2022年完整word版,数学物理方法知识点归纳 .pdf
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1、第一章复述和复变函数1.5 连续若函数)(xf在0z的领域内(包括0z本身)已经单值确定,并且)()(0lim0zfzfzz,则称 f(z) 在0z点连续。1.6 导数若函数在一点的导数存在,则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件(i) xu、yu、xv、yv在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条 件 在 该 点 成 立 。 C-R条 件 为yyxuxyxvyyxvxyxu),(),(),(),(1.7 解析若函数不仅在一点是可导的,而且在该点的领域内点点是可导的,则称该点是解析的。解析的必要条件:函数f(z)=u+iv在点 z 的领域内 (i) xu、yu
2、、xv、yv存在。(ii)C-R 条件在该点成立。解析的充分条件: 函数 f(z)=u+iv 在领域内 (i) xu、yu、xv、yv不仅存在而且连续。(ii)C-R 条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数:22xu+22yu=0 由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。 但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数,因为它们不一定满足CR 条件。当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时,如何求 v(x,y)? 通过 C R 条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2 解析函数的积分柯西定理: 若函数 f(z)在单连
3、区域D 内是解析的,则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与 B 的那些曲线来讲,积分BAdzzf)(的值均相等。柯西定理推论: 若函数 f(z)在单连区域D 内解析,则它沿D 内任一围线的积分都等于零。Cdzzf0)(二连区域的柯西定理:若 f(z) 在二连区域D解析, 边界连续, 则 f(z)沿外境界线 (逆时针方向 )的积分等于f(z)沿内境界线 (逆时针方向)的积分。n+1 连区域柯西定理:niiiedzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21推论: 在 f(z) 的解析区域中,围线连续变形时,积分值不变。2.3 柯西公式若 f(z)在单连有界区域D 内解析, 在闭区域
4、D 的边界连续, 则对于区域D 的任何一个内点 a,有dzazzfiaf)(21)(其中是境界线。2.5 柯西导数公式dzfinzfCnn1)()()(2!)(第三章级数3.2 复变函数项级数外尔斯特拉斯定理: 如果级数0)(kkzu在境界上一致收敛,那么(i)这个级数在区域内部也收敛,其值为F(z) (ii) 由它们的 m 阶导数组成的级数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页0)()(kmkzu在区域内也收敛,而且它们的和等于 F(m)(z)。3.3 幂级数阿贝尔 (Abel) 定理: 如果幂级数0)(kkkazc在
5、点 z0处收敛,则在任一圆|z-a|=p|z0-a|,0p1 内,幂级数一致收敛,并且绝对收敛。达朗贝尔 (D Alembert) 判别法 :对于幂级数,计算下列极限|)(|)(|lim11kkkkkazcazc(i)当极限值小于1 时,幂级数在点z 处绝对收敛 (ii) 当极限值大于1 时,幂级数在点z处发散 (iii) 当极限值等于1 时,敛散性不能判断。柯西判别法:计算极限kkkkazc|)(|lim当极限值小于1 时,幂级数在点z 处绝对收敛;而当极限值大于1 时, 幂级数在点z 处发散;极限值等于1 时,不能判断3.4 解析函数与幂级数定理 :幂级数的和是收敛圆内的解析函数。Tayl
6、or 级数 :0)()(!)()(nnnaznafzf.!.! 212nzzzenz.)!12(-1).! 5! 3sin12n53nzzzzzn.)!2(.! 4! 21cos242nzzzzn.1(-1).32)1ln(1n32nzzzzzn3.5 解析函数与双边幂级数定理:双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数kkkazczf)()(dafick)()(21称为 Laurant 系数3.8 孤立奇点非孤立奇点 :若函数 f(z)在 z=a 点的无论多么小的领域内,总有除z=a 以外的奇点,则z=a 是 f(z)的非孤立奇点。孤立奇点 : 若函数在z=a
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