2022年初中数学公式定理概括 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学公式定理概括代数部分第一章 有理数及其运算1 自然数及其运算11 自然数零的符号是 “ 0”,它表示没有数量或进位制上的空位除 0 之外,任何自然数都是由若干个“ 1”组成的, “ 1”是数个数的单位 ,称作自然数的单位自然数的全体： 0,1,2,3,4, ,n ,叫做自然数的集合 ,简称自然数集能被 2 整除的数叫做偶数 ; 不能被 2 整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法: 求和的运算叫做加法2 减法: 减法是加法的逆运算3 乘法: 同一个自然数的连加运算 ,就叫做乘法4 除法: 除法是乘法的逆运算 ,零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数,

2、来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律1 加法交换律 :a+b=b+a2 加法结合律 :(a+b)+c=a+(b+c)3 乘法交换律 :a b=b a4 乘法对加法的分配律 :(a+b) c=a c+b c5 加法结合律 :(a b) c=a (b c)6 自然数 0 和 1 的运算特征14 乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算 ,叫做乘方运算na中,a 叫做底数 ,自然数 n 叫做指数 ,乘方的结果na叫做幂 (读作“a 的 n 次幂”或“a 的 n 次方”)零的 n 次方总等于零 ,1 的 n 次方总等于 1同底数幂相乘 ,底数

3、不变 ,只是指数相加指数运算律 (一)同底数幂相乘 ,指数相加 ,底数不变 ,即().mnmnaaa指数运算律 (二)乘积的幂 ,等于各因数的幂的乘积 ,即().nnnaba b指数运算律 (三)幂的乘方 ,指数相乘 ,底数不变 ,即()()mnmnaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载指数运算律 (四)同底数幂相除 ,指数相减 ,底数不变 ,即()/mnm naaa，其中 mn,a!=0两个同底数 ( 不为 0) 、同指数的幂相除 ,其商等于 1，0a=1 (a!=0)分数的意义与特点11.aba

4、bababbb，aambbm(m!=0)，/aabbbn(n!=0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数 ,分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法acadbcadbcbdbdbdbd乘法acacbdbd除法acadadbdbcbc乘方(/)ma b=ab. ab. ab. ab.m个括号 =mmab分数加法的交换律是accabddb30 有理数的意义31 相反意义的量在研究两者的总效果时 ,可以互相抵消或一部分抵消32 正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数 (“ +”号也可省略不写 );带有负号的数叫做负数负数与正数合并时 ,其结果可以相消或部分

5、抵消数零,既不是正数 ,也不是负数对任一个数 a,总能有一个数 -a, 使它们可以相消 ,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数零的相反数 ,仍是零33 有理数、数轴整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数整数和分数 ,统称为有理数全体有理数组成的集合 ,称为有理数集合全体整数组成的集合 ,称为整数集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数 ,在数轴上都可以有一个确定的点表示它正数

6、和负数 ,可表示 “ 相反意义 ” 的量,而数零是它们的界限互为相反数的一对数 ,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34 绝对值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零4 有理数的运算41 有理数的加法与减法加法符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加 ,符号仍取原来的符号两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法则是减去一个数 ,等于加上这个有理数的相反数在有理数范围内 ,减法运算也是畅通无阻的42 代

7、数和含有加减运算的式子 ,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为 “ 代数和”去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变 ; 去掉紧接负号后面的括号时 ,括号里的各项都要变号添括号法则： 紧接正号后面添加括号时 ,括号到括号里的各项都不变; 紧接符号后面添加括号时 ,括到括号里的各项都要变号43 有理数的乘法与除法乘法异号( 一负一正 )两有理数相乘 ,将绝对值相乘 ,符号取负两个负有理数相乘 ,将绝对值相乘 ,符号取正乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正 ,异号得负当负乘数有奇数个时 ,成积为负 ;当负乘数有偶数个时 ,成积为正 ;只要有一个乘数为零 ,那么乘积必定

8、是零除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负零除以任一个非零有理数,其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x, 除 1 所得的商1x,叫做这个数 x 的倒数非零有理数 x 与1x互为倒数 ,其特征性质是 x1x=1零没有倒数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载除以一个非零有理数 ,就等于乘以这个数的倒数a/b=a 1/b=a/b44 有理数的乘方非零有理数的乘方 ,将其绝对值乘方 ,而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号 ; 负数的奇数乘方取负号 ,负号的偶次乘方取正号零的

9、非零次都 0; 零的零次方没有意义45 有理数的混合运算先乘方 ,再乘除 ,后加减 ; 若有括号 ,则“ 先里后外 ” 去括号 ,逐步计算46 近似数和有效数字与实际相符的数 ,叫做准确数与实际接近的数 ,叫近似数一般地 ,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字 ,都叫做这个数的有效数字。5 有理数的基本性质51 有理数运算的 “ 通性”1 加、减、乘 (乘方)、除运算的封闭性任意两个有理数的和、差、积、商(0 不作除数 )都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下 ,在自然数范围内 ,除法(除数不为 0) 、

10、减法都不封闭 ; 在整数范围内 ,除法(除数不为 0) 也不封闭。2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律(1) 加法的交换律、结合律对于有理数 a、b、c 来说a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)(2) 乘法的交换律、结合律对于有理数 a、b、c 来说,a b=b a; (ab) c=a (b c)(3) 乘法对于加法的分配律对于有理数 a、b、c 来说a (b+c)=a b+a c3 加、减法运算 ,乘、除运算的统一(1) 加、减运算的统一任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数 -a, 使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理数减法 ,就可以转化为加法 ,即 a-b=a

11、+(-b)(2) 乘、除运算的统一任意一非零有理数b, 总有它唯一的一个倒数1/b, 使得 b 1/b=1/b b=1因而,有理数除法 ,就可以转化为乘法 ,即 a/b=a1/b(b!=0)4 数 0 与 1 的特性对于任意有理数a 来说,a+0=0+a=a; a 0=0 a=0; a 1=1 a=a5 乘方运算满足指数运算律52 有理数的大小顺序负数 零0, ab;a-b=0, a=b;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载a-b0, a”或“ B, 那么 BB,BC,那么 AB, 那么 A(+,-)

12、mB(+,-)m4) 如果 AB, 且 m0, 那么 AmBm5) 如果 AB, 且 m0, 那么 Am=0,b=0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载2 算术平方根的除法aabb(a=0,b0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根23 算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同 ,那么这几个平方根就叫做同类平方根3 一

13、元二次方程及其解法31 一元二次方程只含有一个未知数 ,且未知数的最高次数是2 的方程 ,叫做一元二次方程32 特殊的一元二次方程的解法33 一般的一元二次方程的解法 配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1 化二次项系数为 1 用二次项系数去除方程两边,将方程化为20 xpxq的形式2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为2xpxq的形式3 配方方程两边同时加上 “ 一次项系数一半的平方 ”, 是方程左边成为含有未知数的完全平方形式 ,右边是一个常数34 一元二次方程的求根公式一元二次方程20axbxc(a!=0)的求根公式 :当240bac时,122bxxa当240bac时，21,24

14、2bbacxa当240bac时，方程无解35 一元二次方程根的判别式方程20axbxc(a!=0)当240bac时,有两个不相等的实数根 ;当240bac时,有两个相等的实数根 ;当240bac时,没有实数根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载36 一元二次方程的根与系数的关系以两个数12,x x为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是21212().0 xxxxx x4 解应用问题第四章 多项式的四则运算1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方 )运算的式子叫做单项式单独的一个数或字

15、母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数 )的数字系数 ,简称系数当一个单项式的系数是1 或-1 时, “ 1”通常省略不写一个单项式中 ,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中 ,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项 ,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中 ,所含的不同未知数的个

16、数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数 ,就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式 ,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多项式f(x) 、g(x) 来说,当未知数 x 同取任一个数值a 时,如果它们所得的值都是相等的,即 f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为 f(x)=g(x),或简记为 f(x)=g(x)性质 1 如果 f(x)=g(x),那么,对于任一个数值 a,都有 f(a)=g(a)性质 2 如果 f(x)=g(x),那么,

17、这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地 ,能够使多项式 f(x) 的值等于 0 的未知数 x 的值,叫做多项式 f(x) 的根2 多项式的加、减法 ,乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘 ,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式 ,则连同它的指数作为积的一个因式3 多项式的乘法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载多项式与多项式相乘 ,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23 常用乘法公式公式 I 平方差公式22().()aba

18、bab两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式 II 完全平方公式222()2abaabb222()2abaabb3 单项式的除法两个单项式相除 ,就是它们的系数、 同底数的幂分别相除 ,而对于那些只在被除式里出现的字母 ,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加第五章因式分解1 因式分解11 因式如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式 ,那么这个因式 (即该多项式 )就叫做质因式12 因式分解把一个多

19、项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1提取公因式法2运用公式法3分组分解法4十字相乘法5配方法6求根公式法13 用待定系数法分解因式2 余式定理及其应用21 余式定理f(x) 除以(x-a) 的余式是常数 f(a)如果 f(a)=0,那么 f(x) 必定含有因式 x-a; 反过来 ,如果 f(x) 含有因式 x-a, 那么 f(a)=0这个结论叫做因式定理22 余式定理的应用23 因式分解法解一元方程24 根与系数的关系如果12,x x是二次三项式20axbxc(a 不等于 )0 的两个根 ,那么1212,bcxxxxaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名

20、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载第六章分式与二次根式1 分式与分式方程11 指数的扩充12 分式和分式的基本性质设 f,g 是一元或多元多项式 ,g 的次数高于零次 ,则称 f,g 之比 f/g 为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0 的数,分数的值不变13 分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数 ,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的

21、分母相同 ,而各分式的值保持不变 ,这种运算叫做通分14 分式的运算15 分式方程方程的两遍都是有理式 ,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式21 根式在实数范围内 ,如果 n 个 x 相乘等于 a,n 是大于 1 的整数 ,则称 x 为 a 的 n次方根含有数字与变元的加 ,减,乘,除,乘方 ,开方运算 ,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1) 被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2) 根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同 ,那么这几个二次根式叫做同类

22、根式23 二次根式的运算24 无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程第七章二元二次方程组1 二元二次方程与二元二次方程组11 二元二次方程含有两个未知数 ,并且未知数最高次数是2 的整式方程 ,称为二元二次方程关于 x,y 的二元二次方程的一般形式是ax2 +bxy+cy2+dy+ey+f=0其中 ax2 ,bxy,cy2 叫做方程的二次项 ,d,e 叫做一次项 ,f 叫做常数项12 二元二次方程组2 二元二次方程组的解法21 第一种类型的二元二次方程组的解法当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解

23、这种解方程组的方法 ,称为分解降次法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载22 第二种类型的二元二次方程组的解法第八章函数与图像1 数轴11 有向直线在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向 ,另一方向为负相规定了正方向的直线 ,叫做有向直线 ,读作有向直线 l12 数轴我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标对于每一个坐标 (实数), 在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线

24、段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值2 平面直角坐标系21 平面的直角坐标化在平面内任取一点 o 为作为原点 (基准点 ), 过 o 引两条互相垂直的 ,以 o 为公共原点的数轴 ,一般地 ,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系 x 轴叫横轴 ,y 轴叫纵轴 ,它们都叫直角坐标系的坐标轴; 公共原点 o 称为直角坐标系的原点 ;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限22 两点间的距离23 中点公式3 函数31 常量,变量和函数在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常

25、数一般地 ,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y, 如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值 ,y 都有唯一确定的值与之对应,那么就称 y 是 x 的函数 ,x 叫做自变量1.函数的定义域2.对应法则(1)解析法就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式 )(2)列表法(3)图像法3 函数的值域一般的 ,当函数 f(x) 的自变量 x 去定义域 D 中的一个确定的值 a,函数有唯一确定的对应值这个对应值 ,称为 x=a 时的函数值 ,简称函数值 ,记作:f(a)32 函数的图像若把自变量 x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,

26、可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x)的集合构成一个图形F,而集 F 成为函数y=f(x)的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载知道函数的解析式 ,要画函数的图像 ,一般分为列表 ,描点,连线三个步骤4 正比例函数41 正比例函数一般地 ,函数 y=kx(k是不等于零的常数 )叫做正比例函数 ,其中常数 k 叫做变量y 与 x 之间的比例函数确定了比例函数k, 就可以确定一个正比例函数正比例函数 y=kx有下列性质 :(3)当 k0时,它的图像经过第一 ,三象限 ,y 随着 x 的值增大而

27、增大 ; 当 k0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内 ,在每一个象限内 ,y随 x 的值增大而减小 ; 当 k0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内 ,在每一个象限内 ,y 随 x 的增大而增大(8)它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和 y 轴5 一次函数及其图像51 一次函数及其图像如果 k=0时,函数变形为 y=b, 无论 x 在其定义域内取何值 ,y 都有唯一确定的值b 与之对应 ,这样的函数我们称它为常函数直线 y=kx+b与 y 轴交与点 (0,b),b叫做直线 y=kx+b在 y 轴上的截距 ,简称纵截距52 一次函数的性质函数 y=f( 小), 在 axb 上,如果函数值随着自变量x 的值增加而增加 ,那么我们说函数 f(x) 在 axR+r（2）两圆外切d=R+r（3）两圆相交R-rdr)（4）两圆内切d=R-r (Rr)（5）两圆内含dr)特殊情况 ,两圆是同心圆d=03.2 两圆的公切线定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页