2022年备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题函数零点问题的解题模板 .pdf

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1、【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查. 【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0， 则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可. 例 1 函数43xfxex的零点所在的区间为（）A10,4 B1 1,4 2C1 3,2 4 D3,14【答案】 B【解析】考点：零点存在定理【变式演练1】方程220 xx的解所在的

2、区间为（）A( 1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【答案】 B【解析】试题分析：由题意得，设函数22xfxx，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页0102021,12121ff，所以010ff，所以方程220 xx的解所在的区间为(0,1)，故选 B.考点：函数的零点.【变式演练2】函数21( )logf xxx的零点所在区间（）A1(0,)2 B1(,1)2 C(1,2) D(2,3)【答案】 C【解析】试题分析：211(1)log 1 110,2122ff，120ff，故函数21( )logf xxx

3、的零点所在区间为(1,2)考点：函数零点的判断二、零点的个数的确定方法 1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论 . 例 2.函数xexfx3)(的零点个数是（）A0 B 1 C2 D3【答案】 B【解析】考点：函数的零点【变式演练3】函数3( )22xf xx在区间（ 0,1 ）内的零点个数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23

4、页A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 B【解析】试 题 分 析 ： 由 于 函 数3( )22xf xx在 区 间(0,1)内 为 单 调 递 增 函 数 ， 且010,(1)10ff，即010ff，所以函数3( )22xf xx在区间(0,1)内只有一个零点，故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】 本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题的解答中，根据题意得出函数3( )22xf xx在区间(0,1)内为单调递增函数且010ff是解答的关键.【变式演练4】方

5、程3sinxx的根的个数是（）A3 B4 C5 D6【答案】 C【解析】64224682345精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页考点：图象的交点【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题, 再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象, 需要注意的是, 两个函数都过)0,0(点, 而y轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0 x处的切线斜率得到, 为本题的易错点【变式演练5】已知函数lnxfxxxg xx e，（1）

6、记F xfxg x，求证：函数F x在区间1 ，内有且仅有一个零点；（2）用min ab，表示 ab， 中的最小值，设函数minh xfxg x，若关于x 的方程h xc（其中 c 为常数） 在区间1 ，有两个不相等的实根1212xxxx，记F x在1 ，内的零点为0 x ，试证明：1202xxx 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】试题分析：（ 1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明0212xxx，根据xh在,0 x上递减，即证明1012h xhxx，根据函数的单调性证明即可（ 2）由 （ 1） 问可

7、知00g xfx， 且01 , xx时 ，fxg x，0 , xx时g xf x，因此00ln , 1 , xxxxxh xxexx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页其中0 x 满足0000lnxxxx e即00lnxxe， （事实上01 , 2x） ，而01 , xx时，ln10hxx，0 , xx时，10 xhxx e，因此h x在001 , , , xx，若方程h xc在区间1 , 有两个不相等的实根，1212 , xxxx，则必有10201 , , , xxxx，所证120201022xxxxxxx ，因

8、为h x在0 , x单调递减，所以只需证2012h xhxx，而21h xh x，所以只需证1012h xhxx，即证明：0121101ln2xxxxxxe，考点： （1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性方法 2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数( )g x有零点问题转化为方程( )( )f xm x有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数( )yf x和( )ym x的图像；第三步观察并判断函数( )yf x和( )ym x的图像的交点个数；第四步由( )yfx和( )ym x图像的交点个数等于函数( )0g x的零点即可得出结论 .

9、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页例 3. 方程31( )|log|3xx的解的个数是（）A3 B2 C 1 D0【答案】 B【解析】试题分析：由图象可知，函数1( )3xy与函数3logyx有 2个交点，所以方程有2 个解。考点：函数与方程。【变式演练6】已知定义在R上的偶函数fx满足4fxfx，且当02x时，2min2 ,2fxxxx，若方程0fxmx恰有两个根，则m的取值范围是（）A11(,)(,+)33B11(,+)33C)2,31()31,2(D 11 2,233【答案】 C【解析】精选学习资料 - -

10、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页考点： 1函数的性质；2函数与方程【变式演练7】已知函数21(0)( )(1)(0)xxf xf xx，若方程( )f xxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A.(,0 B.0,1) C.(,1) D.0,)【答案】 C【解析】考点：函数与方程.【变式演练8】设函数266,0( )34,0 xxxf xxx，若互不相等的实数123xxx， ，满足123()()()f xf xf x，则123xxx的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

11、 - - - - -第 7 页，共 23 页A.20 26(,33 B.20 26(,)33 C.11(,63 D.11(,6)3【答案】 D【解析】试题分析：在坐标系内作出函数266,0( )34,0 xxxf xxx的图象，作直线ya与该函数的图象相交， 有三个公共点， 由图可知，23176,03xxx， 所以1231163xxx，故选 D. 考点： 1. 函数与方程； 2. 数形结合 .【高考再现】1. 【2016 高考天津理数】已知函数f（x）=2(4,0,log (1) 13,03)axaxaxxx（a0,且 a1 ）在 R上单调递减，且关于 x 的方程|( ) | 2f xx恰好有

12、两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（ A） （0，23 （B）23，34 （C）13，2334（D）13，23）34 【答案】 C 【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解2.【2016 高考山东

13、理数】已知函数2|,( )24 ,xxmf xxmxm xm其中0m，若存在实数b，使得关于x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_. 【答案】3,【解析】试题分析： 画出函数图象如下图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页3. 【2016 高考新课标1 卷】 （本小题满分12 分）已知函数221xfxxea x有两个零点 . (I)求 a 的取值范围；(II) 设 x1,x2是fx的两个零点 ,证明：122xx. 【答案】(0,)试题解析 ;（）( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfx

14、xea xxea（i）设0a,则( )(2)xf xxe,( )f x只有一个零点（ii ）设0a,则当(,1)x时 ,( )0fx；当(1,)x时,( )0fx所以( )f x在(,1)上单调递减 ,在(1,)上单调递增又(1)fe,(2)fa,取b满足0b且ln2ab,则223( )(2)(1)()022af bba ba bb, 故( )f x存在两个零点（iii ）设0a,由( )0fx得1x或ln( 2 )xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页若2ea,则ln( 2 )1a,故当(1,)x时 ,( )0

15、fx,因此( )f x在(1,)上单调递增又当1x时,( )0f x,所以( )f x不存在两个零点若2ea, 则ln( 2 )1a, 故 当(1,ln( 2 )xa时 ,( )0fx； 当(ln( 2 ),)xa时,( )0fx因此( )f x在(1,ln( 2 )a单调递减 ,在(ln( 2 ),)a单调递增又当1x时,( )0f x,所以( )f x不存在两个零点综上 ,a的取值范围为(0,)（）不妨设12xx,由（）知12(,1),(1,)xx,22(,1)x,( )f x在(,1)上单调递减 ,所以122xx等价于12()(2)f xfx,即2(2)0fx由于222222(2)(1)

16、xfxx ea x,而22222()(2)(1)0 xf xxea x,所以222222(2)(2)xxfxx exe设2( )(2)xxg xxexe,则2( )(1)()xxg xxee所以当1x时,( )0gx,而(1)0g,故当1x时 ,( )0g x从而22()(2)0g xfx,故122xx考点：导数及其应用【名师点睛】 ,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数 ,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 4. 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分16 分）已知函数

17、( )(0,0,1,1)xxf xababab. 设12,2ab. （1）求方程( )2f x的根 ; （2）若对任意xR, 不等式(2 )f( )6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（3）若01,1ab，函数2g xfx有且只有 1 个零点，求ab的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页【答案】（1） 0 4（2）1 【解析】试题解析：（ 1）因为12,2ab，所以( )22xxf x.方程( )2f x，即222xx，亦即2(2 )2210 xx，所以2(21)0 x，于是21x，解得0 x.由条件知2222

18、(2 )22(22 )2( ( )2xxxxfxf x. 因为(2 )( )6fxmf x对于xR恒成立，且( )0f x，所以2( )4( )f xmf x对于xR恒成立 . 而2( )444( )2( )4( )( )( )fxf xf xf xf xf x，且2(0)44(0)ff，所以4m，故实数m的最大值为4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页因而函数( )g x在0(,)x上是单调减函数，在0(,)x上是单调增函数. 下证00 x. 若00 x，则0002xx，于是0()(0)02xgg，又log2

19、log2log2(log2)220aaaagaba，且函数( )g x在以02x和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x和log 2a之间存在( )g x的零点，记为1x. 因为01a，所以log 20a，又002x，所以10 x与“ 0 是函数( )g x的唯一零点”矛盾. 若00 x，同理可得，在02x和log 2a之间存在( )g x的非 0 的零点，矛盾. 因此，00 x. 于是ln1lnab，故lnln0ab，所以1ab.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

20、 13 页，共 23 页5. 【 2015 高考天津， 理 8】已知函数22,2,2,2,xxfxxx函数2g xbfx，其中bR，若函数yfxg x恰有 4 个零点，则b的取值范围是 ( ) （A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24【答案】 D 【解析】由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0 x xfxxx，所以222,0( )(2)42,0222(2) ,2xxxyf xfxxxxxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合. 【名师点睛

21、】 本题主要考查求函数解析、函数与方程思、 数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题 . 6. 【2015 高考湖南， 理 15】已知32,( ),xxaf xxxa，若存在实数b，使函数( )( )g xfxb有两个零点，则a的取值范围是. 【答案】), 1()0,(. 【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3axbx与方程)(2axbx的根的个数和为2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

22、- - - -第 15 页，共 23 页若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组ababab31有解，23aba，从而1a；若方程)(3axbx无解，方程)(2axbx有2 个根：则可知关于b的不等式组abab31有解，从而0a，综上，实数a的取值范围是), 1()0,(. 【考点定位】 1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. 【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题， 实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a的不等式，

23、此题是创新题， 区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力. 7.【2015 高考安徽，理15】设30 xaxb，其中,a b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）3,3ab；3,2ab；3,2ab；0,2ab；1,2ab. 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页【考点定位】 1 函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值. 【名师点睛】 高考中若出现方程问题，通常情况下一定要考虑其对应

24、的函数，了解函数的大致图象特征，便于去分析方程； 若出现的是高次函数或非基本初等函数，要利用导数这一工具进行分析其单调性、极值与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理. 8. 【 2015 高考北京，理14】设函数21421.xaxfxxaxax?若1a，则 fx 的最小值为；若 fx 恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是【答案】 (1)1 ，(2)112a或2a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解【名师点

25、睛】 本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象， 利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数a，讨论要全面，注意数形结合9. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数|ln|)(xxf，1, 2|4|10, 0)(2xxxxg，则方程1| )()(|xgxf实根的个数为【答案】 4 【考点定位】函数与方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页【名师点晴】 一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过

26、平移、 对称变换转化为相应的函数图像问题， 利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢. 【反馈练习】1 【2016-20XX年 福 建 福 州 外 国 语 学 校 高 二 上 月 考 一 数 学 试 卷 , 理2 】 函 数1( )()22xf xx的零点所在的一个区间是（）A1,0B0,1C1,2D2,3【答案】 D【解析】试题分析：因087)3(,041)2(,023)1 (, 03)0(,05) 1(fffff, 则函数1( )( )

27、22xf xx零点所在的区间是2,3, 应选答案 D考点：函数的零点及判别.2. 【20XX届山西省名校高三9 月联考数学试卷, 文 4】函数3( )3| 1(1)f xxxx的零点所在区间为（）A11(,)34和1(,1)2B11(,)23和1 1(,)3 2C11(,)23和1(,1)2D11(,)34和1 1(,)3 2【答案】 D【解析】考点： 1、零点存在性定理；2、分段函数3. 【 20XX 届 福 建 福 州 外 国 语 学 校 高 三 上 月 考 一 数 学 试 卷 , 理6】 已 知 二 次 函 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

28、 - - -第 19 页，共 23 页2( )f xaxbxc满足22cab且0c，则含有( )f x的零点的一个区间是（）A(0,2)B( 1,0)C(0,1)D( 2,0)【答案】 D【解析】试题分析：( 2)422(2)0,(0)0( 2)(0)02cfabcabfcf含( )f x的零点的一个区间是( 2,0)，故选 D考点：函数的零点4. 【 20XX 届甘肃肃南裕固族自治县一中高三10 月月考数学试卷, 文 12】已知函数21,01 ,0 xxfxfxx，若方程fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A,0 B0,1C,1 D0,【答案】 C【解析】试题分析：函

29、数21,01 ,0 xxfxfxx的图象如图所示，当1a时，函数)(xf的图象与函数axy的图象有两个交点，即方程fxxa有且只有两个不相等实数根，故a的取值范围为,1考点：分段函数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页5. 【20XX 届河南郑州一中教育集团高三押题二数学试卷, 文 12】已知定义域为R的偶函数)(xf满 足 对 任 意 的Rx， 有) 1()()2(fxfxf， 且 当3 ,2x时 ，18122)(2xxxf若函数) 1(log)(xxfya在), 0(上至少有三个零点，则实数a的取值范围是

30、（）A)22, 0(B)33, 0(C)55, 0(D)66, 0(【答案】 B【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页考点：根的存在性及根的个数判断6. 【 20XX 届 山 西 康 杰 中 学 高 三10月 月 考 数 学 试 卷 , 文12 】 已 知 函 数24 ,0( )ln ,0 xx xf xxx x，( )1g xkx， 若方程( )( )0f xg x在( 2,2)x有三个实根，则实数k的取值范围为（）A3(1, )2B3(ln 2 3,)2C3(,2)2 D3(1,ln 2)(,2)2e【答

31、案】 D【解析】考点：函数与方程7. 【 20XX届 贵 州 遵 义 四 中 高 三 上 月 考 一 数 学 试 卷 , 文12 】 已 知 函 数)(xf2(4,0,log (1) 13,03)axaxaxxx)1,0(aa且在 R 上单调递减，且关于x的方程|( ) | 2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.（ 0，23 B.23，34 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页C.13，2334 D.13，23）34【答案】 C【解析】考点：方程的根与函数的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页