2022年微积分公式与定积分计算练习 .pdf

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1、微积分公式与定积分计算练习附加三角函数公式一、基本导数公式0c1xxsincosxxcossinxx2tansecxx2cotcscxxsecsectanxxxcsccsccotxxxxxeelnxxaaa1ln xx1loglnxaxa21arcsin1xx21arccos1xx21arctan1xx21arccot1xx1x12xx二、导数的四则运算法则uvuvuvu vuv2uu vuvvv三、高阶导数的运算法则1nnnu xv xu xv x2nncu xcux3nnnu axba uaxb4( )0nnn kkknku xv xc ux vx四、基本初等函数的n 阶导数公式1!nnx

2、n 2nax bnax beae(3)lnnxxnaaa(4)sinsin2nnaxbaaxbn(5) coscos2nnaxbaaxbn(6)11!1nnnnanaxbaxb(7) 11 !ln1nnnnanaxbaxb五、微分公式与微分运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页0d c1d xxdxsincosdxxdxcossindxxdx2tansecdxxdx2cotcscdxxdxsecsectandxxxdxcsccsccotdxxxdxxxd ee dxlnxxd aaadx1lndxdxx1log

3、lnxaddxxa21arcsin1dxdxx21arccos1dxdxx21arctan1dxdxx21arccot1dxdxx六、微分运算法则d uvdudvd cucdud uvvduudv2uvduudvdvv七、基本积分公式kdxkxc11xx dxclndxxcxlnxxaa dxcaxxe dxeccossinxdxxcsincosxdxxc221sectancosdxxdxxcx221csccotsinxdxxcx21arctan1dxxcx21arcsin1dxxcx八、补充积分公式tanln cosxdxxccotln sinxdxxcsecln sectanxdxxxcc

4、scln csccotxdxxxc2211arctanxdxcaxaa2211ln2xadxcxaaxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页221arcsinxdxcaax22221lndxxxacxa九、以下常用凑微分公式积分型换元公式1faxb dxfaxb d axbauaxb11fxxdxfxd xux1lnlnlnfxdxfx dxxlnuxxxxxfee dxfe d exue1lnxxxxfaa dxfad aaxuasincossinsinfxxdxfx dxsinuxcossincoscosfxxd

5、xfx dxcosux2tansectantanfxxdxfx dxtanux2cotcsccotcotfxxdxfx dxcotux21arctanarcnarcn1fxdxftax dtaxxarctanux21arcsinarcsinarcsin1fxdxfx dxxarcsinux十、分部积分法公式形如naxx e dx，令nux，axdve dx形如sinnxxdx令nux，sindvxdx形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx形如arctannxxdx，令arctanux，ndvx dx形如lnnxxdx，令lnux，ndvx dx形如sinaxexdx，cosaxexdx

6、令,sin ,cosaxuexx均可。十一、第二换元积分法中的三角换元公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页(1)22axsinxat(2) 22axtanxat(3)22xasecxat【特殊角的三角函数值】1sin 0021sin6233sin324sin125sin01cos0123cos6231cos324cos025cos11tan0023tan633tan334tan2不存在 5tan01cot0不存在2cot3633cot334cot025cot不存在十二、重要公式10sinlim1xxx210lim

7、 1xxxe3lim()1nna ao4lim1nnn5lim arctan2xx6limtan2xarcx7lim arccot0 xx8lim arccotxx 9lim0 xxe10limxxe110lim1xxx1200101101lim0nnnmmxmanmba xa xanmb xb xbnm系数不为0 的情况十三、以下常用等价无穷小关系0 xsin xxtan xxarcsin xxarctan xx211cos2xxln 1xx1xex1lnxaxa11xx十四、三角函数公式1.两角和公式sin()sincoscossinABABABsin()sincoscossinABABA

8、Bcos()coscossinsinABABABcos()coscossinsinABABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页tantantan()1tantanABABABtantantan()1tantanABABABcotcot1cot()cotcotABABBAcotcot1cot()cotcotABABBA2.二倍角公式sin 22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA22 tantan21tanAAA3.半角公式1cossin22AA1 coscos22AA1 c

9、ossintan21cos1 cosAAAAA1cossincot21cos1cosAAAAA4.和差化积公式sinsin2sincos22abababsinsin2cossin22abababcoscos2coscos22abababcoscos2sinsin22abababsintantancoscosababab5.积化和差公式1sinsincoscos2ababab1cos coscoscos2ababab1sincossinsin2ababab1cos sinsinsin2ababab6.万能公式22tan2sin1tan2aaa221tan2cos1tan2aaa22tan2tan

10、1tan2aaa7.平方关系22sincos1xx22secn1xtax22csccot1xx8.倒数关系tancot1xxseccos1xxcsin1csxx9.商数关系sintancosxxxcoscotsinxxx十五、几种常见的微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页1.可别离变量的微分方程：dyfx g ydx，11220fx gy dxfx gy dy2.齐次微分方程：dyyfdxx3.一阶线性非齐次微分方程：dyp x yQ xdx解为：p x dxp x dxyeQ x edxc高考定积分应用常见

11、题型大全一选择题共21 小题1 2012?福建如下图，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为ABCD2 2010?山东由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为ABCD3设 fx=，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为ABCD4定积分的值为AB3+ln2 C3 ln2 D6+ln2 5如下图，曲线y=x2和曲线 y=围成一个叶形图阴影部分，其面积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页A1BCD6=AB2CD47已知函数fx的定义域为 2，4，且 f 4=f 2=1 ，f x为

12、 fx的导函数，函数 y=f x 的图象如下图， 则平面区域f 2a+b 1 a0， b0所围成的面积是 A2B4C5D8801exdx 与01exdx 相比有关系式A01exdx01exdx B01exdx01exdx C01exdx2=01exdx D01exdx=01exdx 9假设 a=，b=，则 a 与 b 的关系是Aab Bab Ca=b Da+b=0 10的值是ABCD11假设 fx=e 为自然对数的底数 ，则= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页A+e2e B+e Ce2+e D+e2e 12已知

13、fx=2 |x|，则A3B4C3.5 D4.5 13设 f x=3|x1|，则22fxdx= A7B8C7.5 D6.5 14积分=ABC a2D2a215已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为A1/2 B1C2D3/2 16由函数 y=cosx 0 x2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是A4BCD217曲线 y=x3在点 1，1处的切线与x 轴及直线x=1 所围成的三角形的面积为ABCD18图中，阴影部分的面积是A16 B18 C20 D22 19如图中阴影部分的面积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

14、 22 页ABCD20曲线与坐标轴围成的面积是ABCD21如图，点P3a，a是反比例函y=k0与O的一个交点，图中阴影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为Ay=By=Cy=Dy=高考定积分应用常见题型大全含答案参考答案与试题解析一选择题共21 小题1 2012?福建如下图，在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页考点：定 积分在求面积中的应用；几何概型501974 专题：计 算题分析：根据题意，易得正方形OABC 的面积，观察图形

15、可得，阴影部分由函数y=x 与 y=围成， 由定积分公式， 计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案解答：解 ：根据题意，正方形OABC 的面积为11=1，而阴影部分由函数y=x 与 y=围成，其面积为01xdx=|01=，则正方形OABC 中任取一点P，点 P 取自阴影部分的概率为=；故选 C点评：此 题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积2 2010?山东由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为ABCD考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：要 求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意

16、义，只要求01x2 x3 dx 即可解答：解 ：由题意得，两曲线的交点坐标是1，1 ， 0，0故积分区间是0，1 所求封闭图形的面积为01x2x3dx，故选 A点评：此 题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积3设 fx=，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为ABCD考点：分 段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用 501974 专题：计 算题；数形结合分析：利 用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积解答：解 ：根据题意作出函数的图象：精选学习资料 - -

17、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选 C 点评：此 题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性4定积分的值为AB3+ln2 C3 ln2 D6+ln2 考点：定 积分；微积分基本定理；定积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：由 题设条件， 求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可解答：解：=x2+lnx |12=22+ln2 12+ln1 =3+ln2 故选 B点评：此 题考查求定

18、积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题5如下图，曲线y=x2和曲线 y=围成一个叶形图阴影部分，其面积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页A1BCD考点：定 积分；定积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：联立由曲线y=x2和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在x 0， 1区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则 S=01x2dx=故选： C 点评：考 查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力6=AB

19、2CD4考点：微 积分基本定理；定积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：由于 F x=x2+sinx 为 fx=x+cosx 的一个原函数即Fx=fx ，根据abf xdx=F x|ab公式即可求出值解答：解：x2+sinx =x+cosx ，x+cosxdx = x2+sinx=2 故答案为： 2点评：此 题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页7已知函数fx的定义域为 2，4，且 f 4=f 2=1 ，f x为 fx的导函数，函数 y=f x

20、 的图象如下图， 则平面区域f 2a+b 1 a0， b0所围成的面积是 A2B4C5D8考点：定 积分的简单应用501974 分析：根 据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b 满足的条件，画出平面区域，即可求解解答：解 ：由图可知 2， 0上 f x 0，函数 fx在 2，0上单调递减， 0， 4上 f x 0，函数 fx在 0，4上单调递增，故在 2，4上， fx的最大值为f4 =f 2=1，f 2a+b 1a0，b0 ?表示的平面区域如下图：故选 B点评：此 题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题 解决时要注意数形结合思想应用801

21、exdx 与01exdx 相比有关系式A01exdx01exdx B01exdx01exdx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页C01exdx2=01exdx D01exdx=01exdx 考点：定 积分的简单应用；定积分501974 专题：计 算题分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0 ，x=1 及函数 y=ex或 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可解答：解 ：01exdx 表示的几何意义是以直线x=0 ，x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围

22、成的面积，01exdx 表示的几何意义是以直线x=0， x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图当 0 x 1 时， exxex，故有：01exdx01exdx 故选 B点评：此 题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题9假设 a=，b=，则 a 与 b 的关系是Aab Bab Ca=b Da+b=0 考点：定 积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：a= cosx= cos2 cos = cos2sin24.6 ，b=sinx=sin1 sin0=sin1sin57.3 精选学习资料 - -

23、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页解答：解： a= cosx= cos2 cos= cos2cos114.6 =sin24.6 ，b=sinx=sin1 sin0=sin1sin57.3 ，b a故选 A点评：此 题考查定积分的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10的值是ABCD考点：定 积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：根 据积分所表示的几何意义是以1，0为圆心， 1 为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1 围

24、成的图形的面积即可解答：解 ；积分所表示的几何意义是以1，0为圆心， 1 为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积之差即=故答案选A 点评：此 题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11假设 fx=e 为自然对数的底数 ，则= A+e2e B+e Ce2+e D+e2e 考点：定 积分的简单应用501974 专题：计 算题分析：由 于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结

25、论解答：解：=故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页点评：此 题重点考查定积分， 解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分12已知 fx=2 |x|，则A3B4C3.5 D4.5 考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题分析：由题意，由此可求定积分的值解答：解：由题意，=+=2+4 2=3.5 故选 C点评：此题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和13设 f x=3|x1|，则22fxdx= A7B8C7.5 D6.5 考点：定 积分的简单应用501974 专

26、题：计 算题分析：22f x dx=223|x1|dx，将22 3|x1|dx 转化成212+xdx+12 4xdx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可解答：解：22f xdx=223|x1|dx= 212+x dx+124xdx= 2x+x2|21+ 4xx2|12=7 故选 A点评：此 题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题14积分=ABC a2D2a2考点：定 积分的简单应用；定积分501974 专题：计 算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22

27、 页分析：此题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与 x 轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，故=故选 B点评：本 小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题15已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为A1/2 B1C2D3/2 考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：根 据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数fx的积分，求出所求即可解答：解：由题意图象与x 轴所围成图形的面积为= |01+sinx =+1 =故

28、选 D点评：此 题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页积分的值，此题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要16由函数 y=cosx 0 x2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是A4BCD2考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：由题意可知函数y=cosx0 x2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求01 cosxdx 即可然后根据积分的运算公式

29、进行求解即可解答：解：由函数y=cosx0 x2的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积，就是：01cosxdx= xsinx|0=故选 B点评：此 题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分17曲线 y=x3在点 1，1处的切线与x 轴及直线x=1 所围成的三角形的面积为ABCD考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：欲 求所围成的三角形的面积，先求出在点1，1处的切线方程，只须求出其斜率的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共

30、 22 页值即可， 故要利用导数求出在x=1 处的导函数值， 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决解答：解 ： y=x3，y=3x2，当 x=1 时， y=3 得切线的斜率为3，所以 k=3 ；所以曲线在点1，1处的切线方程为：y1=3 x1 ，即 3xy2=0 令 y=o 得： x=，切线与x 轴、直线x=1 所围成的三角形的面积为：S=1 1=故选 B点评：本 小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题18图中，阴影部分的面积是A16 B18 C20 D22 考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：从

31、 图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2， 2 ， 8，4 过 2， 2作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积解答：解 ：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2， 2 ， 8，4 过 2， 2作 x 轴的垂线把阴影部分分为S1， S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=02dx=2 dx=，A2=28dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2=18 故选 B点评：此 题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于基础题考查学生利用定积分求阴影面积的方法

32、的能力19如图中阴影部分的面积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页ABCD考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可解答：解：直线y=2x 与抛物线y=3 x2解得交点为3， 6和 1， 2抛物线 y=3 x2与 x 轴负半轴交点，0设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选 C点评：此题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于基础题

33、20曲线与坐标轴围成的面积是ABCD考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解 ：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页曲线与坐标轴围成的面积是：S=0dx+dx =围成的面积是故选 D点评：此 题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数

34、21如图，点P3a，a是反比例函y=k0与O的一个交点，图中阴影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为Ay=By=Cy=Dy=考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题；数形结合分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据 P 在反比例函数的图象上，以及在圆上， 即可求得k 的值解答：解 ：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：r2=10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页解得： r=2点 P3a，a是反比例函y=k0与O的一个交点3a2=k 且=r a2=22=4k=34=12，则反比例函数的解析式是：y=故选 C点评：此 题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决此题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页