2022年六年级奥数第六讲不定方程 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组， 以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意， 限制条件中， 有些是明显的，有些则是隐藏的。2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。【例题精讲】例 1：求下列方程的整数解（ x0

2、，y0） 。（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89. 【思路点拨】5 和 10 有公因数 5，而 14 没有公因数 5，所以原方程无整数解； y=293211x，11x2 能被 3 整除且 x9。模仿练习：（1）求满足方程 5x+3y=40 的自然数解。（2）设 A 和 B 都是自然数，且满足11A+7B=7757，求 A+B 的值。例 2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵，每个孩子种 6 棵树，他们共种了 216 棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

3、归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载设有女职工 x 人， 男职工 y 人，那么有孩子3yx人，这个条件说明 3|x+y 。模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12 间，能住 80 人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7 人，每间小宿舍能住5 人。问中、小宿舍共有多少间？例 3：有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过400.A 除以 B商 5 余 5；A除以 C商 6 余 6；A除以 D商 7 余 7，这四个自然数的和是多少？【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7 ，A 一定是 5,6,7 的公倍数。模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且

4、都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少？例 4：求解不定方程组)2(36753) 1(52975zyxzyx的正整数解。【思路点拨】消元，使方程组变成一个不定方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载模仿练习：求下列不定方程组的自然数解：2868522263zyxzyx例 5：王虎用 100元买油菜籽、 西红柿种子和萝卜籽共100 包。油菜籽每包 3 元，西红柿种

5、子每包 4 元，胡萝卜籽 1 元钱 7 包，他每种各买了多少包？【思路点拨】设买油菜籽x 包，西红柿种子y 包，则胡萝卜籽（100 xy）包。3x+4y+7yx100）（=100。模仿练习：阳光小学在校园里新栽了樟树、 梨树和桃树，每种树的棵树都是质数。如果将三种树的总棵树加4 后除以 10，则比樟树的 10 倍减去梨树的棵树后还少4 棵。问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？【思路点拨】1：小明 20XX年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明20XX年有多大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢

6、迎下载2：一次数学竞赛后用 31 只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖每人 6 只，二等奖每人 3 只，三等奖每人 2 只，则正好发完；如果一等奖每人5只，二等奖每人 4 只，三等奖每人 3 只，则差 6 支。那么获一、二、三等奖的学生各有多少人？3：ab21是一个四位数，有四个阿拉伯数字a、b、1、2 组成的其他 23 个四位数的和等于 90669，求 a 和 b 的值。4：张老师用一张1 万元支票为学校添置A、B 两种物品， A、B物品的单价分别为 590 元和 670 元。已知购买的B 物品件数多于 A 物品件数，结果找回了几张100 元和几张 10 元（10 元的不超过 9

7、 张） 。有趣的是，若把购买的A种物品和 B种物品的件数互换，则找回100 元和 10元的钞票张数也恰好互换。问购买的A、B两种物品各有多少件？5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了10 箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只狒狒多分1 根，每只猴子比每只猩猩多分1 根。分完后，只剩 2 根香蕉。如果每箱香蕉数量相同，都是40 多个，而且猴子比狒狒多6 只，猩猩只有 16 只。那么，动物园里有多少只猴子？【课后作业】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载1：求不定方程 3x+4y=20 的自然数

8、解。2：若自然数 A、B满足13A+4B=2623, 那么 A+B等于多少？3：求不定方程组26325375zyxzyx的正整数解。4：若干学生搬一堆砖。若每人搬k 块，且 k 为质数，则剩下 20 块未搬走；若每人搬 9 块，则最后一个学生只搬了5 块，那么这堆砖共有多少块？5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529，王老师家的电话号码是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a32，b65，c87。已知 a、b、c 都小于 10，a、b、c 依次为几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页