2022年锐角三角函数--讲义资料 .pdf

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1、精品资料欢迎下载锐角三角函数讲义一、基础知识点：1. 定义：如图在 ABC中， C为直角，我们把锐角 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦，记作sin A；caAsin把锐角 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA；cbAcos把锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A；baAtan2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值角度三角函数030456090sinA 0 1222321 cosA 1 3222120 tanA 0 331 3不 存在（2） 锐角三角函数值的变化：（1） 当为锐角时，各三角 函数值均为正数，且 0sin1，0cos1，当 045时，sin，tan随角度的增大

2、而 _，cos随角度的增大而 _（3）当 045时， sin_cos；当 4590时， sin_cos3、 同角、互余角的三角函数关系：（1）同角三角函数关系：1cossin22AA. ；AAAcossintan；（2） 互余锐角的三角函数关系：)90cos(cossinABA，)90sin(sincosABA。1、 解直角三角形 : 由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 1

3、0 页精品资料欢迎下载已知条件解法一条边和一个锐角斜边 c 和锐角 A 290,sin,cos ,sincosBA acA bcA ScAA直角边 a 和锐角 A 90,tansinaaBA bcAA两条边两条直角边 a 和 b 22cab，1,90,2A BA Sab直角边 a 和斜边 c 22,sin,90abcaAA BAc备注： a、b、c 为三角形的三边； A、B、C为三角形的三个内角、 S为三角形的面积三、典型例题：1 锐角三角函数的相关概念例 1、如图 1，在 RT ABC 中， C=90 ，sinA=53，则 tanB 的值为（）A34B54C 45D 43例 5例 2、 如图

4、，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径是23， AC=2 ，则 sinB的值是（）A32B23C 43D34例 3：已知在 RtABC中， C为直角， AC = 4cm，BC = 3cm，sin A = 例 4：在 RtABC中，90C ，abc， ， 分别是ABC，的对边，若2ba ，则tan A例 5：如图，在 RtABC中，C90，AB5，AC2，则 cosA的值是（）A215 B25 C212 D52A C B 图 1 A B C D O 例 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载

5、A CBA C B D B A C D E 例 6：如图 2，在ABC中， C 90，AB 10cm ，sinA 54，则 BC的长为 _ cm . 例 6例 7：正方形网格中，AOB如图 3 放置，则 cosAOB的值为（）552 5512 2典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在 RtABC中， C=90 ，sinB=35，点 D在 BC边上，且 ADC=45 ，DC=6 ，求BAD的正切值变式训练 1 如图，在ABC中，90ACB，CDAB 于 D ， 若2 3AC，3 2AB，则 tanBCD 的值为（）A.2 B.22 C.63 D.33变式训练 2 如图，在等边 ABC中，D为

6、 BC边上一点， E为 AC边上一点，且ADE=60 ，BD=4 ，CE=43，则 ABC 的面 积为（）A8 3 B 15 C 9 3 D12 3题型三：化简计算例 1（1） ）计算：20113015( 1)( )(cos68)3 38sin 602. A B O 例 7 变式 1 图变式 2 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载变式： 已知是锐角， 且 sin( +15)=32。 计算10184cos(3.14)tan3。特殊角的三角函数值例 1 菱形 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，

7、452AOCOC ，则点 B的坐标为（）A(2 1)， B(12)， C (211)， D (121)，变式训练 2. 如图，直径为 10 的A经过点 C (0,5) 和点 O (0,0)，B是 y 轴右侧 A优弧上一点 , 则OBC 的余弦值为 ( ). A12 B34 C32 D45概念巩固练习1. 已知ABC中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A（）A. 35B. 45 C. 53 D. 342. 已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）A 50B 60C 70D 803. 如图，已知直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为m，40B， 则直角边 BC 的长是 （）Asi

8、n 40mBcos40mC tan40mDtan40m4. 正方形网格中，AOB如图放置，则 sinAOB=（）A55 B2 55 C12 D2A B O 例 1 图变式 1 图第 3 图第 4 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载5. 在ABC 中， C90，tan A31，则 sin B（）A1010B32 C 43 D 101036. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠， 使点 A与点 B重合，折痕为 DE ，则 tanCBE 的值是（）A247B73C724D 1

9、37、如图， AB是O 的直径， C、D是圆上的两点（不与A、B 重合），已知 BC 2，tanADC 1，则 AB _2、锐角三角函数的应用性问题(1) 求线段长、面积、周长例 1 如图，测量河宽 AB （假设河的两岸平行） ，在 C点测得 ACB 30，D点测得 ADB60，又 CD 60m ，则河宽 AB为 m （结果保留根号） . 变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i =12的坡面向上前进了 10 m，此时小球距离地面的高度为 ( ) A5 m B25m C45m D310m 变式 2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径 AB是河底线，弦CD 是水位线， CD AB ，且

10、 CD = 24 m ，OE CD于点 E已测得 sin DOE =1213（1）求半径 OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6 8 C E A B D （第 6 题）ABCDOA O B E C D 第 7 图例 1 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载例 2 如图， 菱形 ABCD 的边长为 10cm ， DE AB ，3sin5A， 则这个菱形的面积 = cm2（2）测量问题例 2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣

11、塔的高度进行了测量，如图 2，他们先在 A处测得塔顶 C的仰角为 30；再向塔的方向直行80 步到达 B处，又测得塔顶C 的仰角为 60，请用以上数据计算塔高。 （学生的身高忽略不计， 1步=0.8m，结果精确到 1m ）（3） 、航海问题例 3、如图 3，灯塔 A在港口 0 的北偏东 55的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午 9 时从港口 0 出发向正东方向航行，上午11 时到达 B处，看到灯塔 A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里 / 小时）（供选数据：sin55 =0.8192,cos55 =0.5736,tan55 =1.4281）四、巩固练习：1.如图，

12、在 RtABC中， ACBRt，1BC，2AB， 则下列结论正确的是 （）A3sin2AB1tan2AC 3cos2B Dtan3B2. 如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC ，屋顶的宽度 l 为 10 米，坡角 为 35，则坡屋顶的高度 h 为米 （结果精确到 01 米）B C A （第 1 题）A B O 北东西南) 55精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载3. ABC中， C=90 ，AB=8 ，cosA=43，则 AC的长是；4. 先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5

13、 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. cos5B. cos5C. sin5D. sin55. 如图 10，已知 RtABC中，AC=3 ，BC= 4，过直角顶点 C作 CA1AB ，垂足为 A1，再过A1作 A1C1BC ， 垂足为 C1， 过 C1作 C1A2AB ， 垂足为 A2， 再过 A2作 A2C2BC ， 垂足为 C2， ，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，12C A，则 CA1= ，5554CAAC第 5 题图填空第 1 题图填空第 2 题图6. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 _. 7. 如图

14、所示，小华同学在距离某建筑物6 米的点 A处测得广告牌 B点、C点的仰角分别为 52和 35，则广告牌的高度BC为_ 米(精确到 0. 1 米) (sin35 0. 57，cos35 0. 82，tan35 0. 70；sin52 0. 79，cos520. 62，tan521. 28)8.104cos30 sin60( 2)( 20092008)=_9. (1) 计算2( 2)tan452cos 60。= （2）计算：02cos6020099= 五、课后练习1如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离 BE为 5m ， AB为 1.5m （即小颖的眼睛距

15、地面的距离） ， 那么这棵树高是（） A （53 332）m B （35 32）m C 5 33m D4m 2如图，在等腰 RtABC 中， C=90o，AC =6，D是 AC上一点，若 tanDBA =51，则 AD的长为（） （A） 2（B）3（C）2（D）1 B A E D C 30图ABCD6 米5235(第 7 题图 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载CBA3已知在ABC中，90C，设 sinBn ，当B是最小的内角时，n的取值范围是A202nB102nC303nD 302n4如图，每个

16、小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点， 则ABC的度数为（）A90 B60 C45 D305如图，矩形 ABCD 中，AB AD ， AB =a，AN平分 DAB ， DM AN于点 M ，CN AN于点 N 则DM +CN的值为（用含 a 的代数式表示） ( ) Aa Ba54 Ca22 Da236在ABC中， C90，sinA 45，则 tanB（）A43B34C35D 457在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则 cosB 的值为（）A12B22C32D338计算2sin 45的结果等于 _. 9在 RtABC中, C=90 , 若 AC=2BC, 则 sin A 的值是 (

17、 ) A12 B2 C55D5210在 RtABC 中， C=90 ，AC=2 ，BC=1 ，则 tanB= ，sinA= 。11直角梯形 ABCD 中，AB BC ，AD BC ，BC AD ，AD 2，AB 4，点 E在 AB上，将CBE 沿 CE翻折，使得 B点与 D点重合，则 BCE的正切值为12如图，在 ABC中， B=45 ，cosC=53，AC=5a ，则 ABC的面积用含的式子表示是aNMCDAB（第 5 题）第 7 题第 11 题第4 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载13. 如

18、图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救 1 号救生员从 A点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边 (岸边看成是直线 )向前跑到 C点，再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑3 0 O米到离B点最近的 D点，再跳人海中救生员在岸上跑的速度都是6 米秒，在水中游泳的速度都是 2 米秒若 BAD=4 5，BCD=6 0，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B ( 参考数据21.4 ，31.7) 14. 如图 13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离()AB是 1.7m，看旗杆顶部 M 的仰角为45；

19、小红的眼睛与地面的距离()CD是1.5m，看旗杆顶部 M 的仰角为30两人相距 28 米且位于旗杆两侧（点BND， ，在同一条直线上）请求出旗杆 MN 的高度（参考数据：21.4，31.7，结果保留整数）M N BA DC 3045精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载D A B C E F 15. 小刚有一块含有30角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为 9cm ；第二

20、步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得BOC为 80(O 为 AB中点)请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长( 参考数据： sin80 0. 98，cos800. 17，tan805. 67；sin40 0. 64，cos400. 77，tan400. 84，结果精确到 0. 1cm ) 16. 如图，在矩形 ABCD 中， E是 BC 边上的点， AEBC ， DFAE，垂足为 F ，连接 DE （1）求证：ABEDFA；（2）如果10ADAB，=6，求 sinEDF 的值ABCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页