2022年平方根知识点总结讲义 .pdf

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1、名师总结优秀知识点平方根知识点总结【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2xa, 那么这个正数x 叫做a的算术平方根（规定0 的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数 .要点诠释： 当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a 0，a 0. 2. 平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根 . 求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方 . 平方与开平方

2、互为逆运算. a(a 0) 的平方根的符号表达为(0)a a， 其中a是a的算术平方根 . 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同； （2）结果不同：a和a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质2(0)|0(0)(0)aaaaaaa20aaa要点四、平方根小数点位数移动规

3、律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位， 它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位. 例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若 2m4 与 3m1 是同一个正数的两个平方根，求m的值【思路点拨】 由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m4（ 3m1） ，解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2m4（ 3m1） ，解得m1；m的值为 1【总结升华】此题

4、主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知2a1 与a2是m的平方根，求m的值 . 【答案】 2a1 与a2 是m的平方根，所以2a 1 与a2 相等或互为相反数. 解：当2a1a2 时，a1，所以m22212 1 11a当 2a1（a2） 0 时，a 1，所以m222212( 1) 139a2、x为何值时，下列各式有意义？(1)2x； (2)4x； (3)11xx； (4)13xx【答案与解析】解： (1) 因为20 x，所以当x取任何值时，2x都有意义(2) 由题意可知：40 x，所以4x时，4x有意义(3) 由题意可知：1010 xx解得：11x所

5、以11x时11xx有意义(4) 由题意可知：1030 xx，解得1x且3x所以当1x且3x时，13xx有意义【总结升华】(1) 当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2) 当分母中含有字母时，只有当分母不为0 时，式子才有意义举一反三：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点【变式】已知4 322 232baa，求11ab的算术平方根【答案】解：根据题意，得320,230.aa则23a，所以b2，1131222ab，11ab的算术平方根为112a

6、b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)2222252434；(2)111200.36900435【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义. （2）注意运算顺序.【答案与解析】解： (1)222225243449257535；(2)1118111200.369000.63043543590.261.72【总结升华】(1) 混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行 (2) 初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)aa a来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x. （1）23610;x（ 2）21289x；

7、（3）29 32640 x【答案与解析】解： （1）23610 x2361x36119x（2）21289x1289x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点x1 17 x16 或x 18. （3）29 32640 x264329x8323x21499xx或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法. （ 2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：【变式】求下列等式中的x：（ 1）若21.21x，则x_；（2）2169x，则x_；（ 3）若29,4x则x_；（4）

8、若222x，则x_【答案】（1）1.1 ； （2）13； （ 3）32； （4） 2.类型四、平方根的综合应用5、 已知a、b是实数，且26|2 | 0ab， 解关于x的方程2(2)1axba【答案与解析】解：a、b是实数，26|2 | 0ab，260a，|2 |0b，260a，20ba3，2b把a3，2b代入2(2)1axba，得x2 4，x6【总结升华】 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若2110 xy，求20112012xy的值【答案】解：由21

9、10 xy，得210 x，10y，即1x，1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点当x1，y 1 时，20112012201120121( 1)2xy当x 1，y 1 时，2011201220112012( 1)( 1)0 xy6、 小丽想用一块面积为4002cm的正方形纸片， 沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 . 【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x0) cm，则宽为2x cm，依题意得32300 xx. 26300 x. 250 x. x0， 50 x. 长方形纸片的长为3 50 cm. 50 49, 507. 3 5021, 即长方形纸片的长大于20cm. 由正方形纸片的面积为400 2cm, 可知其边长为20cm, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】 本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页