2022年高三一轮专题复习二元一次不等式与简单的线性规划问题 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地， 二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线Ax ByC0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线 . (2)由于对直线AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0， y0)作为测试点，由Ax0By0C 的符号即可判断AxByC0 表示的直线是AxByC0

2、 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.

3、(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)不等式 Ax ByC0 表示的平面区域一定在直线AxByC0 的上方 . () (2)不等式 x2y20 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域. () (3)不等式组3xy60，x0，y0表示的平面区域是下图中的阴影部分. () (4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. () (5)线性目标函数取得

4、最值的点一定在可行域的顶点或边界上. () (6)目标函数 zaxby(b0)中， z的几何意义是直线axbyz0在 y 轴上的截距 .() 2.下列各点中，不在xy10 表示的平面区域内的是() A.(0,0) B.(1,1) C.(1,3) D.(2， 3) 答案C 解析把各点的坐标代入可得( 1,3)不适合，故选C. 3.若实数 x，y 满足不等式组xy 1，xy1，3xy 3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是() A.3 B.52C.2 D.22 答案C 解析因为直线xy 1 与 xy1 互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得 A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故

5、|AB|2，|AC|2 2，其面积为12|AB|AC|2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载4.(2013湖南)若变量 x，y 满足约束条件y2x，xy1，y 1，则 x2y 的最大值是 () A.52B.0 C.53D.52答案C 解析画出可行域如图. 设 zx2y，平行移动直线y12x12z，当直线 y12xz2过点 M13，23时， z取最大值53，所以 (x2y)max53. 5.(2013浙江)设 z kxy，其中实数x，y满足xy2 0，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为12，

6、则实数k_. 答案2 解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k12时，直线y kx z经过点 M(4,4)时 z最大，所以4k 412，解得k2(舍去 )；当 k12时，直线y kxz 经过点 (0,2)时 z最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当 k0，x，y 满足约束条件x1，xy3，ya x3 ，若 z2xy 的最小值为 1，则 a 等于() A.14B.12C.1 D.2 答案(1)B(2)B 解析(1)由线性约束条件0 x2，y 2，x2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zOM OA2x y，将其化为 y2x z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2， 2)时， 、z 最

7、大，将点 (2， 2)的坐标代入z2xy 得 z 的最大值为4. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 ). 易知直线z2xy 过交点 A 时， z取最小值，由x 1，y a x3 ，得x 1，y 2a，zmin22a1，解得 a12，故选 B. 题型三实际生活中的线性规划问题例 3(2012 江西 )某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量 /亩年种植成本 /亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜

8、和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 思维启迪根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题. 答案B 解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知xy50，1.2x0.9y54，x，yN，求目标函数zx0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示. 当目标函数线l 向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植

9、30亩，韭菜种植20 亩时，种植总利润最大. 思维升华线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格， 找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条 l；(2)平移 将 l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值 解方程组求出A 点坐标 (即最优解 )，代入目标函数，即可求出最值. 某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车.某天需送往A 地至少 72 吨的货物

10、，派用的每辆车需满载且只能送一次 .派用的每辆甲型卡车需配2 名工人， 运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人，运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为() A.4 650 元B.4 700 元C.4 900 元D.5 000 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载答案C 解析设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为xy12，2xy 19，10 x 6y72，x8，y7，xN*，yN*

11、，目标函数z450 x350y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线450 x350y0(即 9x7y 0)知，当直线经过直线 x y12 与 2xy19 的交点 (7,5)时， 目标函数取得最大值，即 z450735054 900.题型四求非线性目标函数的最值例 4(1)设实数 x，y 满足xy20，x2y40，2y30，则yx的最大值为 _. (2)已知 O 是坐标原点，点A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2，上的一个动点，则|OAOM|的最小值是 _. 思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结

12、合给定代数式的几何意义来完成. 答案(1)32(2)3 22解析(1)yx表示点 (x，y)与原点 (0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值. (2)依题意得， OAOM(x 1，y)，|OAOM|x12y2可视为点(x，y)与点 (1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点( 1,0)的距离最小，因此|OAOM|的最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载小值是|102|2

13、322. 思维升华常见代数式的几何意义有(1)x2y2表示点 (x，y)与原点 (0,0)的距离；(2)xa2 yb2表示点 (x，y)与点 (a，b)之间的距离；(3)yx表示点 (x， y)与原点 (0,0)连线的斜率；(4)ybxa表示点 (x，y)与点 (a， b)连线的斜率 . 设不等式组x1，x2y3 0，yx，所表示的平面区域是1，平面区域2是与 1关于直线 3x4y90 对称的区域，对于1中的任意一点A 与 2中的任意一点B，|AB|的最小值等于() A.285B.4 C.125D.2 答案B 解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线 3x4y90 的距离的

14、最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点 (1,1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为 2|31419|54，选 B. 线性规划问题中忽视参数范围致误典例： (5 分)已知 x，y 满足约束条件 |x|2|y|2，且 z ymx(m0)的最小值等于2，则实数 m 的值等于 _. 易错分析本题容易出现的错误主要有两个方面：(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载(2)没有对参数m 的取值情况进行分类讨论，造

15、成漏解，只得到m1. 解析原不等式等价于以下四个不等式组：x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y2，x0，y0，x2y 2，因此可画出可行域(如图 )：由 zymx 得 y mxz. (1)当 m12时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最小值，因此 202m，解得 m1. (2)当 0m12时，由图形可知，目标函数在点D(0， 1)处取得最小值，因此 2 1m0，m 无解 . (3)当 m12时，由图形可知，目标函数在点C(2,0)处取得最小值，因此 202m，解得 m 1. (4)当12m0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z也取

16、最小值；当b02 3mm0，或1mm0，2 3mm0，所以， m 的取值范围是m12. 10.已知 x，y 满足条件7x5y230 x7y 1104xy 100，求 4x3y 的最大值和最小值. 解不等式组7x5y 230 x7y1104xy100表示的区域如图所示. 可观察出4x3y 在 A 点取到最大值，在B 点取到最小值 . 解方程组7x5y2304xy100，得x 1y 6，则 A(1， 6). 解方程组x7y11 04xy10 0，得x 3y2. 则 B(3,2)，因此 4x 3y 的最大值和最小值分别为14， 18. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

17、- - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载B 组专项能力提升(时间： 30 分钟 ) 1.(2012课标全国 )已知正三角形ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在 ABC 内部，则z xy 的取值范围是() A.(13，2) B.(0,2) C.(31,2) D.(0,1 3) 答案A 解析如图，根据题意得C(13，2). 作直线 xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(13，2)时，z x y 取范围的边界值， 即 (13) 2z0)仅在点 (3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是_. 答案12，精选学习资料

18、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载解析画出 x、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z axy 仅在点 (3,0)处取得最大值，则直线y ax z的斜率应小于直线x2y 30 的斜率，即 a12. 4.当 x，y 满足约束条件x0，yx，2x yk0，(k 为负常数 )时，能使 zx3y 的最大值为12，试求 k 的值 . 解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示). 当直线 y13x13z经过区域中的点A 时，截距最大 . 由y x2xyk 0，得 xyk3. 点 A 的坐标为 (k3

19、，k3). 则 z的最大值为k33(k3)43k，令4k312，得 k 9. 所求实数k 的值为 9. 5.(2013湖北)某客运公司用A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次 .A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求B 型车不多于 A 型车 7 辆 .若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、 B 型车各多少辆？解设 A 型、B 型车辆的数量分别为x，y 辆，相应营运成本为z 元，则 z1

20、 600 x 2 400y.由题意，得x，y 满足约束条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载xy21，yx7，36x60y900，x，y0， x，yN.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6). 由图可知，当直线z1 600 x2 400y 经过可行域的点P 时，直线 z1 600 x2 400y 在 y轴上的截距z2 400最小，即 z 取得最小值 . 故应配备A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页