2022年阿波罗尼斯圆专题汇编 .pdf

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1、阿波罗尼斯圆性质及其应用背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一（人教 A 版 124 页 B 组第 3题）已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)点距离的比为12，求点 M 的轨迹方程。（人教 A 版 144 页 B 组第 2题）已知点 M 与两个定点 ?1，?2距离的比是一个正数 m,求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1 和 m1 两种情形）。公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面

2、轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆（定值为1 时是直线，定值不是1 时为圆）定义：一般的平面内到两顶点A，B 距离之比为常数 （1）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆类型一：求轨迹方程1.已知点 M 与两个定点0 ,0O，0, 3A的距离的比为21，求点 M 的轨迹方程2.已知02aaAB，0MBMA，试分析 M 点的轨迹精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页3.（2006 年高考四川卷第 6 题）已知两定点 A（-2，0），B（1，0），如果动

3、点 P 满足条件 |?| = 2|?|，则点 P 的轨迹所包围的图形面积等于（）AB. 4 C.8D.9类型二：求三角形面积的最值4.（2008 江苏卷）满足条件 AB 2，AC 2BC 的 ABC 的面积的最大值是5.（2011 浙江温州高三模拟）在等腰 ABC 中，AB=AC ，D 为 AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的最大值为6.在 ABC 中，AC=2，AB=mBC(m1), 恰好当 B=?3时 ABC 面积的最大， m= 类型三：定点定值问题7. 已知圆 O：?2+ ?2= 9,点 B(-5,0),在直线 OB 上存在定点 A(不同于点 B)，满足对于圆 O 上任意一点 P，

4、都有?为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求?8.（2014 湖北文科卷 17 题）已知圆 O：?2+ ?2= 1,点 A(-2.0),若定点B(b,0)(b-2 )和常数 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有 |? | =? |? |，则? = ,? =类型四：阿波罗尼斯圆的性质9. 已知圆 C:(? - 1)2+ (?- 1)2= 1, 定点?(0,0),?(2,0),其中 P为圆 C 上的动点，则 2PO+PB的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页10.已知函数 ? (? )=2(cos +12)

5、2+ ?2- ?2+ (sin-12)2,若集合R|? (? ) ? ?, 则实数 ? 的取值范围为类型五：阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）11.已知BC= 6，AC= 2AB，点 D 满足? =2?+? +?2(?+?)? ? ? ? ? ,设? (?, ? ) = |? |,若? (?, ? ) ?(?0,?0)恒成立，则 ?(?0,?0)的最大值为12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17 题）设点 P 是ABC所在平面内动点，满足CPCACBuuu ruu u ru uu r,3 +42（,R ），=PAPBPCuu u ru uu ruuu

6、r若3AB，则ABC的面积最大值是阿波罗尼斯圆与三角形13.（2018.5月宁波模拟 16 题）已知向量 a,b 满足|? | = 3，|? | = 2|? - ? |，若|? + ?| 3恒成立，则实数 的取值范围为14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在 ABC 中，?R，|? - ? ? ? ? | |? ? ? ? |恒成立，求?+?的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页15.在ABC中，AD 、 BE分别为中线，若ba35， 则BEAD的取值范围. 阿波罗尼斯圆与几何体16. （

7、2014二模（理） 在等腰梯形ABCD中，E、F 分别为底边CDAB,的中点，把四边形 AEFD 沿直线 EF 折起后所在平面记为，P， 设PCPB，与所成的角分别为1，2（1，2均不为 0），21，则点 P 的轨迹为. A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线17.在四面体ABCD中，已知BCAD，6AD，2BC，且2CDACBDAB，则BCDAV的最大值为. 18.（2018.5月浙江高三五校联考17 题）棱长为 36的正四面体 ABCD 的内切球上有一个动点 M，则 MB+13? 的最小值练习：1.已知向量3b，aba2，若3ba恒成立，则实数的取值范围为. 精选学习资料 - - - - - -

8、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页2.（2015 湖北理科卷 14 题）如图，圆C与x轴相切与点0 , 1T，与 y 轴正半轴交于两点BA,（ B 在 A 的上方），2AB（1）圆 C 的标准方程为. 过点 A任作一条直线与圆1:22yxO相较于NM ,两点，下列三个结论：（2）MBMANBNA;2MBMANANB;22MBMANANB其中正确结论的序号是。（写出所有正确结论的序号）3.BCS为等腰直角三角形，90CBS，26SB，A为SB中点，将BCS沿AC翻折到SBC位置，且BACS为直二面角， P 为空间中一个动点 . （1）若SBCP面，且2PCPB，求PBC面积的最大值；（2） P 在三棱锥ABCS表面上， E 为BC中点， M 、N为线段SE两个三等分点， H 、G为空间中的两个动点，2GNGMHNHM，且334HG，求PHPG的最小值。B A C N E ABCSS M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页