相交线与平行线常考题目及答案绝对经典.pdf

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1、. .页脚 . 相交线与平行线一选择题（共 3 小题）1在同一平面内，有8 条互不重合的直线， l1，l2，l3l8，若 l1l2，l2l3，l3l4，l4l5以此类推，则 l1和 l8的位置关系是（）A平行B垂直C平行或垂直 D无法确定2如图，直线 AB、CD 相交于 O，OEAB，OFCD ，则与 1 互为余角的有（）A3 个B2 个 C1 个D0 个3如图所示，同位角共有（）A6 对B8 对 C10 对D12 对. .页脚 . 二填空题（共4 小题）4一块长方体橡皮被刀切了3 次，最多能被分成块5如图， P 点坐标为（ 3，3） ，l1l2，l1、l2分别交 x 轴和 y 轴于 A 点和

2、 B点，则四边形 OAPB 的面积为6如图，直线 l1l2， 1=20 ，则 2+3= 7将一副学生用三角板按如图所示的方式放置若AEBC，则 AFD 的度数是评卷人得分三解答题（共43 小题）8已知：直线 EF 分别与直线 AB，CD 相交于点 F，E，EM 平FED，ABCD ，H，P 分别为直线 AB 和线段 EF上的点. .页脚 . （1）如图 1，HM 平分 BHP，若 HPEF ，求 M 的度数（2）如图 2，EN 平分 HEF交 AB 于点 N，NQ EM 于点 Q，当 H 在直线AB 上运动（不与点 F重合）时，探究 FHE与ENQ 的关系，并证明你的结论9我们知道，两条直线相

3、交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n 条直线最多有多少个交点？说明理由10如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分 EOC （1）若EOC=70，求BOD 的度数（2）若 EOC：EOD=4 ：5，求 BOD 的度数11如图，直线 EF，CD 相交于点 0，OA OB，且 OC 平分 AOF，（1）若AOE=40，求BOD 的度数；（2）若AOE=，求 BOD 的度数； （用含 的代数式表示）（3）从（ 1） （2）的结果中能看出 AOE 和BOD 有何关系？12如图 1，已知 MN PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ

4、 上，A 在 B 的左侧， D在 C 的右侧， DE 平分 ADC ，BE平分 ABC，直线 DE、BE交于点 E，CBN=100（1）若ADQ=130，求BED 的度数；. .页脚 . （2）将线段 AD 沿 DC 方向平移，使得点 D 在点 C 的左侧，其他条件不变，若 ADQ=n，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示）13如图，将含有 45角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上，若 1=26 （1）求 2 的度数（2）若3=19 ，试判断直线n 和 m 的位置关系，并说明理由14如图，已知直线 l1l2，l3、l4和 l1、l2分别交于点 A、B、C、D，点 P 在直线

5、 l3或 l4上且不与点 A、B、C、D 重合记 AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若点 P 在图（1）位置时，求证： 3=1+2；（2）若点 P 在图（2）位置时，请直接写出1、2、3 之间的关系；（3）若点 P 在图（3）位置时，写出 1、2、3 之间的关系并给予证明15如图，已知 ABPNCD . .页脚 . （1）试探索 ABC ，BCP 和CPN 之间的数量关系，并说明理由；（2）若ABC=42，CPN=155，求 BCP 的度数16如图， AD BC，EAD=C，FEC=BAE， EFC=50（1）求证： AECD ；（2）求 B 的度数17探究题：（1）如图 1，若 ABC

6、D ，则 B+D=E，你能说明理由吗？（2）反之，若 B+D=E，直线 AB 与直线 CD 有什么位置关系？简要说明理由（3）若将点 E 移至图 2 的位置，此时 B、D、E 之间有什么关系？直接写出结论（4）若将点 E 移至图 3 的位置，此时 B、D、E 之间有什么关系？直接写出结论（5）在图 4 中，ABCD ，E+G 与B+F+D 之间有何关系？直接. .页脚 . 写出结论18如图 1，ABCD ，在 AB、CD 内有一条折线 EPF（1）求证： AEP+CFP=EPF （2）如图 2，已知 BEP的平分线与 DFP 的平分线相交于点Q，试探索EPF与EQF 之间的关系（3）如图 3，

7、已知 BEQ=BEP，DFQ=DFP，则 P 与Q 有什么关系，说明理由（ 4）已知 BEQ=BEP， DFQ= DFP，有 P 与 Q的关系为 （直接写结论）19如图所示， L1，L2，L3交于点 O，1=2，3：1=8：1，求 4 的度数20 如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案， 其中1=50 ， 2=50 ， 3=130 ，找出图中的平行线，并说明理由21如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分 BOD. .页脚 . （1）若AOC=70，DOF=90，求 EOF 的度数；（2）若 OF 平分 COE ， BOF=15，若设AOE=x则 EOF= （用含 x 的代数式表示

8、）求 AOC 的度数22如图，直线 AB、CD 相交于点 O，已知AOC=75， OE 把BOD分成两个角，且 BOE：EOD=2 ：3（1）求 EOB 的度数；（2）若 OF 平分 AOE，问： OA 是COF 的角平分线吗？试说明理由23如图，直线 AB、CD 相交于点 O， AOC=72，射线 OE 在BOD的内部， DOE=2 BOE（1）求 BOE 和AOE 的度数；（2）若射线 OF 与 OE 互相垂直，请直接写出DOF 的度数24 如图， 直线 AB， CD 相交于点 O ， OA 平分 EOC ， 且EOC ： EOD=2：. .页脚 . 3（1）求 BOD 的度数；（2）如图

9、 2，点 F 在 OC 上，直线 GH 经过点 F，FM 平分 OFG，且MFH BOD=90，求证：OEGH25如图，直线 ABCD 相交于点 O，OE 平分 BOC ， COF=90（1）若BOE=70，求 AOF 的度数；（2）若 BOD： BOE=1：2，求 AOF 的度数26几何推理，看图填空：（1） 3=4（已知）（）（2） DBE=CAB （已知）（）（3） ADF+ =180 （已知）AD BF（）27如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分 BOD. .页脚 . （1）若AOC=68，DOF=90，求 EOF 的度数（2）若 OF 平分 COE ， BOF=30，求

10、AOC 的度数28将一副三角板拼成如图所示的图形，DCE 的平分线 CF 交 DE 于点 F（1）求证： CFAB（2）求 DFC 的度数29看图填空，并在括号内注明说理依据如图，已知 AC AE，BDBF， 1=35 ，2=35 ，AC 与 BD 平行吗？AE 与 BF平行吗？解：因为1=35 ，2=35 （已知），所以1=2所以（） 又因为 AC AE（已知） ，所以EAC=90（）所以EAB=EAC+ 1=125同理可得， FBG=FBD+2= 所以EAB=FBG（） 所以（同位角相等，两直线平行） . .页脚 . 30已知如图所示， B=C，点 B、A、E在同一条直线上， EAC= B

11、+C ，且 AD 平分 EAC，试说明 ADBC 的理由31如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 把BOD 分成两部分；（1） 直接写出图中 AOC 的对顶角为， BOE 的邻补角为；（2）若AOC=70，且 BOE：EOD=2 ：3，求 AOE 的度数32 如图， 已知 ABCD ， 现将一直角三角形PMN 放入图中，其中P=90 ，PM 交 AB 于点 E，PN 交 CD 于点 F（1）当 PMN 所放位置如图所示时，则PFD 与 AEM 的数量关系为；（2）当 PMN 所放位置如图所示时，求证：PFD AEM=90；（3） 在 （2） 的条件下，若 MN 与 CD 交于点 O， 且

12、 DON=30， PEB=15，求N 的度数. .页脚 . 33阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为 1+ 2=180 ， 2+ 4=180 （已知）所以 1=4， （）所以 ac （）又因为 2+ 3=180 （已知）3=6（）所以 2+ 6=180 ，（）所以 ab （）所以 bc （）34已知：如图， ABCD ，FGHD， B=100 ， FE为CEB 的平分线，求EDH 的度数35已知：如图， ABCD ，FE AB 于 G， EMD=134，求GEM 的. .页脚 . 度数36如图， B 和D 的两边分别平行（1）在图 1 中， B 和D 的数量关系是，在图 2

13、中， B 和D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图 1 或图 2 中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2 倍，求这两个角的度数37已知 AD BC，ABCD ，E为射线 BC 上一点， AE 平分 BAD（1）如图 1，当点 E在线段 BC 上时，求证： BAE=BEA（2）如图 2，当点 E在线段 BC 延长线上时， 连接 DE，若ADE=3 CDE， AED=60求证： ABC= ADC ；求 CED 的度数. .页脚 . 38如图，已知 ab，ABCDE 是夹在直线 a，b 之间的一条折线，试研究1、2、3、4、5 的大小之

14、间有怎样的等量关系？请说明理由39如图， ABDC ，增加折线条数，相应角的个数也会增多，B，E，F，G，D 之间又会有何关系？40已知直线 ABCD ，（1）如图 1，点 E在直线 BD 上的左侧，直接写出 ABE，CDE 和BED之间的数量关系是（2）如图 2，点 E 在直线 BD 的左侧， BF，DF 分别平分 ABE，CDE，直接写出 BFD 和BED 的数量关系是（3）如图 3，点 E 在直线 BD 的右侧 BF，DF 仍平分 ABE，CDE，那么BFD 和BED 有怎样的数量关系？请说明理由41 （1）如图，直线a ，b，c 两两相交， 3=21， 2=155 ，求 4的度数（2）

15、如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分 BOD，OF 平分 COE ，AOD ：BOE=4：1，求 AOF 的度数. .页脚 . 42如图，已知CD DA ，DA AB，1=2试说明 DFAE请你完成下列填空，把解答过程补充完整解： CD DA ，DA AB， CDA=90，DA B=90 （）CDA= DAB （等量代换）又1=2，从而 CDA 1=DAB （等式的性质）即3= DFAE （） 43如图 1，ABCD ，EOF 是直线 AB、CD 间的一条折线（1）说明： O= BEO+DFO（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则 BEO、O、P、PFC 会满足怎样的关系，证明你

16、的结论（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次折n 次，又会得到怎样的结. .页脚 . 论？请写出你的结论44如图，已知1=60 ，2=60 ，MAE=45，FEG=15，EG平分 AEC， NCE=75求证：（1）ABEF （2）ABND45如图， E=1，3+ ABC=180 ，BE是ABC 的角平分线求证： DFAB46已知，直线 ABCD ，E为 AB、CD 间的一点，连结 EA、EC（1）如图，若A=30 ，C=40，则AEC= （2）如图，若A=100 ，C=120 ，则AEC= （3）如图，请直接写出 A，C 与AEC 之间关系是47如图，已知 ABCD ，EFAB 于点 G，若

17、1=30 ，试求 F的度数. .页脚 . 48 生活中到处都存在着数学知识， 只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1 中的 ABC 的度数（2）图 2 中 AEBC，请你计算出 AFD 的度数49如图，将一张矩形纸片ABCD 沿 EF对折，延长 DE 交 BF于点 G ，若EFG=50，求 1，2 的度数50如图所示，在长方体中（1）图中和 AB 平行的线段有哪些？（2）图中和 AB 垂直的直线有哪些？. .页脚 . . .页脚 . 参考答案及解析一选择题（共3 小题）1在同一平面内，有8 条互不重合的直线，

18、l1，l2，l3l8，若 l1l2，l2l3，l3l4，l4l5以此类推，则 l1和 l8的位置关系是（）A平行B垂直C平行或垂直 D无法确定【分析】 如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知 L1与 L8的位置关系是平行【解答】 解： l2l3，l3l4，l4l5，l5l6，l6l7，l7l8，l2l4，l4l6，l6l8，l2l8l1l2，l1l8故选 A【点评】 灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键2如图，直线 AB、CD 相交于 O，OEAB，OFCD ，则与 1 互为余角的有（）A3 个B2 个

19、C1 个D0 个【分析】 由 OEAB，OFCD 可知： AOE= DOF=90，而 1、. .页脚 . AOF 都与 EOF 互余，可知 1=AOF ，因而可以转化为求 1 和AOF的余角共有多少个【解答】 解： OEAB，OFCD ，AOE= DOF=90，即AOF+ EOF=EOF+1，1=AOF ，COA+ 1=1+EOF=1+ BOD=90与 1 互为余角的有 COA 、EOF、BOD 三个故选 A【点评】 本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求1 和AOF 的余角3如图所示，同位角共有（）A6 对B8 对 C10 对D12 对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加

20、射线 GM 、HN后，增加了多少对同位角，求总和【解答】 解：如图，由 AB、CD 、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线 GM 和直线 CD 被直线 EF所截，形成 2 对同位角；射线 GM 和直线 HN 被直线 EF所截，形成 2 对同位角；射线 HN 和直线 AB 被直线 EF所截，形成 2 对同位角则总共 10 对故选 C. .页脚 . 【点评】 本题主要考查同位角的概念即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角二填空题（共4 小题）4一块长方体橡皮被刀切了3 次，最多能被分成8 块【分析】 一块长方体橡皮被刀切了3 次，最多能被分成23=8 块【解答

21、】 解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2 块，第二次在第一次的基础上增加2 倍，第三次在第二次的基础上又增加2 倍，故最多能被分成 8 块【点评】 本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键5如图， P 点坐标为（ 3，3） ，l1l2，l1、l2分别交 x 轴和 y 轴于 A 点和 B点，则四边形 OAPB 的面积为9 【分析】过 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，交 x 轴和 y 轴与 C 和 D构造全等三角形 PDBPCA （ASA） 、 正方形 CODP ； 所以 S四边形 OAPB=S正方形 ODPC=33=9【解答】 解：过 P 分别作 x

22、 轴和 y 轴的垂线，交 x 轴和 y 轴于点 C 和 DP 点坐标为（ 3，3） ，PC=PD ；又l1l2，. .页脚 . BPA=90；又DPC=90，DPB=CPA ，在PDB 和PCA 中PDBPCA （ASA） ，SDPB=SPCA，S四边形 OAPB=S正方形 ODPC+S PCASDPB，即 S四边形 OAPB=S正方形 ODPC=33=9故答案是： 9【点评】 本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB 的面积6如图，直线 l1l2， 1=20 ，则 2+3= 200 【分析】 过2 的顶点作 l2的平行线 l，则 ll1l2

23、，由平行线的性质得出4= 1=20 ，BAC+ 3=180 ，即可得出2+ 3=200 【解答】 解：过 2 的顶点作 l2的平行线 l，如图所示：则 ll1l2，4= 1=20 ，BAC+ 3=180 ，. .页脚 . 2+ 3=180 +20 =200 ；故答案为：200 【点评】 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等7将一副学生用三角板按如图所示的方式放置若AEBC，则 AFD 的度数是75【分析】 根据平行线的性质得到EDC= E=45 ，根据三角形的外角性质得到 AFD=C+EDC，代入即可求出答案【解答】 解： EAD= E

24、=45 ，AEBC，EDC= E=45 ， C=30，AFD=C+ EDC=75，故答案为：75【点评】 本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中三解答题（共43 小题）. .页脚 . 8已知：直线EF分别与直线 AB，CD 相交于点 F，E，EM 平FED，ABCD ，H，P 分别为直线 AB 和线段 EF上的点（1）如图 1，HM 平分 BHP，若 HPEF ，求 M 的度数（2）如图 2，EN 平分 HEF交 AB 于点 N，NQ EM 于点 Q，当 H 在直线AB 上运动（不与点 F重合）时，探究 FHE与E

25、NQ 的关系，并证明你的结论【分析】 （1）首先作 MQ AB，根据平行线的性质，推得M=（FHP+HFP） ；然后根据 HPEF ，推得 FHP+ HFP=90，据此求出M 的度数即可（2）首先判断出 NEQ= NEF+QEF=（HEF+DEF）=HED，然后根据 NQ EM，可得 NEQ+ ENQ=90，推得 ENQ=（ 180 HED）=CEH，再根据 ABCD ，推得 FHE=2ENQ 即可首先判断出 NEQ= QEFNEF=（DEFHEF）=HED，然后根据 NQ EM，可得 NEQ+ ENQ=90，推得 ENQ=（ 180 HED）=CEH，再根据 ABCD ，推得FHE=180

26、2ENQ 即可【解答】 解： （1）如图 1，作 MQ AB，ABCD ，MQ AB，MQ CD ，. .页脚 . 1=FHM，2=DEM，1+2=FHM+DEM=（FHP+FED）=（FHP+HFP） ，HPEF， HPF=90，FHP+ HFP=180 90 =90 ，1+2=M ，M=（2）如图 2，FHE=2ENQ，理由如下：NEQ= NEF+QEF=（HEF+DEF）=HED，NQ EM，NEQ+ ENQ=90，ENQ=（ 180 HED）=CEH，ABCD ，FHE=CEH=2ENQ如图 3， FHE=180 2ENQ，理由如下：. .页脚 . NEQ= QEFNEF=（DEFHE

27、F）=HED，NQ EM，NEQ+ ENQ=90，ENQ=（ 180 HED）=CEH，ABCD ， FHE=180 CEH=1802ENQ综上，可得当 H 在直线 AB 上运动 （不与点 F 重合） 时， FHE=2ENQ 或 FHE=180 2ENQ【点评】 此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截， 内错角相等 简单说成：两直线平行， 内错角相等9我们知道，两条直线相

28、交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n 条直线最多有多少个交点？说明理由【分析】分别求出 2 条、3 条、4 条、5 条、6 条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答【解答】 解：如图： 2 条直线相交有 1 个交点；3 条直线相交有 1+2 个交点；4 条直线相交有 1+2+3 个交点；5 条直线相交有 1+2+3+4 个交点；. .页脚 . 6 条直线相交有 1+2+3+4+5 个交点；n 条直线相交有 1+2+3+4+5+ +（n1）=个交点【点评】 本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即 n

29、条直线相交有个交点10如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分 EOC （1）若EOC=70，求BOD 的度数（2）若 EOC ：EOD=4 ：5，求 BOD 的度数【分析】 （1）根据角平分线的定义求出AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；（2） 设EOC=4x ， 根据邻补角的概念列出方程， 解方程求出EOC=80，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案【解答】 解： （1）EOC=70，OA 平分 EOC ， AOC=35，BOD= AOC=35；（2）设 EOC=4x ，则 EOD=5x ，5x+4x=180 ，. .页脚 . 解得 x=20 ，则 EOC=80，又OA

30、 平分 EOC ， AOC=40，BOD= AOC=40【点评】 本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180 是解题的关键11如图，直线 EF，CD 相交于点 0，OA OB，且 OC 平分 AOF，（1）若AOE=40，求BOD 的度数；（2）若AOE=，求 BOD 的度数； （用含 的代数式表示）（3）从（ 1） （2）的结果中能看出 AOE 和BOD 有何关系？【分析】 （1） 、 （2）根据平角的性质求得AOF，又有角平分线的性质求得FOC ；然后根据对顶角相等求得EOD=FOC ； BOE=AOB AOE，BOD= EODBOE；（

31、3）由（ 1） 、 （2）的结果找出它们之间的倍数关系【解答】 解： （1） AOE+ AOF=180 （互为补角）， AOE=40， AOF=140 ；又OC 平分 AOF，FOC= AOF=70，EOD= FOC=70（对顶角相等）；. .页脚 . 而BOE=AOB AOE=50，BOD=EOD BOE=20；（2） AOE+ AOF=180 （互为补角）， AOE=， AOF=180 ；又OC 平分 AOF ，FOC= AOF=90，EOD= FOC=90（对顶角相等） ；而BOE=AOB AOE=90，BOD=EODBOE=；（3）从（ 1） （2）的结果中能看出 AOE=2 BOD【

32、点评】 本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点12如图 1，已知 MN PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ 上，A 在 B 的左侧， D在 C 的右侧， DE 平分 ADC ，BE平分 ABC ，直线 DE、BE交于点 E，CBN=100（1）若ADQ=130，求BED 的度数；（2）将线段 AD 沿 DC 方向平移，使得点 D 在点 C 的左侧，其他条件不变，若 ADQ=n，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示）. .页脚 . 【分析】 （1）过点 E 作 EFPQ，由平行线的性质及角平分线求得DEF 和FEB ，即可求出 BED 的度数，（2）过点

33、 E作 EF PQ，由平行线的性质及角平分线求得DEF和FEB，即可求出 BED 的度数，【解答】 解： （1）如图 1，过点 E作 EF PQ， CBN=100，ADQ=130， CBM=80，ADP=50，DE 平分 ADC ，BE平分 ABC ，EBM= CBM=40， EDP= ADP=25，EFPQ，DEF= EDP=25，EFPQ，MN PQ，EFMN FEB= EBM=40 BED=25 +40 =65 ；（2）如图 2，过点 E作 EF PQ， CBN=100， CBM=80，DE 平分 ADC ，BE平分 ABC ，. .页脚 . EBM= CBM=40， EDQ=ADQ=n

34、，EFPQ， DEF=180 EDQ=180n，EFPQ，MN PQ，EFMN ，FEB= EBM=40， BED=180 n+40 =220 n【点评】 本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求 BED 解题的关键13如图，将含有 45角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上，若 1=26 （1）求 2 的度数（2）若3=19 ，试判断直线n 和 m 的位置关系，并说明理由. .页脚 . 【分析】 （1）根据平角等于180 ，列式计算即可得解；（2）根据三角形的外角性质求出4，然后根据同位角相等，两直线平行解答【解答】 解： （1）ACB=90，1=26

35、， 2=180 1ACB ，=180 90 26，=64 ；（2）结论： nm理由如下：3=19 ，A=45 ， 4=45 +19 =64 ， 2=64 ，2=4，nm【点评】 本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键14如图，已知直线 l1l2，l3、l4和 l1、l2分别交于点 A、B、C、D，点 P 在直线 l3或 l4上且不与点 A、B、C、D 重合记 AEP=1，PFB=2，EPF=3. .页脚 . （1）若点 P 在图（1）位置时，求证： 3=1+2；（2）若点 P 在图（2）位置时，请直接写出1、2、3 之间的关系；（3）若点

36、 P 在图（3）位置时，写出 1、2、3 之间的关系并给予证明【分析】 此题三个小题的解题思路是一致的，过P 作直线 l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和1、2 相等的角，然后结合这些等角和3 的位置关系，来得出 1、2、3 的数量关系【解答】 证明： （1）过 P 作 PQl1l2，由两直线平行，内错角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，3=1+2（2）关系： 3=21；过 P 作直线 PQl1l2，则： 1=QPE、2=QPF；3=QPFQPE，3=21（3）关系：3=360 12过 P 作 PQl1l2；同（1）可证得： 3=CEP+DFP；. .页脚 . CE

37、P+ 1=180 ， DFP+ 2=180 ，CEP+DFP+1+ 2=360 ，即 3=360 12【点评】 此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键15如图，已知 ABPNCD （1）试探索 ABC ，BCP 和CPN 之间的数量关系，并说明理由；（2）若ABC=42，CPN=155，求 BCP 的度数【分析】（1）由平行线的性质得出ABC= BMN= BCD ， CPN+ PCD=180，即可得出结论；（2）由（ 1）的结论代入计算即可【解答】 解： （1）ABC BCP+ CPN=180；理由如下：延长 NP 交 BC 于 M，如图所示：ABPNCD ，AB

38、C= BMN= BCD，CPN+ PCD=180，PCD= BCDBCP=ABC BCP，. .页脚 . ABCBCP+ CPN=180（2）由（ 1）得： ABC BCP+ CPN=180，则BCP=ABC+ CPN 180 =155 +42 180 =17 【点评】 本题考查了平行线的性质；熟记平行线的性质是解决问题的关键16如图， AD BC，EAD=C，FEC=BAE， EFC=50（1）求证： AECD ；（2）求 B 的度数【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得EAD+ D=180 ，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行线的性质可得AEB=C，根据三角形内角和

39、定理和等量关系即可得到 B 的度数【解答】 （1）证明： AD BC，D+ C=180 ，EAD=C，EAD+ D=180 ，AECD ；（2）AECD ，. .页脚 . AEB=C，FEC=BAE，B= EFC=50【点评】 考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是证明 AECD 17探究题：（1）如图 1，若 ABCD ，则 B+D=E，你能说明理由吗？（2）反之，若 B+D=E，直线 AB 与直线 CD 有什么位置关系？简要说明理由（3）若将点 E 移至图 2 的位置，此时 B、D、E 之间有什么关系？直接写出结论（4）若将点 E 移至图 3 的位置，此时 B、D、E 之

40、间有什么关系？直接写出结论（5）在图 4 中，ABCD ，E+G 与B+F+D 之间有何关系？直接写出结论【分析】 （1）首先作 EFAB，根据 ABCD ，可得 EFCD ，据此分别判断出 B=1，D=2，即可判断出 B+D=E，据此解答即可（2）首先作EFAB，即可判断出 B=1；然后根据 E=1+2=B+D，可得 D=2，据此判断出 EFCD ，再根据 EF AB，可得 ABCD ，据此判断即可. .页脚 . （3）首先过 E 作 EF AB，即可判断出 BEF+ B=180 ，然后根据 EF CD ，可得 D+ DEF=180 ，据此判断出E+B+ D=360 即可（4）首先根据 AB

41、CD ，可得 B=BFD；然后根据 D+E=BFD，可得D+E=B，据此解答即可（5）首先作 EMAB，FNAB，GPAB，根据 ABCD，可得 B=1，2=3， 4=5，6=D，所以 1+2+5+6=B+3+4+D；然后根据 1+2=E，5+6=G， 3+4=F，可得 E+G= B+F+D，据此判断即可【解答】 解： （1）如图 1，作 EFAB，ABCD ，B=1，ABCD ，EF AB，EFCD ，D=2，B+D=1+2，又 1+2=E，B+D=E（2）如图 2，作 EFAB，EFAB，. .页脚 . B=1，E=1+2=B+D，D=2，EFCD ，又EFAB，ABCD （3）如图 3，

42、过 E作 EFAB，EFAB，BEF+ B=180 ，EFCD ，D+ DEF=180 ，BEF+DEF=E，E+B+ D=180 +180 =360 （4）如图 4，ABCD ，B=BFD，D+E=BFD，D+E=B. .页脚 . （5）如图 5，作 EMAB，FNAB，GPAB，又ABCD ，B=1，2=3，4=5，6=D，1+2+5+6=B+3+4+D；1+2=E，5+6=G ，3+4=F，E+G= B+F+D【点评】 此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等 （2）定理

43、2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补（3）定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等18如图 1，ABCD ，在 AB、CD 内有一条折线 EPF（1）求证： AEP+CFP=EPF （2）如图 2，已知 BEP的平分线与 DFP 的平分线相交于点Q，试探索EPF与EQF 之间的关系（3）如图 3，已知 BEQ=BEP，DFQ=DFP，则 P 与Q 有什么关系，说明理由（4）已知 BEQ=BEP，DFQ=DFP，有 P 与Q 的关系为P+n Q=360 （直接写结论）. .页脚 . 【分析】 （1）首先过点 P 作

44、 PGAB，然后根据 ABCD ，PGCD ，可得AEP=1，CFP=2，据此判断出 AEP+CFP=EPF即可（2）首先由（1） ，可得 EPF=AEP+CFP，EQF=BEQ+DFQ；然后根 据 BEP 的 平 分 线 与 DFP 的 平 分 线 相 交 于 点Q ， 推 得 EQF=，即可判断出 EPF+2 EQF=360 （3）首先由（ 1） ，可得 P=AEP+CFP，Q= BEQ+DFQ；然后根据BEQ=BEP， DFQ=DFP，推得 Q=（ 360 P） ，即可判断出 P+3 Q=360 （4）首先由（ 1） ，可得 P=AEP+CFP，Q= BEQ+DFQ；然后根据BEQ=BE

45、P， DFQ=DFP，推得 Q=（ 360 P） ，即可判断出 P+n Q=360 【解答】 （1）证明：如图 1，过点 P 作 PGAB，ABCD ，PGCD ，AEP=1，CFP=2，又 1+2=EPF ，AEP+CFP=EPF . .页脚 . （2）如图 2，由（1） ，可得EPF=AEP+CFP，EQF=BEQ+DFQ，BEP的平分线与 DFP 的平分线相交于点Q，EQF=BEQ+DFQ=（BEP+DFP）=，EPF+2 EQF=360 （3）如图 3，由（1） ，可得P=AEP+CFP，Q= BEQ+DFQ，BEQ=BEP，DFQ=DFP， Q= BEQ+ DFQ=（ BEP+DFP

46、）=360 （ AEP+CFP）=（ 360 P） ，P+3 Q=360 （4）由（ 1） ，可得P=AEP+CFP，Q= BEQ+DFQ，BEQ=BEP，DFQ=DFP，. .页脚 . Q= BEQ+DFQ=（ BEP+DFP）=360 （ AEP+ CFP）=（ 360 P） ，P+n Q=360 故答案为： P+n Q=360 【点评】 此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等 （2）定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补（3）

47、定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等19如图所示， L1，L2，L3交于点 O，1=2，3：1=8：1，求4 的度数【分析】 设1=x，根据题意表示出 2，再表示出 3，然后根据邻补角的和等于 180 列式求出 x，再根据对顶角相等求出4 即可【解答】 解：设 1=x，则 2=x，3=8x，依题意有x+x+8x=180 ，解得 x=18 ，则 4=18 +18 =36 故4 的度数是 36【点评】 本题考查了对顶角、邻补角的定义，准确识图，设出未知数并列出. .页脚 . 方程是解题的关键20 如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案， 其中1=50

48、 ， 2=50 ， 3=130 ，找出图中的平行线，并说明理由【分析】 根据同位角相等，两直线平行证明OBAC ，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA BC【解答】 解：OA BC，OBAC 1=50 ，2=50 ，1=2，OBAC ， 2=50 ，3=130 ，2+ 3=180 ，OA BC【点评】本题考查的是平行线的判定， 掌握平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键21如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分 BOD（1）若AOC=70，DOF=90，求 EOF 的度数；（2）若 OF 平分 COE ， BOF=15

49、，若设AOE=x则 EOF= （用含 x 的代数式表示）. .页脚 . 求 AOC 的度数【分析】 （1）由对顶角的性质可知BOD=70，从而可求得FOB=20，由角平分线的定义可知BOE=BOD，最后根据 EOF=BOE+FOB求解即可；（2）先证明 AOE= COE=x ，然后由角平分线的定义可知FOE=； BOE=FOE FOB 可知 BOE=x 15，最后根据 BOE+AOE=180列出方程可求得x 的值，从而可求得 AOC 的度数【解答】 解： （1）由对顶角相等可知： BOD= AOC=70，FOB=DOFBOD， FOB=90 70 =20 ，OE 平分 BOD，BOE=BOD=

50、 70 =35 ，EOF=FOB+ BOE=35+20 =55 ，（2） OE 平分 BOD，BOE=DOE，BOE+ AOE=180，COE+ DOE=180，COE= AOE=x ，OF 平分 COE ，FOE=x，故答案为：；. .页脚 . BOE=FOEFOB，BOE=x 15，BOE+ AOE=180，x 15 +x=180 ，解得：x=130 ，AOC=2 BOE=2（ 180 130） =100 【点评】 本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力22如图，直线 AB、CD 相交于点 O，已知AOC=75，OE 把 BOD分成两个角，且 BOE：E