2022年高三数学二轮专题复习极限突破数形结合思想 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测20XX年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题

2、具体化，复杂的问题简单化。 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。3 “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合” ， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以

3、形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。【知识交汇】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和

4、直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1) 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2) 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4) 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5) 构建立体几何模型研究代数问题；(6) 构建解析几何中的斜率、截距

5、、距离等模型研究最值问题；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载(7) 构建方程模型，求根的个数；(8) 研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体

6、操作时，应注意以下几点：(1) 准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2) 用图象法讨论方程 ( 特别是含参数的方程) 的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式( 有时可能先作适当调整，以便于作图) ，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。

7、这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数 、 三 角 函 数 等 ； 所 给 的 等 式 或 代 数 式 的 结 构 含 有 明 显 的 几 何 意 义 。4)1()2(22yx如等式。常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的

8、代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化. 例如，将a0 与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22)12060(cos或ba与余弦定理沟通，将abc 0 且 b+ca 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程

9、与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等. 这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载而充分地发挥作用。常见的转换途径为：（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数

10、式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等。（ 4 ） 利 用 解 析 几 何 中 的 曲 线 与 方 程 的 关 系 ， 重 要 的 公 式 （ 如 两 点 间 的 距 离221212()()xxyy，点到直线的距离0022|AxByCdAB，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时， 代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞. 有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2

11、）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单. 而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。【思想方法】题型 1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题例 1 （1） （2011 山东文

12、1）设集合M =x|(x+3)(x2)0 ，N =x|1 x3, 则 M N =（）A1,2) B1,2 C( 2,3 D 2,3 （2） （2011 湖南文 1）设全集1,2,3, 4,5,2, 4,UUMNMC N则N（）A1,2,3 B 1,3,51,4,52,3,4解析：（1）A；解析；因为| 32Mxx，所以|12MNxx，故选 A。点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2） B ；解析：画出韦恩图，可知N

13、1,3,5。点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。例 2 （ 1） （2011 陕西理 3）设函数( )f x（xR）满足()( )fxf x，(2)( )f xfx，则函数( )yf x的图像是（）（ 2） （20XX 年天津卷）设函数2( )2()g xxxR，( )4,( ),( ),( ).( )g xxx g xg xx x g xf x则( )f x的值域是（）A9,0(1,)4 B0,) C9,)4D9,0(2,)4解析： （1）B；根据题意，确定函数( )yf x的性质，再判断哪一个图像具有这些性质选由()( )fxf x得( )yf x是偶函数，所以函数(

14、 )yf x的图象关于y轴对称，可知B， D符合；由(2)( )f xf x得( )yf x是周期为2 的周期函数， 选项 D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B（2 ）D ；依题意知22222(4),2( )2,2xxxxf xxx xx，222,12( )2, 12xxxf xxxx或点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。题型 2：解决方程、不等式问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载例

15、 3若方程lglgxxmx233在x03，内有唯一解，求实数m的取值范围。解析： （1）原方程可化为xmx21032设yxxym12221 03 ，在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（ 0，3）内有唯一解，知yy12与的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是10m或m1。例 4已知uv11，且loglogloglogaaaauvauava22221，求logauv的最大值和最小值。解析：令xuyvaaloglog，则已知式可化为xyxy1140022，再 设tuvxy xyalog00， 由 图3 可 见 ， 则 当 线 段yxtxy00，与圆弧xyxy1140022，相切时，截

16、距t取最大值tmax22 2（如图 3 中 CD位置） ； 当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值tmin13（如图中 AB位置）。因此log ()auv的最大值是22 2，最小值是13。点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。题型 3：解决三角函数、平面向量问题例 5 （1） （20XX年江西理） E，F 是等腰直角 ABC斜边 AB上的三等分点，则tanECF（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载A. 1627 B

17、. 23 C. 33 D. 34（2） （20XX年陕西 15）如图，平面内有三个向量OA、OB 、OC , 其中OA与 OB的夹角为120，OA 与 OC 的夹角为30, 且| OA| | OB | 1， | OC | 32，若 OC OA + OB （， R）, 则+的值为。解析：（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。解 法1 ： 约 定AB=6,AC=BC=3 2, 由 余 弦 定 理CE=CF=10, 再 由 余 弦 定 理 得4cos5ECF，解得3tan4ECF解法 2：坐标化。 约定 AB=6,AC=BC=3 2,F(1,0),E(-1,0),C（ 0,3 ）利用向量的夹角公

18、式得：4cos5ECF，解得3tan4ECF。（2）6；解析：（ OC ）2（ OA+ OB ）2=2OA2+2OB2+2OBOA=12； 注意 OA 与 OC 的夹角为 30，OA与 OB 的夹角为 120，结合图形容易得到OB 与 OC 的夹角为90，得 =0；这样就得到答案。点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。例 6 （2010 全国卷 1 文数）已知圆O的半径为 1，PA 、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为（）A42 B 32 C 42 2 D 32 2答案： D；【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x,

19、APO=, 则APB=2，PO=21x，21sin1x，| |cos2PAPBPAPB=22(12sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令PAPBy，则4221xxyx，即42(1)0 xy xy，由2x是实数，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载2 (1)4 1()0yy，2610yy，解得322y或32 2y. 故min()32 2PA PB. 此时21x. 【解析 2】设,0APB，2cos1/ tancos2PA PBPAPB2222221sin12sincos22212sin

20、2sinsin22换元：2sin,012xx，1121232 23xxPAPBxxx【解析 3】建系：园的方程为221xy，设11110(,),(,),(,0)A xyB xyP x，2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法 , 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型 4：解析几何问题例 7 （ 1） （2011 广东理 5）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222x

21、yxy给定. 若 M(x，y) 为 D上动点，点A的坐标为 (2， 1) 则zOM OA的最大值为（）A.4 2 B.3 2 C.4 D.3 （ 2 ）（ 2011江 苏14 ） 设 集 合,)2(2|),(222RyxmyxmyxA, ,122|),(RyxmyxmyxB, 若,BA则 实 数m 的 取 值 范 围 是_ 解析： （1 ）如图,区域D为四边形OABC 及其内部区域, 22210110111001,2PAPBxxyxxyxx xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载., 42)2(z

22、,z,)2,2(2y,2yz,2) 1 ,2(),(2maxCBzxzxyxyxz故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即（2） （数形结合）当0m时，集合A 是以（ 2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，2212(12)022mmm，因为,BA此时无解；当0m时，集合A是以（ 2，0）为圆心，以2m和m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有2 2122 22mmmm21212m. 又因为2m1,2122mm。点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转

23、化为点到线的距离问题来解决。例 8 （ 1）(2011 上海 22) 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作( , )d P l。 求点(1,1)P到线段:30(35)lxyx的距离(, )d P l； 设l是长为 2 的线段，求点集|(, )1DP d P l所表示图形的面积；写 出 到 两 条 线 段12,l l距 离 相 等 的 点 的 集 合12|(, )(,)P d P ld P l， 其 中12,lAB lCD，,A B C D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分， 6分， 8 分；若选择了多于一种

24、的情形，则按照序号较小的解答计分。(1,3),(1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD。(1,3),(1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD。 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。解析：设( ,3)Q x x是线段:30(35)lxyx上一点，则22259|(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min(,)|5dPlPQ。 设线段l的端点分别为,A B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则( 1,0)

25、,(1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(| 1),:1(| 1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx其面积为4S。 选择(1,3),(1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD，(, ) |0 x yx 选择(1,3),(1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD。2(, ) |0,0(,)|4 , 20(, ) |10,1 x yxyx yyxyx yxyx 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。(, ) |0,0(,)|,01x yxyx yyxx2(, )|21,12(, )| 4230,2x yxyxx yxy

26、x；（2） （2011 福建理 17） （福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m R 。（I ）若以点M （2,0 ）为圆心的圆与直线l 相切与点P，且点 P在 y 轴上，求该圆的方程；DB=CA122.5yx-2xy-113ABCDOODCBA31-1yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载（II ）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y 是否相切？说明理由。解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与

27、转化思想、分类与整合思想。满分13 分。解法一：（I ）依题意，点P的坐标为（ 0，m ）因为MPl，所以01120m，解得 m=2 ，即点 P的坐标为（ 0，2）从而圆的半径22|(20)(02)2 2,rMP故所求圆的方程为22(2)8.xy（II ）因为直线l的方程为,yxm所以直线 l的方程为.yxm由22,4404yxmxxmxy得244416(1)mm（1）当1,0m即时，直线 l与抛物线C相切（2）当1m，那0时，直线 l与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线 l与抛物线C相切；当1m时，直线 l与抛物线C不相切。解法二：（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2)

28、.xyr依题意，所求圆与直线:0lxym相切于点P（0，m ） ，则224,|20|,2mrmr解得2,2 2.mr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载所以所求圆的方程为22(2)8.xy（II ）同解法一。题型 5：导数问题例 9 （ 06 天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个解析：函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象

29、如图所示，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。例 10 （06 浙江卷）已知函数f(x)=x3+ x3，数列 xn(xn0) 的第一项 xn1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在)(,(11nnxfx处的切线与经过（ 0，0）和（ xn,f (xn) ）两点的直线平行（如图）求证：当n*N时，( )x;231212nnnnxxx（）21)21()21(nnnx。证明： （ I ）因为2( )32 ,fxxx所以曲线( )yfx在11(,

30、()nnxf x处的切线斜率121132.nnnkxx因为过(0,0)和(,()nnxf x两点的直线斜率是2,nnxx所以221132nnnnxxxx. （II ）因为函数2( )h xxx当0 x时单调递增，而221132nnnnxxxx21142nnxx211(2)2nnxx，所以12nnxx，即11,2nnxx因此1121211( ).2nnnnnnxxxxxxxabxy)(xfyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载又因为12212(),nnnnxxxx令2,nnnyxx则11.2nnyy

31、因为21112,yxx所以12111()().22nnnyy因此221( ),2nnnnxxx故1211( )().22nnnx点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。题型 6：平面几何问题例 11已知ABC三顶点是(4,1),(7,5),( 4,7)ABC，求A的平分线AD的长。解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点,A B C，画出ABC的边及其A的平分线AD。 （如图）第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：（1）ABAC； （2）45BADCAD；（3）2CDDB， （4

32、）260ABCACB等等。证明：(4,1),(7,5),( 4,7)ABC(3,4),( 8,6)ABAC,5,10ABAC3 8460ABAC（ 1）ABAC，AD是A的平分线；（ 2）45BADCAD，1025CDACDBAB( 角平分线定理)；（ 3）2CDDB，tantan6032ABC，（ 4）260ABCACB不正确，第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D作DEAB，交AB于点E，则有BDEBCA或11033DEAC等等。又在Rt ADE中， （可以口答出）10223ADDE。点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何

33、属性，切忌精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。例 12已知A=(x,y)|x| 1,|y| 1,B=(x,y)|(x a)2+(y a)21，aR,若AB，则a的取值范围是。解析：如图，集合A所表示的点为正方形PQRS的内部及其边界，集合B所表示的点为以C(a,a) 为圆心，以1 为半径的圆的内部及其边界而圆心C(a,a) 在直线y=x上，故要使AB，则221221a为所

34、求。点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直接求出实数a的取值范围。【思维总结】从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页