调递减。当1x时，函数g x有最大值，max1gxge3 分又当

23、2x时，0g x，20g，当2x时，0g x当ae时，函数fx没有零点；当ae或0a时，函数fx有一个零点；当0ae时，函数fx有两个零点。6 分（2）证明：证法一：12 函数fx的零点即直线ya与曲线2xg xx e的交点横坐标，由（ 1）知0a，不妨设121xx，得221x，函数2xg xx e在,1上单调递增，在1,上单调递减，函数fxg xa在,1单调递减，在1,上单调递增；要证122xx，只需证122xx，只需证122fxfx，8 分又10fx，即要证220fx由2ag x得2222222222221xxxfxx eax exex构造函数22xxh xxexe，则21xxhxxee，

24、 10分当1x时 ，2xxee，0h x， 即 函 数h x在1,上 单 调 递 减 ，10h xh，即当21x时，220fx，即122xx. 12分证法二：由（ 1）知0a，不妨设121xx，设21F xfxfxx，22xxF xxexe，8 分由21xxFxxee， 易 知2 xxyee是 减 函 数 ， 当1x，20 xxeeee，又10 x，得0Fx，所以Fx在1,递增，10F xF，即2fxfx10 分由21x得222fxfx， 又210fxfx，212fxf x，由2xg xx e在,1上单调递增，得fxg xa在,1单调递减，又221x，212xx，即122xx. 12分（22）

25、解： （ 1）点 C2,4的直角坐标为1,1，1 分圆 C 的直角坐标方程为22113xy2 分化为极坐标方程是22cossin104分（2）将2cos2sinxtyt代入圆 C 的直角坐标方程22113xy，得221cos1sin3t，即22 cossin10tt6 分122 cossintt，121tt 7 分13 212121242 2sin 2ABtttttt9 分0,4，20,2，2 22 3AB即弦长 |AB|的取值范围是2 2,2 3 10 分（23）解： （ 1）由题意，得323xxk，对 ? xR 恒成立，即min323xxk，又32321xxxx，min3213xxk，解得2k；4分（2）当1k时，不等式可化为3213fxxxx，当2x时，变形为56x，解得65x，此时不等式解集为625x；当23x时，变形为32x，解得：23x，此时不等式解集为23x；当3x时，不等式解得：4x，此时不等式解集为3x，综上，原不等式的解集为6,5 10 分