2022年平方差公式与完全平方公式试题 .pdf

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1、乘法公式的复习一、复习 : (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，x yy xx2y2 符号变化，x yx yx2y2 x2y2 指数变化，x2y2x2y2x4y4 系数变化， 2a b2a b4a2b2 换式变化，xyz m xyz mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2 增项变化，x y z x y zx y2z2x y x yz2x2xy xy

2、 y2z2x22xy y2z2 连用公式变化，x y x y x2y2x2y2x2y2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页x4y4 逆用公式变化，x y z2x y z2x y zx y zx y zx y z2x2y2z4xy4xz例 1已知2ba，1ab，求22ba的值。解：2)(ba222baba22ba=abba2)(22ba，1ab22ba=21222例 2已知8ba，2ab，求2)(ba的值。解：2)(ba222baba2)(ba222baba2)(ba2)(baab42)(baab4=2)(ba8ba，

3、2ab2)(ba562482例 3：计算 19992-20001998 解析此题中2000=1999+1 ，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-20001998 =19992- （1999+1）（1999-1） =19992- （19992-12）=19992-19992+1 =1 例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2和(a-b)2的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、-第 2 页，共 27 页例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14。求 x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到 x2-z2是由 x+z 和 x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。解：因为 x-y=2，y-z=2， 将两式相加得 x-z=4 ，所以 x2-z2= （x+z）(x-z)=14 4=56。例 6：判断（ 2+1） （22+1） （24+1）（ 22048+1）+1的个位数字是几？解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解： （2+1） （22+1）

5、（24+1）（ 22048+1）+1 = （2-1） （22+1） （24+1）（ 22048+1）+1 =24096 =161024 因为当一个数的个位数字是6 的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6，所以上式的个位数字必为6。例 7运用公式简便计算（1）1032（2）1982解 ： （ 1） 1032100 32 10022 100 3 3210000 600 9 10609 （2）1982200 22 20022 200 2 2240000 800 4 39204 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页例

6、 8计算（1）a4b3c a4b3c（2） 3x y2 3x y2解：（1）原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2（2）原式3xy23xy29x2y24y49x2y24y4 例 9解下列各式（1）已知a2b213，ab6，求a b2，a b2的值。（2）已知a b27，a b24，求a2b2，ab的值。（3）已知a a1a2b2，求222abab的值。（4）已知13xx，求441xx的值。分析：在公式a b2a2b22ab中，如果把a b，a2b2和ab分别看作是一个整体， 则公式中有三个未知数， 知道了两个就可以求出第三个。解： （1）a2b213，ab6 a b2a

7、2b22ab13 2 6 25 a b2a2b22ab13 2 6 1 （2）a b27，a b24 a22ab b27 a22ab b24 得 2a2b211，即22112ab 得 4ab3，即34ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页（3）由a a1a2b2 得a b2 22221222abababab22112222ab（4）由13xx，得19xx即22129xx22111xx221121xx即4412121xx441119xx例 10四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于 1 2 3

8、 4 1 25 52 23 4 5 1 121 112 34 5 6 1 361 192得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，n1，n2，n3 是四个连续自然数则n n1n2n31 n n3n1n21 n23n22n23n1 n23n n23n21 n23n12n是整数， n2，3n都是整数 n23n1 一定是整数n23n1 是一个平方数四个连续整数的积与1 的和必是一个完全平方数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页例 11计算（1）x2x12（2） 3m n p2解：（1）x2x12x2

9、2x2122x2x2x21 2x1x4x21 2x32x22x x42x33x22x1 （2）3m n p23m2n2p22 3mn2 3mp2np9m2n2p26mn6mp2np分析：两数和的平方的推广a b c2a bc2a b22a b c c2a22ab b22ac2bc c2a2b2c22ab2bc2ac 即a b c2a2b2c22ab2bc2ac 几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一) 、套用 :这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉， 准确地掌握其特征， 为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例1

10、. 计算：53532222xyxy解：原式53259222244xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页(二) 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2. 计算：111124a aaa解：原式111224aaa111448aaa例 3. 计算：32513251xyzxyz解：原式25312531yzxyzx25314925206122222yzxyxzyzx三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4. 计算：57857

11、822abcabc解：原式578578578578abcabcabcabc101416140160abcabac四、变用 : 题目变形后运用公式解题。例 5. 计算：xyz xyz26解：原式xyzzxyzz2424xyzzxyzxyxzyz241224422222五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页方公式为例，经过变形或重新组合， 可得如下几个比较有用的派生公式：12223244222222222222.abababababababababababab灵活运

12、用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例 6. 已知abab45，求ab22的值。解：ababab2222242526例 7. 计算：abcdbcda22解：原式bcadbcad222222244222222bcadabcdbcad例 8. 已知实数 x、 y、 z 满足xyzxyy592， 那么xyz23（）解：由两个完全平方公式得：ababab1422从而zxyy2221459精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页25414529696932222yyyyyyy，zyzyxxyz223

13、00322322308三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算(-2x2-5)(2x2-5) 分析：本题两个因式中 “-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5 ”是公式 (a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b解：原式 =(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例 2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2时，“ -a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4b-a2)2时，则“ 4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）

14、（二）、注意为使用公式创造条件例 3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算， 但注意观察，两个因式中的“2x” 、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式 =(2x+5)+(y-z) (2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20 x+25-y+2yz-z2例 4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开， 运算十分繁

15、冗， 但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式 =(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+1 例 5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1） ，则可运用公式，使问题化繁为简解：原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1 ）（28+1）=216-1 （三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由 (a+b

16、)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为： 多项式的平方， 等于各项的平方和， 加上每两项乘积的 2 倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页例 6 计算(2x+y-3)2解：原式 =(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2 y(-3) =4x2+y2+9+4xy-12x-6y（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1) 已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y

17、)2的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) ，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单解：(1) x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy10，xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-230=40(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1例 8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展开，运算较繁， 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 (a+b)2+(a-b)2=2(a

18、2+b2)，因而问题容易解决解：原式 =(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2=2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页差公式，则能使运算简便得多解：原式 =(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-

19、4b+6c)=-8ab+12ac例 10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式 =(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎样熟练运用公式：（一） 、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提， 如平方差公式的结构特征是： 符号左边是两个二项式相乘， 且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明

20、确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式（二） 、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性， 就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（x+2y3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（ab）2=a22ab+b2来解了。（三） 、熟悉常见的几种变化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y） （

21、5y3x）交换 3x和 5y的位置后即可用平方差公式计算了2、符号变化如（ 2m7n） （2m7n）变为（ 2m+7n） （2m7n） 后就可用平方差公式求解了 （思考： 不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如 98102， 992， 912等分别变为（1002） （100+2 ） ，（1001）2， （90+1 ）2后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化如（4m+2n） （2m4n）变为 2（2m+4n） （2m4n）后即可用平方差公式进行计算了5、项数变化如（x+3y+2z） （x3y+6z）变为（x+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了（四） 、注

22、意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算（a2+1）2（a21）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐， 若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便 即原式= （a2+1） （a21）2=（a41）2=a82a4+1对数学公式只会顺向 （从左到右） 运用是远远不够的， 还要注意逆向（从右到左）运用如计算（1221） （1231） （1241）（ 1291） （12101） ，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

23、归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页即原式 =（121） （1+21） （131） （1+31）（1101） （1+101）=212332341091011 =211011=2011有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2= （a+b）22ab，a2+b2= （ab）2+2ab等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）22mn=722（ 18）=49+36=85 ，m2mn+ n2= （m+n）2

24、3mn=723（ 18）=103下列各题，难不倒你吧？！1、若a+a1=5，求（1）a2+21a， （2） （aa1）2的值2、求（ 2+1） （22+1） （24+1） （28+1） （216+1） （232+1） （264+1）+1的末位数字（答案： 1. （1）23； （2）212. 6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a b)(a b)=a2b2，(a b)=a22abb2，(ab)(a2abb2)=a3b3第一层次正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 2

25、7 页例 1 计算 (2)(2xy)(2x y) (2) 原式=( y) 2x( y) 2x=y24x2第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例 2 计算(1)199821998399419972；解(1) 原式=1998221998199719972 =(19981997)2=1 第三层次活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式例 3 化简： (2 1)(221)(241)(281) 1分析直接计算繁琐易错， 注意到这四个因式很有规律， 如果再增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

26、-第 15 页，共 27 页添一个因式“ 21”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解解原式 =(21)(2 1)(221)(241)(281) 1 =(221)(221)(241)(281) 1=216例 4 计算： (2x 3y1)( 2x3y5) 分析仔细观察， 易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件“拆”数：1=23，5=23，使用公式巧解解原式 =(2x3y32)( 2x3y32) =(2 3y) (2x 3)(23y) (2x 3) =(23y)2(2x 3)2=9y24x212x12y5第四层次变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式

27、，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，则求解十分简单、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2和 a3b3的值解：ab=9，ab=14，2a22b2=2(a b)22ab=2(92214)=106，a3b3=(ab)33ab(ab)=933149=351 第五层次综合后用：将(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2综合，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页可得 (a b)2(ab)2=2(a2b2)；(a b)2(ab)2=4ab；等，合理地利用这些公式

28、处理某些问题显得新颖、简捷例 6 计算： (2x yz5)(2x yz5)解：原式=14(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-14(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2 =(2x 5)2(y z)2=4x220 x25y22yzz2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对 于 学 习 的 两 种 （ 三 个 ） 乘 法 公 式 ： 平 方 差 公 式 ：(a+b)(a-b)=a2-b2、 完 全 平 方 公 式 ： (a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设 a、b 都是正数，那么可以

29、用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图 1， 两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积） 为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图 2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法 ， 即 可 得 到 两 个 完 全 平 方 公 式 ： (a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页2、乘法公式的使用技巧：提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻

30、烦。例1、运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2. （2） (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1. 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页例2、运用乘法公式计算：（1）(13a-14b )(-14b -a3 ); （2）(x-1/2)(

31、x2+1/4)(x+1/2) 解： （1）(13a-14b )(-14b -a3 )=(-14b+ 13a )(-14b -13a ) =(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b2- 19a2(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4) =(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16. 逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n, 等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、计算：（

32、1） (x/2+5)2-(x/2-5)2; （2） (a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2 解： （1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5) =(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x10=10 x. （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 =(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)2 =(a-1/2) (a+1/2) (a2+1/4) 2 =(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256. 精选学习资料 - - - - -

33、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算： （1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解：（1）(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2 =1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2. （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x

34、+5-y+z) = (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) = (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20 x+25)-(y2-2yz+z2) = 4x2+20 x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20 x+25 . 七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式， 运算过程复杂， 在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化， 找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一. 先分组，再用公式例 1. 计算：()()abcdabcd简析：本题若以多项式乘多项式的方法

35、展开，则显得非常繁杂。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页通过观察，将整式()abcd运用加法交换律和结合律变形为()()bdac；将另一个整式()abcd变形为()()bdac，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。解：原式()()bdacbdac()()bdacbbddaacc22222222二. 先提公因式，再用公式例 2. 计算：8244xyxy简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2 出来，变

36、为2 44xy，则可利用乘法公式。解：原式24444xyxy2 443282222xyxy三. 先分项，再用公式例 3. 计算：232 236xyxy简析：两个多项中似乎没多大联系， 但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现， x 的系数相同， y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2 分解成 4 与2的和，将 6 分解成 4 与 2 的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式 =()()24232423xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页()2423416121292222xy

37、xxyy四. 先整体展开，再用公式例 4. 计算：()()ab ab221简析：乍看两个多项式无联系， 但把第二个整式分成两部分，即()ab21，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式() ()abab221()()()ab abababab2224222五. 先补项，再用公式例 5. 计算：331 31 31 31842()()()()简析：由观察整式()31，不难发现，若先补上一项()31，则可满足平方差公式。 多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式331313131 312842()()()()()331 31 31 312331 31 312331

38、312331252328422844881616()()()()()()()()()()六. 先用公式，再展开精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页例 6. 计算：11211311411102222简析：第一个整式1122可表示为11222，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式， 其它因式类似变化， 进一步变换成分数的积，化简即可。解：原式1121121131131141141110111032124323543411109101120七. 乘法公式交替用例 7. 计算：()()()()xzxxzzxzxxzz22

39、2222简析： 利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。解：原式()() ()()xz xxzzxxzzxz222222()()() ()xz xzxzxz22() ()()()()xzxzxz xzxzxx zx zz33322364224633八、中考与乘法公式1. 结论开放例 1. （02 年济南中考）请你观察图1 中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 _ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页

40、分析：利用面积公式即可列出xyxyxy22或xyxy xy22或xyxxyy2222在上述公式中任意选一个即可。例 2. （03 年陕西中考）如图 2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（ab） ，把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是_ 。分 析 ： 利 用 面 积 公 式 即 可 列 出ab abab22或abab ab222. 条件开放例 3. （03 年四川中考）多项式912x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_ （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可精选学习资料 - - - - -

41、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页能情况） 。分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出9163122xxx或9163122xxx只要再动点脑筋， 还会得出918149219113242222xxxxx9191222xx故所加的单项式可以是6x，或8144x，或1，或92x等。3. 找规律例 4. （01 年武汉中考）观察下列各式：xxxxxxxxxxxx111111111223324由猜想到的规律可得xxxxxnnn1112_。分析：由已知等式观察可知xxxxxxnnnn1111214. 推导新公式例 5. 在公式aaa12122中，

42、当 a 分别取 1，2，3，n 时，可得下列 n 个等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页11121121222131323112122222222nnn将这 n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：123n_（用含 n 的代数式表示）分析：观察已知等式可知， 后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：nnn112122222移项，整理得：123121nn n例 6. （04 年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示， 例如：22322ab abaabb就可以用图 4 或图 5 等图表示。（1）请写出图 6 中所表示的代数恒等式 _；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：ab abaabb34322（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b 的代数恒等式， 并画出与之对应的几何图形。解： （1）2222522abbaabab（2）如图 7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页