2022年函数对称中心的求法解析 .pdf

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1、精品资料欢迎下载函数对称中心的求法解析题目函数32( )367f xxxx的图象是中心对称图象，其对称中心为_. 一、利用定义求对称中心分析根据中心对称图形的定义，在函数( )f x图象上的任意一点( ,)A x y关于对称中心( , )a b的对称点(,)A x y也在函数( )f x的图象上 . 22xxayyb，即22xaxyby. (2,2)Aaxby，代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7byfaxaxaxax, 化简得：32232(36 )(12126)(2781212 )yxa xaaxbaaa，与32( )367f xxxx是同一函数，则对应系数相等，故232363

2、12126627812127aaabaaa，1a，3b，即函数( )f x的对称中心为(1, 3). 点评利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念， 通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心. 二、巧取特殊点求对称中心分析在函数( )f x的图象上取点(1, 3)、(2,1)，它们关于对称中心( , )a b的对称点分别为(21,23)ab、(22,21)ab也在函数( )fx的图象上 .323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7baaabaaa，相减则26(253)0aa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

3、 - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载13ab或321ab.又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f，3(,1)2不是对称中心，故对称中心为(1, 3). 点评这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解. 三、巧构奇函数求对称中心分析把函数( )yf x变形为33(1)3(1)yxx，设函数3( )yg xxx，( )yg x为奇函数，其对称中心为(0,0)O，又将函数3yxx的图象按向量(1, 3)a平移刚

4、好得到33(1)3(1)yxx，( )yf x的对称中心是由( )yg x的对称中心(0,0)O按向量(1, 3)a平移得到的， 即为(1, 3)( )yf x的对称中心为(1, 3)点评这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的. 【2013 春考】 31 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 6 分。已知真命题：“函数( )yf x的图像关于点()P a b、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yf xab是奇函

5、数”。（1）将函数32( )3g xxx的图像向左平移 1 个单位，再向上平移2 个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数( )g x图像对称中心的坐标；（2）求函数22( )log4xh xx图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数( )yf x的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载为 “存在实数 a 和 b， 使得函数()yf xab是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进

6、行修改，使之成为真命题（不必证明）。解: （1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx，整理得33yxx，由于函数33yxx是奇函数，由题设真命题知，函数( )g x图像对称中心的坐标是(12)，。（2）设22( )log4xh xx的对称中心为()P a b，由题设知函数()h xab是奇函数。设( )(),f xh xab则22()( )log4()xaf xbxa，即222( )log4xafxbax。由不等式2204xaax的解集关于原点对称，得2a。此时22(2)( )log( 2 2)2xf xb xx，。任取( 2,2)x，由()( )0fxf x，得1b，所以函

7、数22( )log4xh xx图像对称中心的坐标是(2 1)，。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数( )f xx的图像关于直线 yx 成轴对称图像，但是对任意实数a和 b，函数()yf xab，即yxab总不是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载修改后的真命题：“函数( )yf x的图像关于直线xa成轴对称图像”的充要条件是“函数()yf xa是偶函数”。长宁区 20132014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

8、 - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载22、 （本题满分 16 分，其中（ 1）小题满分 4 分， （2）小题满分 6 分， （3）小题满分 6 分）已知函数xxaxxf1log1)(2为奇函数 . （1）求常数a的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由；（3） 函数)(xg的图象由函数)(xf的图象先向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，写出)(xg的一个对称中心，若1)(bg，求)4(bg的值。22、 解：(1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由01xxa，得0)(1(axx，所以1a。 2分这时xxxxf11log1)(2满足)()(xfxf，函数为

9、奇函数，因此.1a 4分（2）函数为单调递减函数.)121(log1)(2xxxf法一 :用单调性定义证明；法二：利用已有函数的单调性加以说明。121x在)1 , 1(x上单调递增，因此)121(log2x单调递增，又x1在)0, 1(及) 1 ,0(上单调递减，因此函数)(xf在)0, 1(及)1 , 0(上单调递减；法三：函数定义域为)1 , 0()0, 1(，说明函数在)1 ,0(上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在)0, 1(上也是单调递减，因此函数)(xf在)0 , 1(及)1 ,0(上单调递减。 10分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载（3） 因为函数)(xf为奇函数，因此其图像关于坐标原点（ 0,0） 对称，根据条件得到函数)(xg的一个对称中心为)2,2(， 13分因此有4)()4(xgxg，因为1)(bg，因此.3)4(bg 16分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页