高等数学A2复习题(2015).pdf

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1、1 高等数学 A（2）复习题一、多元函数微分学1求极限（ 1）xxyyxsinlim)2,0(),(；（ 2）xyxyyx11lim)0,0(),(；（ 3）2222)0,0(),(cos1)(limyxyxyx；（ 4）yxyxxyexy)1ln(lim)0,1(),(；（ 5）2222)0,0(),(1sin)(limyxyxyx。2求全微分、全导数、偏导数（ 1）)1sin(2yezx，求dz；（ 2）设函数f具有一阶连续偏导数，),2cos(xexfy，求dxdy；（ 3）设)sin,2(xyyxfz，其中f具有连续的偏导数，求：yzxz,；（ 4）设),(yxzz是由方程32zxye

2、z确定的隐函数，求yzxz,。3求切线方程、切平面方程、法线及法平面方程（1）求曲线1,cos,sinteztyttx在点（ 0，1，0）处的切线方程和法平面方程。（2）求曲面72xyzez在点（ 2，3，0）处的切平面方程和法线。（3）在曲面xyz上求一点，使这点处的法线垂直于平面093zyx，并写出该法线方程。4求方向导数与梯度（1）函数xyyxz22在点) 1 ,1 (处沿什么方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多2 少？（2）求函数)ln(2zyzxeuy在点A（1，0， 1）处方向导数的最大值和方向导数取最大值的方向，并求在点A（1，0，1）处沿点A 指向点 B)2,2,3(方向的

3、方向导数。5求函数极值、应用拉格朗日乘数法求实际最值问题（1）求函数2233331yxyxz的极值。（2）求函数zxy在条件1xy下的极大值。（应用拉格朗日乘数法）（3）在曲面2224zxy上求一点，使它到平面231xyz的距离最近。（应用拉格朗日乘数法）（4）设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用, x y（单位：万元）之间的关系为：200100510 xyRxy，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大。（应用拉格朗日乘数法）二、重积分与应用1二重积分计算与应用（1）设D由21xy和0y所围成，求

4、Ddyx22。（2）设 D 由xy与2xy所围成，求dxdyxD。（3）交换积分次序10sinxxdyyydx。（4）计算112022dyxydx。（5）设平面薄片所占的闭区域D为4122yx，它的面密度yxyx1),(，求该平面薄片的质量。（6）设均匀薄片由0, 1422yyx确定，求薄片的质心（1） 。（ 7） 设),(yxf连 续 ， 且22( , )( , )Df x yxyf x y dxdy， 其 中D是 圆 形 区 域224xy，求( , )f x y。3 2三重积分计算与应用（1）设是由三个坐标平面与平面1zyx所围成，求积分dvx2。（2）计算dxdydzyx)(22，其中是

5、由221yxz与平面0z所围成的区域。（3）计算重积分22()zxydv，其中是由圆柱面221xy和平面0,1zz所围成的闭区域。（4）求由球面224zxy和圆锥面22zxy所围成的立体的体积。（ 5） 设为 曲 面22yxz与22yxz围 成 的 封 闭 区 域 ， 它 的 密 度 函 数 为zzyx),(，求关于z轴的转动惯量。三、曲线、曲面积分1求第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）设L为上半圆周24xy，求dseLyx22。（2）设 L 是连接点（ 0，0）与点（ 1，2）的直线段，求Ldsyx)(。（3）计算曲线积分()xyz ds，其中是连接点(1,1,1)A与点 B（2，3，

6、 4）的直线段。2求第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）设曲线L为抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)一段弧，求曲线积分Ldxyx)(22。（2）设是从（ 1，1，1）到（ 2，3，4）的直线段，求zdzydyxdx。3应用格林公式（1）计算dyyxxdxyxL)()1(3332，其中L为圆周422yx，取正向。（2）计算曲线积分dyyxyxdxxyxL)2sin2()cos31(22，其中L是沿上半圆周)0(22axay从点)0,(aA到点)0,( aB的一段弧。4求第一类曲面积分（对面积的曲面积分）（1）求曲面22yxz被曲面222yxz所截下的那部分曲面的面积。（2）设为曲面)

7、 10(22zyxz，求dSzyx)(。5求第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）（1）计算曲面积分dxdyz3，其中为抛物面22yxz介于平面1,0 zz之间的部分，取上侧。4 （2）计算曲面积分dxdyeyxdzdxzdydzyz)(22，其中是由曲面22yxz与平面1z所围成立体的表面，取外侧。四、无穷级数1判断下列级数的敛散性（1）11( 1)3nnnn。（2）132321)1(nnnn。（3）12sinnnn。（4）1224cosnnnn。（5）41!nnn。2若幂级数0) 1(nnnxa在2x处收敛，判断幂级数0nnnxa在2x处的收敛性。3将函数12)(xexf在1x处展开为幂级数，

8、并求收敛域。4 将函数xxf1)(展开成)3(x的幂级数，并求其收敛域。5将函数231)(2xxxf展开为1x的幂级数，并求收敛域。6将函数)23ln()(2xxxf展开为2x的幂级数，并求收敛域。7求幂级数01) 1(4nnnnx的收敛域，并求和函数。8求幂级数113)1(nnnnnx的收敛域，并求和函数9将函数xxxxf2,20, 1)(展开为余弦级数10cos2nnnxaa，讨论此余弦级数的收敛于)(xf情况，并求出余弦级数的和函数。（不必求出余弦级数的具体形式）10将函数xxxxxf00)(展开为傅里叶级数，求系数1a。五、微分方程1求下列微分方程的通解5 （ 1）23xyxydxdy；（ 2）xyydxdyx2； （0 x）（ 3）xy2cos；（ 4）yxyx2)1(2。2求微分方程初值问题的解：1)(cosyxxxyy。3二阶线性常系数齐次微分方程的通解为)2sin2cos(21xcxceyx，求此微分方程。4求微分方程052)4(yyy的通解。5求微分方程xeyyy2的通解。6求微分方程xxyyysincos323的通解。7已知连续可微函数)(xf满足1)0(f，且使曲线积分dyxfydxxyfyexL)()(312与路径无关，求)(xf。8设函数)(xf连续，且满足xxxdttfxdtttfexf00)()()(，求)(xf。