2022年平面向量的数量积教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案平面向量的数量积教案南昌市铁路一中章建荣考纲要求 : 掌握平面向量的数量积及其几何意义, 了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题 , 掌握向量垂直的条件. 高考预测 :(1)客观题 - 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低 . (2)主观题 - 以平面向量的数量积为工具, 考查其综合应用, 多与函数、三角函数、不等式联系 , 难度中等 .教学目标：(i)知识目标 : （1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.(2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标 : (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进

2、行推理、运算. 教学重点 : 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点 : 平面向量数量积的综合应用. 教具： 多媒体 . 教材教法分析 :本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 渗透化归思想以及数形结合思想. 教学过程：一、追溯1 平面向量数量积 （内积）的定义 ： 已知两个非零向量a与b， 它们的夹角是 ， 则数量 |a|b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即ab = |a|b|cos，(0)并规定0与任何向量的数量积为02平面向量的数量积

3、的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos 的乘积 . 3两个向量的数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1e a= a e=|a|cos ；2abab= 0 3 当a与b同向时，ab= |a|b|；当a与b反向时，ab= |a|b|,特别地a a= |a|24 cos =|baba；5 |ab| |a|b| 4.平面向量数量积的运算律 交换律：ab= ba 数乘结合律： (a)b=(ab) = a(b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编优秀教案 分配律： (a+

4、 b)c= a c+ bc5.平面向量数量积的坐标表示已知两个向量),(11yxa，),(22yxb,则ba2121yyxx. 设),(yxa，则22|yxa. 平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa. 向量垂直的判定两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx. 两向量夹角的余弦cos =|baba222221212121yxyxyyxx（0）. 二、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题 1 已知下列命题: ()0aa; ()()abcabc; ()()a b c

5、a b c; ()ab ca cb c其中正确命题序号是、. 点评 : 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律. 例题 2 已知2,5,(1) |abab若; (2) ab;(3) ab与的夹角为030,分别求a b. 解(1)当|a b时, a b=0cos025 110a b或a b=0cos1802 5( 1)10a b. (2)当ab时, a b=0cos9025 00a b. (3)当ab与的夹角为030时, a b=03cos30255 32a b. 变式训练 :已知0000(cos23 ,cos67 ),(cos68 ,cos22 )ab,求a b解:00

6、00cos23 cos68cos67 cos22a b= 000002cos23 sin 22sin23 cos22sin 452点评 : 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题例题 3 (2005 年北京 )若1,2,abcab,且ca,则向量a与向量b的夹角为( ) A. 030B. 060C. 0120D. 0150解:依题意2()0cos0aabaa b1c o s20120故选 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编优秀教案学生训练 : 已知2,3,7a

7、bab,求向量a与向量b的夹角 . 已知(1, 2),(4,2)ab,)aab与(夹角为,则cos. 解: 7ab2227aa bb31cos,232a ba ba b,故夹角为060. 依题意得)( 3, 4)ab()385cos555aaba ab. 变式训练 :已知,a b是两个非零向量,同时满足abab,求aab与的夹角 . 法一 解 :将abab两边平方得221122a bab, 2223abaa bba则222221()32cos23aaa abaa ba aba abaa, 故aab与的夹角 .为030. 法二 : 数形结合点评 :注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两

8、种求法.3.向量模的问题例题 4 已知向量,a b满足6,4ab,且ab与的夹角为060,求3abab和. 解: 6,4ab,且ab与的夹角为06012a b222762 19abaa bb; 223691086 3.abaa bb变式训练: (2005 年湖北 )已知向量( 2,2),(5, )abk,若ab不超过 5,则k的取值范围( ) A. 4,6B. 6, 4C. 6,2D. 2,6(2006 年福建 ) 已知ab与的夹角为0120,3a,13ab,则b等于 ( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1 解: 2(3,2)(2)95abkk,62k故选 C 2222abaa bb,

9、2202cos12013aa bb,解得4b,故选 B 点评 :涉及向量模的问题一般利用22aa aa,注意两边平方是常用的方法.4.平面向量数量积的综合应用例题 5 (2006 年全国卷 )已知向量(sin,1),(1,cos ),22ab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀教案(1) 若,ab 求; (2)求ab的最大值. 解:(1)若ab,则sincos0,tan1,()224. (2) ab=22(sin1)(1cos )32(sincos )=32 2sin()43,224442sin()(,

10、1424当时,ab的最大值为2322(21)21. 例题 6 已知向量(cos ,sin),(cos ,sin)ab,且,a b满足3kabakb,kR(1) 求证()()abab; (2)将a与b的数量积表示为关于k的函数( )f k; (3)求函数( )f k的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角. 解:(1) (cos ,sin),(cos ,sin)ab2222() ()|1 10abababab, 故()()abab(2) 3kabakb, 2222223,121363,kabakbabkka bka bk又21,(0)4ka bkk故21( ),(0)4kf kkk. (3) 21111( )24444 42kkkf kkkk,此时当1,( )kf k最小值为12. 1cos2a ba b,量a与向量b的夹角3小结1.掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率. 2.灵活应用公式ab= |a|b|cos , ba2121yyxx, 22|yxa. 3.平面向量数量积的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页