2022年函数最值问题的十二种解题方法教师版 .pdf

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1、精品资料欢迎下载有关函数最值问题的十二种解题方法一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数( , )f x y的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数( ,)f x y化为在给定区间上求一元函数的最值问题。例 1、已知x、yR且223260 xyx，求222xy的值域。解：由223260 xyx得222360yxx，即02x。2222392262()22xyxxx当32x时，222xy取得最大值92；当0 x时，222xy取得最小值0。即222xy的值域为90,2二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数( )f x出现在一个有实根的一元二次方程的系数中

2、，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0来求出( )f x的最值。例 2、求函数22( )1xfxxx的最值。解：由22( )1xf xxx得2( )( )2( )0f x xf xxf x，因为xR，所以0，即22( )24( )0f xfx，解得22( )3f x。因此( )f x的最大值是23，最小值是2。三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。例 3、求2( )23 4xxf x在区间1,0内的最值。解：配方得2224( )23 43(2)33xxxf x1,0 x，所以1212x，从而当223x即22log3x时，( )f x取得最大值43；当21x即0 x时( )

3、f x取得最小值1。四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为( )sincosf xaxbx (a、b均为常数），则可用辅助角公式22sincossin(arctan)baxbxabxa来求函数( )f x的最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载例 4、求函数1sin( )2cosxfxx的值域。解：由1sin( )2cosxf xx化为sin( )cos12( )0 xf xxf x，即21( )sinarctan ( )2 ( )1fxxf xf x，从而22 ( )11( )f xfx243(

4、 )4 ( )00( )3fxf xf x。因此( )f x的值域为40,3。五、三角代换法：例 5、求函数2( )43f xxxx的值域。解 ： 由22( )43(2)1f xxxxxx， 令2sinx， 其 中,22，则( )2sincos22sin()4f x，因 为,22， 所 以3,444， 从 而2sin(),142， 因 此( )1,22f x。六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。例 6、求函数225( )4xf xx的值域。解：22222543( )4444xf xxxxx2344x35422。当且仅当22444xx，即0 x时

5、，等号成立，所以5( ),2f x七、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。例 8、设函数( )fx是奇函数，对任意x、yR均有关系()( )( )fxyf xfy，若x0时，( )0f x且(1)2f。求( )f x在3,3上的最大值和最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载解： 先确定( )f x在3,3上的单调性， 设任意1x、23,3x且12xx， 则210 xx。212121()()()()()0f xf xf xfxfxx即21()()f

6、xf x。( )f x在3,3上是减函数。因此( )f x的最大值是( 3)(3)(21)fff(1)(1)(1)6fff( )f x的最小值是(3)3 (1)6ff八、利用函数( )(0)kf xxkx在区间(, k、,)k上递增，在区间,0)k、(0,k上递减来解例 9、求函数2( )sinsinfxxx的值域。解：因为sin1,00,1x，易证( )f x在1,0或0,1上都是减函数，所以当sin1x时，( )fx取得最大值3；所以当sin1x时，( )f x取得最小值3。( ), 33,f x。九、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用

7、图形的直观性。1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。例 10、求函数2610186)(22xxxxxf的最小值。分析：2610186)(22xxxxxf=2222) 10()5() 30()3(xx表示动点)0,(xP到定点)3,3(A，)1,5(B的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接AB交 X轴于一点，易证该点即是所求的P点。解：由题意及分析易得直线AB的方程为2321xy，令0y得3x即所求的P点为（ 3， 0） 。此时( )f x的最小值是(3)4 5f。2、利用直线的斜率求最值。例 11、求函数1 sin( )2cosxf xx

8、的值域。解：令1sin( )2cosxkf xx，则k可以看成坐标平面内过点(cos ,sin)Axx、( 2, 1)B的直线的斜率。因为(cos ,sin)Axx点在圆221XY上运动，因此，当直线BA是此圆的切线时，斜率k取得最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载设过B点的切线方程为1(2)Yk X，则有22111kk，解得10k，243k。因此( )f x的值域为40,3。3、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到。例 12、设 x

9、，y 满足约束条件：1yx2yx0 x，求 z3x2y 的最大值。解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行域的一组平行线223zxy（见红线） ，如下图所示：由图可知，当直线223zxy过点 A(1,1) 时，截距2z最大，即z 最大， zmax=31+21=5 十、待定系数法：例 13、若实数x、 y 满足2839,200 xyxyzxyxy求的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载解：因为实数x y满足230 xyxyxy 8 9 0, 所以设 z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y)

10、, 12153235mmnmnn, z=51(2x+y)+53(x+3y) 518+539=7. 即z的最大值为7。十一、万能公式法：对于由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把含正弦和余弦的函数化为只含正切的函数来求出。例 14、求函数1 sin( )2cosxf xx的值域。解：令tan2xt（tR） ，则2222211 sin121( )12cos321ttxtttyf xtxtt由于tR，所以用判别式法可解。即由2123tttyt得2(1)2310ytty，从而当1y时，1tR；当1y时 ， 由0得44(1)(31)0yy， 解 得403y。 所 以 函 数1

11、 sin( )2cosxf xx的值域为40,3。十二、求导法：例 7、用总长 14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为x m 容器容积为y m3，则另一边为 (x+0.5)m,高为14.844(0.5)3.224xxhx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载0022.3xx0 x1.6 y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0 x1.6)，即 y=-2x3+2.2x2+1.6x 令 y= -6x2+4.4x+1.6=0 ,即 15x2-11x-4=0 ，解得x1=1， x2=-154( 舍) 在 (0,16) 内只有在x=1 处使 y=0,若 x 接近 0 或接近 1.6 m 时， y 接近 0. 故当 x=1，y最大=1.8 当高为 3.2- 21=1.2 m 时容器最大为1.8 m3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页