最新四节对弧长曲线积分PPT课件.ppt

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1、四节对弧长曲线积分四节对弧长曲线积分G 表示的几种表示的几种几何形体以及其上的积分几何形体以及其上的积分：D闭区间闭区间a,bL(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲（有限曲 面片）面片）(空间有界空间有界 闭区域闭区域)(空间有限空间有限 曲线段曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分 ( , ),f x yftt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt :( ),( ) ().L xtytt (化为对化为对t t 的定积分的定积分)22( )( ).dstt dt ( , )x yL在在 上上变

2、变化化，因此因此. 其其中中计算公式计算公式( , )Lf x y ds 22 ( ), ( )( )( ) ,ftttt dt 计算公式计算公式注注1 1: : 右右端端被被积积函函数数在在, ,上上连连续续，故右端的定积分存在故右端的定积分存在.( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( ),ftttt dt 注注2 2: :在第一型曲线积分的计算中在第一型曲线积分的计算中, ,? 定积分的定积分的下限一定要小于上限下限一定要小于上限.22( )( ).dstt dt0 00.0( , )Lf x y ds （2 2）直角坐标情形）直角坐标情形化成化成参数方程参数方程,(

3、),xxyy x ( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx :( ),L yy x .axb .axb 22222()( )()()1 ()xxxdsdxdyxydxydx ds :( ),L xx y cyd若若?21 ()ydsxdy ( , )Lf x y ds 2 ( ), 1( ).dcf x yyxy dy 例例1 1计算计算,LIxyds sin ,txat 其中其中L的方程是的方程是cos ,(0).sin ,2xattyat cos ,tyat 22()()ttdsxydt22(sin )( cos )atatdt.adt 解解ax

4、yOLLIxyds 22()().ttdsxydtadt 20cossinat at adt 320sin(sin )atdt 23(sin)220ta 3.2a (0)2t 例例2 2 计算计算 ,LIxy ds 其中其中L是以是以 (0,0),1,0 ,1,1OAB为顶点的为顶点的.LOAABBA LOAABBO 三角形边界三角形边界. .L是分段光滑是分段光滑弧段弧段,解解yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy在在OA上，上， 0, 01yx 22dsdxdydx 1012OAxy dsxdx 故故在在AB上，上， 1, 01xydsdy 10312ABxy dsy dy 故故y

5、x (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy 10222OAxy dsxdx 故故在在BO上，上， , 01yxx 2dsdx 1 32 222 2Lx y ds 因此因此yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy2. 2. 空间对弧长的曲线积分计算空间对弧长的曲线积分计算( ),:( ), ().( ),xtyttzt ( , , )f x y z ds 222( )( )( ).ttt dtds( (参数情形参数情形) ) ( ),( ),( )fttt 曲线曲线平面情形的推广平面情形的推广例例3 3计算计算222,dsxyz 其中其中是螺线是螺线的第一圈的第一圈222()()()tt

6、tdsxyzdt cos ,xat sin ,yat zbt (02 ).t 222(sin )( cos )( )atatb dt 22.ab dt解解22.dsab dt 222dsxyz 22222 20dtabab t 2222220( cos )( sin )()ab dtatatbt 22222 20( )abd btbab t 2221arctan()0abbtbaa 222arctan.abbaba 22(1arctan)dxaxxcaa 以圆弧的圆心为坐标原点以圆弧的圆心为坐标原点, ,L例例4 4 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形L， 半径为半径为R，其上任一点的线密度

7、的大小等于该点其上任一点的线密度的大小等于该点到其到其两端点连线的距离，两端点连线的距离，求其质量求其质量. .L的对称轴为的对称轴为y 轴轴, ,则则建立坐标系建立坐标系( (如图如图).). ,.LLMx y dsyds yxo解解R ,x y L 的参数方程为的参数方程为LMyds cos ,sin ,xRyR (0). 20cosR 20sinRd 22.R 22()().dsxydtRd 小小 结结对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算-化为定积分化为定积分( , )Lf x y ds 1.把积分路径把积分路径L代入被积函数；代入被积函数；2.根据积分路径根据积分路径L的不同的

8、表示形式，的不同的表示形式，求出弧微分求出弧微分.3. 定出定积分的上下限，下限小于上限定出定积分的上下限，下限小于上限.(1) (1) 曲线弧为曲线弧为参数方程参数方程的计算的计算(2)(2)曲线弧的方程为曲线弧的方程为显函数方程显函数方程的计算的计算:( ),( ) ().L xtytt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt 22( )( ).dstt dt 将显函数方程化为参数形式：将显函数方程化为参数形式：( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx :( ),L yy x .axb 21 ()xdsyd

9、x 思考题思考题1.1.以下两式正确否？以下两式正确否？(1)区域区域222:,D xya 则则22aa ( (错误错误) )(2)曲线曲线222:,L xya 则则22()Lxy ds 32.a 4.a ( (正确正确) )22()Dxy d 22aa 2a 2a 221,4x yxy 22281xy 2.2.若有不均匀的椭圆若有不均匀的椭圆形构件，形构件， ,x y其上一点其上一点的线密度的线密度 则此椭圆形构件则此椭圆形构件的平均线密度是的平均线密度是 提示：平均线密度提示：平均线密度= =质量质量M / 曲线长曲线长L L平均线密度平均线密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 2

10、 221,4LLx y dsdsxy 其其中中1212LLdsds22221:281:42LxyL xy平均线密度平均线密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 讨论题 由此给出对弧长的曲线积分的由此给出对弧长的曲线积分的几何意义几何意义. 已知一柱面的准线（平面曲线）和高，已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广提示：由定积分的几何意义推广. .答：柱面的侧面积答：柱面的侧面积( , )Lf x y ds （y=y(x)为底边，为底边，z=f (x,y)为高的面积）为高的面积）( , )( )0( , )Lf x y dsyy xzzf x y 表表示示柱柱面面介介于于平平面面与与之之间间部部分分的的面面积积. .)(:xyyL 准准线线Oxyz),(yxfz )(xyy 柱柱面面：平面上对弧长的曲线积分几何意义：平面上对弧长的曲线积分几何意义：作 业P.131 3. (1), (3), (4), (6) (8).