2022年高三数学一轮复习：椭圆 .pdf

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1、第五节椭圆备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想. 1.椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012 年山东 T10 等2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012 年陕西 T19 等. 归纳 知识整合 1椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆在平面内；与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；常数大于 |F1F2|. (2)焦点：两定点(3)焦距：两焦点间的距离探究 1.在椭圆的定义中，若2a |F1F2|或

2、2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示： 当 2a|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2ab0)y2a2x2b21(ab0) 图形性质范围axa bybbx b ay a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心： (0,0) 顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0， b)，B2(0，b) A1(0， a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率eca，e(0,1) a，b，c 的关

3、系c2a2b2探究 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示： 离心率eca越接近1，a 与 c 就越接近，从而ba2c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆自测 牛刀小试 1椭圆x216y281 的离心率为 () A.13B.12C.33D.22解析： 选 D a216，b28， c28， eca22. 2已知 F1，F2是椭圆x216y291 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B 两点，在AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为() A6 B5 C4 D3 解析： 选 A根据椭圆定义，知AF1B 的周长为 4a16，故所求的第三边的长度为16

4、106. 3椭圆 x2my21 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 () A.14B.12C2 D4 解析： 选 A由题意知a21m，b21，且 a2b，则1m4，得 m14. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页4若椭圆x216y2m21 过点 (2，3)，则其焦距为 () A2 3 B2 5 C43 D4 5 解析： 选 C把点 (2，3)的坐标代入椭圆方程得m24，所以 c216412，所以c2 3，故焦距为2c43. 5设 F1、F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上一

5、点，M 是 F1P 的中点， |OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为_解析： 由题意知 |OM|12|PF2|3，则 |PF2|6.故|PF1|2564. 答案： 4 椭圆的定义、标准方程例 1(1)已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆x23 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则 ABC 是周长是 () A2 3B6 C43 D12 (2)(2012山东高考 )已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线 x2 y2 1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆 C 的方程为() A.x28y221 B.

6、x212y261 C.x216y241 D.x220y251 自主解答 (1)根据椭圆定义，ABC 的周长等于椭圆长轴长的2 倍，即 4 3. (2)由离心率为32得， a24b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16 可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项 D 正确答案 (1)C(2)D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)

7、设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b21(ab0)或x2b2y2a21(ab0)；3 找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c 或 m、n 的方程组；4 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 注意： 用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21 m0，n0 . 1已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 G 的方程为 _解析： 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，根据椭圆定义2a12，即 a6，又ca32，得c3 3，故 b2 a

8、2c236279，故所求椭圆方程为x236y29 1. 答案：x236y291 2已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF1PF2.若 PF1F2的面积为9，则 b_. 解析： 设椭圆的焦点坐标为( c,0)根据椭圆定义和PF1F2是一个面积等于9 的直角三角形，有|PF1|PF2|2a，|PF1| |PF2|18，|PF1|2|PF2|24c2. 式两端平方并把、两式代入可得4c2364a2，即 a2c29，即 b29，故 b3. 答案： 3 椭圆的几何性质及应用例 2(2012 安徽高考 )如图， F1，F2分别是椭圆C：x2a2y2b

9、21(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点， F1AF260 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为403，求 a，b 的值自主解答 (1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以 e12. (2)法一： a2 4c2，b23c2，直线 AB 的方程可为y3(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得 B85c，335c . 所以 |AB|1 385c0165c. 由 SAF1B12|AF1|

10、 |AB|sin F1AB12a165c32235a2403，解得 a10，b53. 法二： 设|AB|t. 因为 |AF2|a，所以 |BF2|ta. 由椭圆定义 |BF1| |BF2|2a 可知， |BF1|3a t. 再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60 可得，t85a. 由 SAF1B12a85a322 35a2403知，a10， b53. 椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围 )时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c 的等式 (或不等式)，利用 a2b2c2消去 b，即可求得离心率或离心率的范围3椭圆x2a2y2b21(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，

11、且左焦点为F， FAB是以角 B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为() A.312B.512C.154D.3 14解析： 选 B根据已知a2b2a2 (ac)2，即 c2aca20，即 e2e10，解得e1 52，故所求的椭圆的离心率为512. 4椭圆x2a2y251(a 为定值，且a5)的左焦点为F，直线xm 与椭圆相交于点A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页B， FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析： 设椭圆右焦点为F，由图及椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF |2a. 又 FAB 的

12、周长为 |AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB 过右焦点 F时等号成立，此时4a12，则 a3，故椭圆方程为x29y251, 所以 c2，所以eca23. 答案：23直线与椭圆的综合例 3如图，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段AB被直线 OP 平分(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 ABP 面积取最大值时直线l 的方程自主解答 (1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得2c2110，ca12，解得c1，a2.所以椭圆方程为x24y231. (2)设 A

13、(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线AB 的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB 的方程为y kxm(m0)，由ykxm，3x24y212消去 y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则 64k2m24(34k2)(4m212)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页x1x28km3 4k2，x1x24m21234k2.所以线段 AB 的中点 M4km34k2，3m34k2. 因为 M 在直线 OP：y12x 上，所以3m34k22k

14、m34k2. 得 m0(舍去 )或 k32. 此时方程为3x23mxm230，则 3(12m2)0，x1x2m，x1x2m233.所以 |AB|1 k2 |x1x2|396 12m2. 设点 P 到直线 AB 距离为 d，则d|82m|32222|m4|13. 设 ABP 的面积为S，则S12|AB| d36 m4212m2. 其中 m(2 3，0)(0,23)令 u(m)(12m2)(m4)2，m2 3，2 3 ，u(m) 4(m4)(m22m6) 4(m4)(m17)(m17)所以当且仅当m17时， u(m)取到最大值故当且仅当m 17时， S取到最大值综上，所求直线l 方程为 3x 2y

15、2 72 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法5 (2013 洛阳模拟)已知椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线 l：ykx13与椭圆相交于不同的两点A，B. (1)若|AB|4269，求 k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M. 解： (1)由题意知ca22，b1. 由 a2b2c2可得 c b1，a2，椭圆的方程为x22y21. 由y

16、kx13，x22y21，得(2k21)x243kx1690. 169k2 4(2k21) 16916k26490 恒成立设 A(x1，y1)， B(x2，x2)，则 x1x24k3 2k21，x1x2169 2k21，|AB|1k2 |x1x2|1k2 x1x224x1x241k29k2 43 2k214 269，化简得 23k4 13k2100，即 (k21)(23k210)0，解得 k 1. (2)证明：MA(x1，y11)，MB(x2，y2 1)，MAMBx1x2(y11)(y21) (1k2)x1x243k(x1 x2)16916 1k29 2k2116k29 2k21169精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页0. 不论 k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M. 1 个规律 椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系给出椭圆方程x2my2n 1 时，椭圆的焦点在x 轴上 ? mn0；椭圆的焦点在y 轴上 ?0mn. 1 种思想 数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2 种方法 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定

18、a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c 的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程3 种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为a c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a， b，c 的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e0” 是“方程mx2ny21 的曲线是椭圆”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解

19、析： 选 B因为当 m0，n0，n0，mn0. 2已知椭圆：x210my2m21 的焦距为4，则 m 等于 () A4 B8 C4 或 8 D以上均不对解析： 选 C由10m0，m20，得 2mb0)的左、右焦点，P为直线x3a2上一点， F2PF1是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为 () A.12B.23C.34D.45解析： 选 C根据题意直线PF2的倾斜角是3，所以32ac12|PF2|12|F1F2|122c，解得 e34. 二、填空题 (本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分) 7若椭圆x2a2y2b21(ab0)与曲线 x2y2a2b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的

20、取值范围是 _解析： 由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故bc，所以 b2c2，即a22c2，所以22ca.又ca1，所以22eb0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若 |AF1|，|F1F2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析： 依题意得 |F1F2|2|AF1| |BF1|，即4c2(ac) (ac)a2c2，整理得5c2 a2，得 eca55. 答案：559已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆 C 相交于 A， B 两点若AF 3FB，则 k_. 解析： 根据已知ca32，

21、可得a243c2，则b213c2，故椭圆方程为3x24c23y2c21，即 3x212y24c20.设直线的方程为x myc，代入椭圆方程得(3m212)y26mcy c2 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据AF3FB，得 (cx1， y1) 3(x2 c，y2)，由此得y1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页3y2，根据韦达定理y1y22cmm24，y1y2c23 m24，把 y13y2代入得， y2cmm24，3y22c23 m2 4，故 9m2m24，故 m212，从而 k22，k 2. 又 k

22、0，故 k2. 答案：2 三、解答题 (本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和2 53，过 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解： 设两焦点为F1，F2，且 |PF1|4 53，|PF2|253. 由椭圆定义知2a|PF1|PF2|2 5，即 a5. 由|PF1|PF2|知， |PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在 Rt PF2F1中， sinPF1F2|PF2|PF1|12. 可求出 PF1F26，2c|PF1| cos62 53，从而 b2a2c2103. 所以所求椭圆方程为

23、x253y210 1 或3x210y251. 11已知椭圆G：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，右焦点为 (22， 0)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P( 3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求 PAB 的面积解： (1)由已知得c2 2，ca63，解得 a23，又 b2a2c24. 所以椭圆 G 的方程为x212y24 1. (2)设直线 l 的方程为yxm. 由yxm，x212y241，得 4x26mx3m2 120.设 A，B 的坐标分别为 (x1，y1)， (x2，y2)(x1b0)，右焦点为F2(c,0)因

24、AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故 B1AB2为直角，因此 |OA|OB2|，得 bc2. 结合 c2a2b2得 4b2 a2b2，故 a25b2，c2 4b2，所以离心率eca255. 在 RtAB1B2中， OAB1B2，故SAB1B212 |B1B2| |OA|OB2| |OA|c2 bb2. 由题设条件SAB1B24，得 b2 4，从而 a25b220. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页因此所求椭圆的标准方程为x220y241. (2)由(1)知 B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线

25、l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160. 设 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，则 y1，y2是上面方程的两根，因此 y1y24mm2 5，y1 y216m25，又2B P(x12， y1)，2B Q(x22，y2)，所以2B P2B Q(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2) 16 16 m21m2516m2m2516 16m264m25，由 PB2QB2，得2B P2B Q0，即 16m2640，解得 m 2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y 20 和 x2y20.

26、 1设 e1，e2分别为具有公共焦点F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF1PF20，则e21e22e1e22的值为 _解析： 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|2c，由题意得 |PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2| 2a2， |PF1|2|PF2|22a21 2a22. 又PF1PF2 0， PF1PF2. |PF1|2 |PF2|2|F1F2|2，即 2a21 2a224c2. a1c2a2c22，即1e211e22 2，即e21 e22e1e22 2. 答案： 2 2已知 F1，F2为椭圆x2100y2b21(0b10)的

27、左、右焦点，P 是椭圆上一点(1)求|PF1| |PF2|的最大值；(2)若 F1PF260 且 F1PF2的面积为6433，求 b 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页解析： (1)由题意得|PF1| |PF2| 20，则 |PF1| |PF2|PF1|PF2|22 100，当且仅当|PF1|PF2|时，等号成立，故(|PF1| |PF2|)max100. (2)因为 SF1PF212|PF1| |PF2|sin 606433，所以 |PF1| |PF2|2563.又|PF1|2|PF2|22|PF1| |P

28、F2|4a2400，|PF1|2|PF2|24c22|PF1| |PF2|cos 60，所以 3|PF1| |PF2|4004c2.由得 c6，则 ba2c28. 3已知平面内曲线C 上的动点到定点(2， 0)和定直线 x22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；(2)设动点 P 满足OPOM2ON，其中 M，N 是曲线 C 上的点直线OM 与 ON斜率之积为12.问：是否存在两个定点F1，F2，使得 |PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由解： (1)设曲线 C 上动点的坐标为(x，y)，根据已知得x22y2|x22|22，化简整理得x24y221，即为曲

29、线C 的方程(2)设 P(x， y)， M(x1， y1)，N(x2，y2)，则由OPOM2ON得 (x， y) (x1， y1)2(x2，y2)，即 xx12x2，yy12y2，因为点 M，N 在椭圆x24y221 上，所以 x212y214， x22 2y224，故 x22y2(x214x224x1x2) 2(y21 4y224y1y2) (x212y21)4(x222y22)4(x1x22y1y2) 204(x1x22y1y2)设 kOM，kON分别为直线OM， ON 的斜率，由题意知，kOM kONy1y2x1x212，因此 x1x22y1y20，所以 x22y220，所以 P 点是椭圆x2252y21021 上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页圆的定义， |PF1|PF2|为定值，又因为c2 5210210，因此两焦点的坐标分别为 F1(10， 0)、F2(10，0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页