2022年常微分方程试题库试卷库2 .pdf

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1、精品资料欢迎下载常微分方程期终考试试卷(1) 一、填空题（ 30% ）1、方程( , )( , )0M x y dxN x y dy有只含x的积分因子的充要条件是（） 。有只含y的积分因子的充要条件是_。、 _称为黎卡提方程，它有积分因子_。、 _称为伯努利方程，它有积分因子_。、若12( ),( ),( )nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解， 则它们线性无关的充要条件是_ 。、形如 _的方程称为欧拉方程。 、 若( ) t和( ) t都 是( )xA t x的 基 解 矩 阵 ， 则( ) t和( ) t具 有 的 关 系 是_ 。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解

2、是稳定的，对应的奇点称为 _。二、计算题（）1、3()0ydxxydy、sincos2xxtt、若2114A试求方程组xAx的解12( ), (0)t并求 expAt 、32()480dydyxyydxdx、求方程2dyxydx经过（ 0，0）的第三次近似解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页精品资料欢迎下载6. 求1,5dxdyxyxydtdt的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（）、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如 _的方程，称为变量分离

3、方程，这里.)().(yxf分别为x.y的连续函数。2、 形 如 _ 的 方 程 ， 称 为 伯 努 利 方 程 ， 这 里xxQxP为)().(的 连 续 函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.03、 如果存在常数使得不等式,0L_对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(),21函数),(yxf称为在 R上关于y满足利普希兹条件。4、 形如 _- 的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,21aa5、 设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_- 。一、计算题40% 1. 求方程的通解。26xyxydxdy2.求程xyex

4、ydxdy的通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页精品资料欢迎下载3. 求方程texxx256 的隐式解。4. 求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy二、证明题30% 1. 试验证t=122ttt是方程组x=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt上的基解矩阵。2. 设t为方程x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E） ，证明 : t1(t0)=(t- t0) 其中 t0为某一值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

5、 - - - -第 3 页，共 21 页精品资料欢迎下载常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 2. dxdy=6xy-x2y3. y=22)12(yxy4. xy=22yx+y 6. y-x(2x+2y)dx-xdy=0 8. 已知 f(x)xdttf0)(=1,x0, 试求函数 f(x)的一般表达式。二证明题 (10%*2=20%) 9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、 （）称为变量分离方程, 它有积分因子 ( )。、当（）时

6、，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页精品资料欢迎下载、函数),(yxf称为在矩形域上关于y满足利普希兹条件，如果（） 。、对毕卡逼近序列，()()(1xxkk。、解线性方程的常用方法有（） 。、若), 2, 1)(nitXi为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（） 。、方程组xtAx)(（） 。、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵， 则)(t和)(t具有关系： （） 。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（

7、）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（） 。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（） 。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（） 。 、 若)(t是xtAx)(的 基 解 矩 阵 ， 则xtAx)()(tf满 足)(0tx的 解（） 。二、计算题求下列方程的通解。、1sin4xedxdyy。、1)(122dxdyy。、求方程2yxdxdy通过)0 ,0(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、0 xxx。、texx。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、5, !yxdtdyyxdtdx。三、证明

8、题。、设)(t为方程Axx（为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即)0(E，证明)(t)()(001ttt其中0t为某一值。常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题（30 分）1)()(xQyxPdxdy称 为 一 阶 线 性 方 程 ， 它 有 积 分 因 子dxxPe)(， 其 通 解 为_ 。2函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn_ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页精品资料欢迎下载4方程22yxdxdy定义在矩形域22,

9、22:yxR上，则经过点（0， 0）的解的存在区间是 _ 。5函数组ttteee2,的伏朗斯基行列式为 _ 。6若), 2, 1)(nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若)(t是xtAx)(的基解矩阵，则向量函数)(t= _是)()(tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t= _ 是)()(tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。8若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,21，它们对应的特征值分别为n,21，那么矩阵)(t= _ 是常系数线性方程组Axx的一个基解矩阵。9满足 _ 的点),(*yx，称

10、为驻定方程组。二计算题（60 分）10求方程0) 1(24322dyyxdxyx的通解。11求方程0 xedxdydxdy的通解。12 求初值问题0)1(22yyxdxdy1, 11:yxR的解的存在区间， 并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程ttxx3sin9 的通解。14试求方程组)(tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA15试求线性方程组52,1972yxdtdyyxdtdx的奇点， 并判断奇点的类型及稳定性。三证明题（10 分） 16如果)(t是Axx满足初始条件)(0t的解， 那么)(ex p)(0ttAt常微分方程期终考试试卷(6) 三

11、填空题（共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格3 分） 。1、 当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页精品资料欢迎下载微分方程。2、_称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程_的连续解。4、若函数 f(x,y)在区域 G内连续， 且关于 y 满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解y=),(00yxx作为00,yxx的函数在它的存在范围内是_。5、若)(),.(),(321txtxtx为 n 阶齐

12、线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是_ 。6、方程组xtAx)(/的 _称之为xtAx)(/的一个基本解组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则expAt =_ 。8、满足 _的点（*, yx） ，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6 小题，每题10 分） 。1、求解方程：dxdy=312yxyx2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程

13、：texxxtcos32/5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt6、试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10 分） 。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么)(t)(0ttAe常微分方程期终试卷(7) 一、选择题1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个 （A）n（B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分精选学习资料 - - - - - - - - -

14、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页精品资料欢迎下载3. 方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解（ A）一（B）无数（C）两（D）三4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个（B）有两个（ C）无（D）有无数个5方程yxydd的奇解是（） （A）xy（B）1y（C）1y（D）0y二、计算题1.xy=22yx+y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx4. 1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy三、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2. 2)(ddxyxyxy3. xyxy2e3dd四证明1. 设)(1xy，)(2xy

15、是方程0)()(yxqyxpy的解，且满足)(01xy=)(02xy=0，0)(1xy，这里)(),(xqxp在),(上连续，),(0 x试证明：存在常数C使得)(2xy=C)(1xy2在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x 轴相切常微分方程期终试卷(8) 一、填空（每空3 分）1、称为一阶线性方程， 它有积分因子，其通解为。2、函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页精品资料欢迎下载

16、。3、若)(,),(),(21txtxtxn为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。4、形如的方程称为欧拉方程。5、 若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵， 则)(t和)(t具有的关系：。6、 若 向 量 函 数);(ytg在 域R上， 则 方 程 组0000),;(),;(yyttytgdtdy的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、求下列方程的解1、0)4()3(2dyxydxxy（6 分）2、dxyxxdyydx)(22（8 分）3、22) 2() 1(yyy（8 分）4、xyexydxdy（8 分）5、te

17、xxx256 （6 分）6、txx3sin1 （8 分）7、21 xx（8 分）三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）52,1972yxdtdyyxdtdx常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 1.1. xy=22yx+y 2.2. tgydx-ctydy=0 3.3. y-x(2x+2y)dx-xdy=0 4.4. 2xylnydx+2x+2y21ydy=0 5. dxdy=6xy-x2y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页精品资料欢迎下载6. y=22)12(yxy7

18、. 已知 f(x)xdttf0)(=1,x0, 试求函数f(x) 的一般表达式。8 一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k） 。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题 (10%*2=20%) 1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、 N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。2()()()yyyxMyNM xNyxMyNNMM2()()()xxxx

19、MyNN xMyxMyNNNM常常微分方程期终试卷(9) 一、填空题（每小题5 分，本题共30 分）1方程xxyxyesindd的任一解的最大存在区间必定是2方程04yy的基本解组是3向量函数组)(,),(),(21xxxnYYY在区间I 上线性相关的_条件是在区间 I 上它们的朗斯基行列式0)(xW4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件5n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间6 向量函数组)(,),(),(21xxxnYYY在其定义区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW，Ix二、计算题（每小题8 分，本题共40 分）求下列方程的通解7. xyxy2e3dd

20、8. 0)d(d)(3223yyyxxxyx90exyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页精品资料欢迎下载10求方程xyy5sin5的通解11求下列方程组的通解yxtyyxtx4dddd三、证明题（每小题15 分，本题共30 分）12设)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式CxW)(，其中C为常数13设)(x在区间),(上连续试证明方程yxxysin)(dd的所有解的存在区间必为),(常常微分方程期终试卷(10) 一、填空（ 30 分）1、)(xygdxdy称为齐次方程，

21、)()()(2xRyxQyxPdxdy称为黎卡提方程。2、如果),(yxf在R上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy， 定 义 于 区 间hxx0上 ， 连 续 且 满 足 初 始 条 件00)(yx， 其 中),m in (Mbah，),(max),(yxfMRyx。3、若)(txii (1，2，)n是齐线性方程的n个解，)(tw为其伏朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程0)()()(1twtatw。4、对逼卡逼近序列，kkkkxxkMLxx)(!)()(011。5、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有关系Ctt)()(

22、。6、 方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件是)(xNxNyM。有只含y的积分因子的充要条件是)( yMxNyM。7、方程212ydxdy经过)0,0(点的解在存在区间是),(。二、计算（ 60 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页精品资料欢迎下载1、 求解方程0)(42dxyxyxdy。解：所给微分方程可写成0)(42dxyxydxxdy即有0)(42dxyxxyd上式两边同除以4)(xy，得01)()(24dxxxyxyd由此可得方程的通解为131)(31cxxy即333231

23、ycxyx)3(1cc2、 求解方程322ppy解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有dxdpppp)62(2（1）当0p时，由所给微分方程得0y；（2）当dppdx)62(时，得cppx232。因此，所给微分方程的通解为cppx232，322ppy（p为参数）而0y是奇解。3、 求解方程1442 tteexxx解：特征方程0442，22, 1，故有基本解组te2，tte2，对于方程texxx44 ，因为1不是特征根，故有形如tAetx)(1的特解，将其代入texxx2 44，得teAet222，解之得21A，对于方程144 xxx，因为0不是特征根，故有形如Atx)(3的特解，将其代入

24、144 xxx，得41A，所以原方程的通解为4121)()(22212tttetetccetx4、 试求方程组Axx的一个基解矩阵，并计算Atexp，其中2112A解：0)det()(AEp，31，32，均为单根，设1对应的特征向量为1v，则由0)(11vAE，得)32(1v,0取3211v，同理可得1对应的特征向量为3212v，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页精品资料欢迎下载则131)(vett，232)(vett，均为方程组的解，令)(),()(21ttt，又03323211)0(det)0(w，所以)(t

25、即为所求基解矩阵ttttreee3333)32()32(。5、 求解方程组51yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令0501yxyx，得32yx，即奇点为（ 2，-3 ）令32yYxX，代入原方程组得YXdtdYYXdtdX，因为021111，又由0211112，解得21，22为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、 求方程2yxdxdy经过（ 0，0）的第二次近似解。解：0)(0 x，20121)0 ,(0)(xdxxfxx，5202220121)21,(0)(xxdxxxfxx。三、证明（ 10 分）假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组mt

26、ceAxx有一解形如mtpet)(其中c，p是常数向量。证：设方程有形如mtpet)(的解，则p是可以确定出来的。事实上，将mtpe代入方程得mtmtmtceApempe，因为0mte，所以cApemp，cPAmE)(（1）又m不是矩阵A的特征值，0)det(AmE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页精品资料欢迎下载所以1)(AmE存在，于是由（1）得cAmEp1)(存在。故方程有一解mtmtpeceAmEt1)()(常微分方程期终试卷(11) 一填空1称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2称为黎卡提方程，若

27、它有一个特解 y(x),则经过变换，可化为伯努利方程。3若（x）为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有（x）)(xn。4若)(txi（i=1,2,n）是齐线形方程的n 个解， w(t) 为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程。5若)(txi（i=1,2, ,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t) 为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为。6如果 A(t) 是 nn 矩阵， f(t)是 n 维列向量，则它们在 atb 上满足时，方程组x = A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t0）=的解在 atb上存在唯一。7若（t）和（t ）都是 x= A(t) x的 基解矩阵，则（

28、t）与（t ）具有关系：。8 若（t ） 是常系数线性方程组xAx的 基解矩阵 , 则该方程满足初始条件0()t的解( ) t=_ 9. 满足 _ 的点（*,xy） ，称为方程组的奇点。10当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _ 。二计算题（ 60 分）13()0ydxxydy232()480dydyxyydxdx3求方程2dyxydx经过（ 0，0）的第三次近似解4sincos2xxtt5若2114A试求方程组xAx的解12( ),(0)t并求 expAt 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

29、第 14 页，共 21 页精品资料欢迎下载6. 求1,5dxdyxyxydtdt的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性. 三. 证明题 (10 分 ) 设( , )f x y及fy连续 , 试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子 . 常微分方程期终测试卷(12) 一、填空题（30% ） 1若y=y1(x) ，y=y2(x) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 2方程22ddyxxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3),(yxfy连续是保证方程),(ddyxfxy初值唯一的条件一条积分曲线 . 4. 线性齐次微分方程组YAY

30、)(ddxx的一个基本解组的个数不能多于个，其中Rx，nRY 5二阶线性齐次微分方程的两个解)(1xy,)(2xy成为其基本解组的充要条件是 6方程yxxycossindd满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程yxxytandd2的所有常数解是 8方程0dcosdsinyxyxyx所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21xxxnYYY为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页精品资料欢迎下载 10n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题

31、（ 40% ）求下列方程的通解或通积分： 1. xyxyxytandd 2yyxyxysinsincoscosdd2 30)d1(d)cos2(2yxxxxy 4yxtyytx2dddd 5yxtyyxtx32dddd三、证明题（30% ）1试证明：对任意0 x及满足条件100y的0y，方程221)1(ddyxyyxy的满足条件00)(yxy的解)(xyy在),(上存在 2设)(xf在),0上连续，且0)(limxfx，求证：方程)(ddxfyxy的任意解)(xyy均有0)(limxyx3 设方程)(dd2yfxxy中，)( yf在),(上连续可微， 且0)(yyf，)0(y 求证：该方程的任

32、一满足初值条件00)(yxy的解)(xy必在区间),0 x上存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页精品资料欢迎下载常微分方程期终试卷(13) 一、填空题（ 30 分）1、方 程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有 只 含x的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是（)(xNxNyM）， 有 只 含y的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是（)(yMxNyM） 。2、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程（y=y0+xxdxyxf0),(） 。3、方程22yxdxdy定义在矩形域R:-2

33、22,2yx上，则经过点（0，0）的即位存在区间是（4141x） 。4、若 Xi(t)(I=1,2,n) 是齐线性方程的 n 个解， W(t) 为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（W(t)+a1(t)W(t)=0） 。5、若 X1(t), X2(t) ,Xn(t) 为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是（ WX1(t), X2(t) ,Xn(t)0） 。6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X=A（ t ） X+f(x),X(t0)=的近似解时，则dssfssAtttkk)()()()(01） 。7、当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应

34、的奇点称为（稳定中心）。8、满足（ X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（ x*, y）, 称为方程组的奇点。9、若)()(tt 和都 是X=A(t)X的 基 解 矩 阵 ， 则)()(tt 和具 有 关 系 ：（为非奇异矩阵）CCtt()()(） 。10、 形如（ xnnndxyd+a1x111nnndxyd+)0yan的方程称为欧拉方程。二、计算题求下列方程的通解（）、 （ xy+3222)()03yx ydxxydy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页精品资料欢迎下载解：因为222,2MNxxyxyx又因

35、为MNNyx所以方程有积分因子：u(x)= xe方程两边同乘以xe得：xe2(2xyx y322)()03xydxexydy3222(2)03xxxxyexyx y dxe x dyedxe y dy也即方程的解为323xxye x yec、3330()dyxyxyydx解：令，dyyptxdx，则333230 xt xtx即331txt从而2331tptxt又23333() ()11ttydtctt33 23 142 (1)tct故原方程的通解为333 2313 142 (1)txttyctt 为参数、求方程2dyxydx经过（，）的第三次近似解解：000y精选学习资料 - - - - -

36、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页精品资料欢迎下载2102xxx d x42520()4220 xxxxxdx41 0730()440020 xxxxxdx251182204400160 xxxx、求222321d xdxxtdtdt的通解解：齐线性方程22230d xdxxdtdt的特征方程为2230故齐线性方程的一个基本解组为3te，te，因为0不是特征方程的特征根所以原方有形如( )x t01B tB的特解将( )x t01B tB代入原方程，比较t 的同次幂系数得：0013(23)21B tBBt故有00132231BBB解之得：032B

37、，119B所以原方程的解为：31231( )()29ttx tc ec et、试求：211121112的基解矩阵解：记 A=211121112, 又( )det()(1)(2)(3)0pEA得11，232,3均为单根设1对应的特征向量为1v，则由11()0EA V得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页精品资料欢迎下载10,0v取1011v同理可得23,对应的特征向量为：23111 ,011vv则23112233( ),( ),( )tttte vte vte v均为方程组的解令123( )( ),( ),( )tt

38、tt又011(0)det(0)1100111w所以123( )( ),( ),( )tttt即为所求。、试求22320d xdxxdtdt的奇点类型及稳定性解：令dxydt，则：32dyyxdt因为01023，又由1023得2320解之得121,2为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。7. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2） 。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：)F(为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合amFa根据题意：

39、vktkF21合故：)0(221kvktkdtdvm即：(*)(12tmkvmkdtdv(*) 式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有)(221cdtetmkeVdtmkdtmk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页精品资料欢迎下载)(22222121cekmketkketmktmktmk又当t=0 时，V=0，故c=221kmk因此，此质点的速度与时间的关系为：)(2212212kmtkkekmkVtmk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页