自动控制理论第版邹伯敏课件第章.ppt

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1、自动控制理论第版邹伯敏课件第章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第一节第一节 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。变参数时，求根就

2、更困难了。 2 1948年，年，提出了一种确定系统闭环特征根的提出了一种确定系统闭环特征根的图解法图解法。在已知。在已知分布的基础分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。的确定闭环极点。当系统当系统开环开环传递函数中某一参数从传递函数中某一参数从0 时，时，闭环系统特征根在闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作平面上的变化轨迹，就称作。一般取一般取K K0 0作为可变参数。作为可变参数。3式中，式中，K为系统的开环比例系数。为系统的开环比例系数。 K0 = 2K 称为系统的开称为系统的开环环。 系统的闭环传递函

3、数为：系统的闭环传递函数为：KssKs222)(2 )2()2(2) 15 . 0(0ssKssKssKsG Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为4 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K = 0 求得闭环特征根为：求得闭环特征根为：Ks2112, 1(1) K= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点是根迹的起点(),用用“ ”表示。表示。 2 j 0 1(2) 0 K0.5：1212, 1KjsK= 0K= 0K=0.5KK )2(2ssKsG5 根据根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得阶系统根轨迹的特点

4、，可以推得n阶系统，会有如下的阶系统，会有如下的结论：结论：（1）n阶系统有阶系统有n个根，根轨迹有个根，根轨迹有n条分支条分支 ；（2）每条分支的起点）每条分支的起点 位于开环极点处；位于开环极点处；（3）各分支的终点或为开环零点处或为无限点；）各分支的终点或为开环零点处或为无限点；（4）重根点，称为分离点或汇合点。）重根点，称为分离点或汇合点。1. 1. 稳定性稳定性 当当K从从0 时，图中的时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对右半平面，因此二阶系统对所有的所有的K值都是稳定的。值都是稳定的。 2 j 0 1K= 0K= 0K=0.5KK6 开环

5、系统在坐标原点有开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于一个极点，系统属于系统，系统，因而根规迹上的因而根规迹上的K0=2K 值就是值就是静态速度误差系数静态速度误差系数Kv。如果。如果给定系统对给定系统对ess 有要求，则对有要求，则对K0有要求，由根迹图可以确有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。定闭环极点位置的容许范围。 2 j 0 1K= 0K= 0K=0.5KK7 由图可见，由图可见，闭环极点均位于负实轴，闭环极点均位于负实轴上，系统为上，系统为系统，单位阶跃响应为非周期过程。系统，单位阶跃响应为非周期过程。 当当 时，闭环两时，闭环两个实极点重合，系统为个实极点重合，系统为

6、系统，单位阶跃响系统，单位阶跃响应为非周期过程。应为非周期过程。 当当时，闭环极时，闭环极点为一对共轭复数极点，点为一对共轭复数极点，系统为系统为系统，单位系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。阶跃响应为阻尼振荡过程。 2 j 0 1K= 0K= 0K=0.5KK8 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。研究下图所示反馈控制系统的一般结构。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)- -+H(s)该系统的闭环特征方程为该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 + + G(s)H(s) = 0 或或 G(s)H(s) = - -1

7、若将系统的开环传递函数若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：写成如下形式：njjmiipszsKsNsMKsHsG1100)()()()()()(9 式中式中。上述方程又可写为：。上述方程又可写为：0111)()(Kpszsnjjmii 由于满足上式的任何由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如参数，如K0在某一范围内连续变化时，由上式制约的在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在在s平面上描平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的。根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅

8、值方程：0111Kpszsnjjmii10根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：)64()12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整数）。（全部整数）。（4-6）通常称为）通常称为 根据这两个条件，可完全确定根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹平面上根轨迹及及根轨迹上任一根轨迹上任一点对应的点对应的K0值。值。是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的，因此，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的的K0值时，才使用幅值条件。值时，才使用幅值条件。0111)()(Kpszs

9、njjmii11根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹的对称性和分支数根轨迹的对称性和分支数 实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 根轨迹在实轴上的分离点和会合点根轨迹在实轴上的分离点和会合点 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 闭环极点的和与积、开环极点闭环极点闭环极点的和与积、开环极点闭环极点的关系的关系 第二节第二节 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 12规则规则1. 根轨迹的起点和终根轨迹的起点和终点点 起点：起点：n条条根轨迹起始于开环传递函数的根轨迹起始于开环传递函数的n个极点。个极点。终点：终点

10、：m条根轨迹起始于开环零点。条根轨迹起始于开环零点。说明：说明：nm开始于开始于n个开环极点的个开环极点的n条根轨迹，有条根轨迹，有m条根轨迹终止于开环零点，有条根轨迹终止于开环零点，有n-m条根条根轨迹终止于无穷远处。轨迹终止于无穷远处。 nm终止于终止于m个开环零点的个开环零点的m条根轨迹，有条根轨迹，有n条根轨迹来自条根轨迹来自n个开环极点，还有个开环极点，还有m-n条条来自无穷远处。来自无穷远处。 13规则规则2对称性和分支数对称性和分支数 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数： 对称性：根轨迹必定对称于实轴。对称性：根轨迹必定对称于实轴。 n阶系统，其闭环特征方程有阶系统，其闭环特征方程有

11、n个根。当个根。当K0 从从0连连续变化时，续变化时，n个根将绘出个根将绘出有有n条轨迹分支。因此根轨迹的条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。 实轴上的某一区域，若其右边实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹数，则该区域必是根轨迹。 14 当开环传递函数中当开环传递函数中m 0Kg0否？否？) 分分离点上根轨迹的分离角为离点上根轨迹的分离角为90。 0j 如果方程的阶次高时，可用如果方程的阶次高时，可用试探法试探法确定分离点。确定分离点。d1

12、 = 0.472kd/180 三条渐近线与正实轴上间的夹角：三条渐近线与正实轴上间的夹角：210 35 3312，kka)5)(1()(0sssKsGk21 0 j 60 -2（5）虚轴的交点）虚轴的交点0)5)(1(1)()(1)(0sssKsHsGsD方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + K0 = 0令令s=j，则，则 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + K0 = 022 3 + 5 = 0 62 + K0= 05, 0 K0= 0()， K0= 30方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + K0= 0劳斯表为劳斯表为s3 1 5s2 6 K0s1 (30

13、 K0)/6s0 K0 当当K0=30时，时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 6s 2+ K0= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + K0 = 023 0 j d = 0.472 K0= 305jK0 K0 K0 j2.24 K0= 30)5)(1()(0sssKsGk24 根轨迹离开根轨迹离开处的切线与正实轴方向的夹角，称为出处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角射角(起始角起始角)，用，用 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(18

14、0 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180 xp xz 根轨迹进入根轨迹进入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角射角(终止角终止角)，用，用 表示；表示；求出这些角度可按如下关系求出这些角度可按如下关系表示。表示。pxpx 1zxzx 125 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。 若开环传函分母阶次若开环传函分母阶次n比分子阶次比分子阶次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，则则。26试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解：例例4-34-

15、3 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为15 . 0) 15 . 0()()(20sssKsHsG22)2()()(20sssKsHsG27 0 j -1-2 j1jdjdd 111121 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，当，当K0从从0 时，时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。d22)2()()(20sssKsHsG28

16、 0 j -1-2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始角与终止角起始角与终止角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 29 0 j -1-2 j1 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121

17、=149.5 30试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：三个开环极点解：三个开环极点 p1= 0、p2,3 = 1 j 渐近线：渐近线： 3条条32332111 pppmnzpnjmiija 35 312 ， mnka 0 j )22()()(20sssKsHsG2p312js 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为 s3 + 2s2 + 2s + K0= 0 劳斯表劳斯表s3 1 2s2 2 K0s1 (4 K0)/2s0 K0 令令s1系数为系数为0，得，得 K0 = 4代入辅助方程代入辅助方程 2s2 + K0= 0 实轴上根轨迹实轴上根

18、轨迹：(，0 0)，即整个负实轴。，即整个负实轴。45)()(18032122 ppppp 出射角出射角：)22()(20sssKsGk32绘制出系统根轨迹如图所示。绘制出系统根轨迹如图所示。 0 j 1 2K0 K0 K0 j1.414 K0 = 4)22()(20sssKsGk33 0 j -1 -4 -2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解： 例例4-64-6 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为)204)(4()()(2 ssssKsHsGg渐近线：渐近线： a = 2 a = 45 , 135 分离点：分离点： d = 2 d = 2 j2.

19、45与虚轴交点：与虚轴交点：Kg=260 s = j3.1634 参量根轨迹：参量根轨迹：在实际中，有时需要研究除开环根轨迹增益以外在实际中，有时需要研究除开环根轨迹增益以外的其他可变参量的其他可变参量（如时间常数、反馈系数、开环零极点等）（如时间常数、反馈系数、开环零极点等）对对系统性能的影响，就需要绘制以其他参量为可变量的根轨迹。系统性能的影响，就需要绘制以其他参量为可变量的根轨迹。这种根轨迹称为广义根轨迹或参量根轨迹。这种根轨迹称为广义根轨迹或参量根轨迹。 绘制参量根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。绘制参量根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。 只要在绘制参数根轨迹之前，

20、引入等效单位反馈系统和等效传只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。轨迹的绘制。第三节第三节 参量根轨迹参量根轨迹的绘制的绘制35对闭环特征方程对闭环特征方程进行等效变换，将其写为如下形式：进行等效变换，将其写为如下形式：其中，其中， 为除为除 外，系统任意的变化参数，而外，系统任意的变化参数，而 和和为两个与为两个与 无关的首一多项式。无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为 画出的根轨迹，就是参数

21、画出的根轨迹，就是参数 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。A*K)(sP)(sQA0)()(1sHsG1)()(sQsPAA)()()()(11sQsPAsHsG36例例4-94-9 已知某负反馈系统的开环传递函数为已知某负反馈系统的开环传递函数为 )1()(25. 0)()(2 ssassHsG试绘制参数试绘制参数a从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。 解解: 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 + 0.25a = 0于是，等效系统开环传递函数为于是，等效系统开环传递函数为sssasHsG25. 025. 01)()(12311sssasH

22、sG25. 025. 0)()(2311把把a视为根迹增益，可绘制出视为根迹增益，可绘制出a 变化时系统的常规根轨迹。变化时系统的常规根轨迹。37 0 j 0.5 1渐近线：渐近线：a= 1/3 a= /3，5/3，。根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点: a =1 s = j/222311)5 . 0(25. 025. 025. 0)()(ssasssasHsGa j0.5 a = 1分离点：分离点： d1= 1/6 , d2= 1/2。a38第五节第五节 增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。

23、一、增加开环极点的影响一、增加开环极点的影响改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变渐近线的条数，方向角及与实轴改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点；的交点；一般使根轨迹向右偏移，不利于系统一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态特性。的稳定性和动态特性。39j-p1p2pOj-p1p2pO-pc3p例如：例如：0cc( )( )()()()()KKG sG spps sps sp sp40( )(2)KG ss s 414( )2)(KG ss ss 421( )2)(KG ss ss 43( )(2)KG ss ss 44二、增加开环零点的影响二、增加开环零点的

24、影响例如：例如： 增加开环零点可以使根轨迹左移，有利增加开环零点可以使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性和动态特性。于改善系统的稳定性和动态特性。022(1)( )( )(2)(2)KK sG sG sssss 4502( )(2)KG sss 461-1-2-3j0123-1-2-32(1)( )(2)KG ssss 471-1-2-3j0123-1-2-30.5 2(0.5)( )(2)KG ssss 481-1-2-3-4-5-6-7-812j0-1-2-3(4)( )( )(2)(2)KKG sG ss sszs 491-1-2-3-4-5120-1-2j (3)( )( )(2)(2

25、)KKG sG ss sszs 501-2 -1 -1 0 j (1)( )( )(2)(2)KKG sG ss sszs 51第六节第六节 用根轨迹法分析控制系统用根轨迹法分析控制系统 (1)闭环极点在闭环极点在 平面上的分布反映系统的稳定平面上的分布反映系统的稳定性。闭环极点在性。闭环极点在 左半平面上时系统稳定；左半平面上时系统稳定；在右半平面时系统不稳定。在右半平面时系统不稳定。 s s(2)闭环极点的实部闭环极点的实部 反映了系统的调节时间。反映了系统的调节时间。其值越大，表明距离虚轴远，调节时间就短，其值越大，表明距离虚轴远，调节时间就短，系统的响应快。系统的响应快。 n(3)闭环

26、极点与负实轴的夹角闭环极点与负实轴的夹角 反映了系统的平反映了系统的平稳性。稳性。 越大，阻尼比越大，阻尼比 越小，超调量增加，越小，超调量增加，系统振荡增加。系统振荡增加。 一、闭环极点的位置与系统性能的关系一、闭环极点的位置与系统性能的关系二、根轨迹法来分析系统性能二、根轨迹法来分析系统性能52例例1 1 某单位反馈系统的开环传递函数为：某单位反馈系统的开环传递函数为：要求：要求：（1）绘制系统的根轨迹草图；）绘制系统的根轨迹草图； （2）用根轨迹法确定使系统稳定的）用根轨迹法确定使系统稳定的 值范围；值范围； （3）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的）用根轨迹法确定使系统的阶跃响

27、应不出现超调的 最大取值。最大取值。解解 ： （1）闭环系统特征方程为）闭环系统特征方程为gKgK(12)(12)( )(2)(0.5)gKsjsjG sss 2( )(1)(1.52)(51)gggD sKsKsK53分离点分离点整理得整理得解出解出与虚轴交点与虚轴交点 令令解出解出111120.51212dddjdj 2724110dd0.40943.838()d舍 去2Im()(1.52)0Re()(1)510gggD jKD jKK 011/70.2540.23/40.75ggKK 54系统根轨迹如下图系统根轨迹如下图55（2）由（）由（1）中的计算结果可知，）中的计算结果可知， 稳定

28、范围为稳定范围为（3）依题意，也就是要求分离点）依题意，也就是要求分离点 处的处的 值：值： 用模值条件解得用模值条件解得gKgK0.4094d 0.20.75gK|2| |0.5|0.24157|12| |12|gdddKdjdj 56例例2 2：单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为画出画出 从从 变化时闭环系统的根轨迹，并确定闭环系统变化时闭环系统的根轨迹，并确定闭环系统稳定时的稳定时的 值取值范围。值取值范围。解：解：开环传函变为如下形式开环传函变为如下形式22(21)( )(0.251)KsG sssKK0 2232(0.5)( )(4)K sG sss57渐进

29、线渐进线与虚轴交点与虚轴交点 令令解出解出由根轨迹及计算结果可以确定由根轨迹及计算结果可以确定 的稳定范围是的稳定范围是002 ( 4)0.52.54 1(21)60 ,1804 1aak K432( )8163216D ssssKsK423Re()16160Im()8320D jKD jK 323K 03K58系统根轨迹如下图系统根轨迹如下图59例例2 2：已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为要求要求：（：（1）当）当 从从 时，概略绘制系统的闭环根轨时，概略绘制系统的闭环根轨迹；迹； （2）确定保证系统稳定的）确定保证系统稳定的 值范围；值范围； （3）求出系统

30、在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达 到的最小绝对值到的最小绝对值 。解：解：开环传函变为开环传函变为KK2(0.51)( )(0.51)(21)KsG sss0 min|sse21(2)4( )(2)(0.5)K sG sss60 分离点分离点 整理并解出整理并解出 与虚轴交点与虚轴交点 令令 联立求解得联立求解得11120.52ddd0.182d 2( )(1/4)(1.5)(1)D sKsK sK2Im ()(1.5)0Re ()(1/4)(1)0D jKD jKK 1122010.6031.5KK 61画出的根轨迹如下图画出的根轨迹如下图62（

31、2）由根轨迹图可以看出，）由根轨迹图可以看出， 值稳定范围对应于根轨迹与虚值稳定范围对应于根轨迹与虚 轴的两个交点，所以有轴的两个交点，所以有（3）系统的静态位置误差系数为）系统的静态位置误差系数为 由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有K11 .5K0lim( )psKG sK minmaxmax111|2111 1.5sspeKK63)(3)(asssG例：一单位负反馈系统的开环传递函数为例：一单位负反馈系统的开环传递函数为求：（）绘制系统当求：（）绘制系统当a从到从到变化时的根轨迹；变化时的根轨迹；（要求有主要过程，并将必要的数值标在图上）（要求有主要过程，并将必要的数值标在图上）（）求系统单位阶跃响应无超调时（）求系统单位阶跃响应无超调时a的取值范围。的取值范围。0132sas132sas解：解：(1) 系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程 s(s+a)+3=0 根轨迹方程根轨迹方程 得会合点得会合点 d=-1.73出射角出射角 =180-90+90=180绘出根轨迹如图。绘出根轨迹如图。64 (2)系统无超调，闭环极点应在负实轴上。系统无超调，闭环极点应在负实轴上。 会合点的增益为会合点的增益为 323632 ssa=3.46 a的取值范围为的取值范围为 3.46a 0 j -1-2 j1d j2 -j2 -j165