2022年平面解析几何知识点归纳 .pdf

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1、学习必备欢迎下载平面解析几何知识点归纳知识点归纳直线与方程1.直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角的取值范围为),02.斜率：)2(tanak，Rk斜率公式：经过两点),(111yxP，),(222yxP)(21xx的直线的斜率公式为121221xxyykPP3.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式bkxyk是斜率b是纵截距与x轴不垂直的直线点斜式)(00 xxkyy),(00yx是直线上的已知点两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx),(),(2211yxyx是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线截距式1byaxa是直

2、线的横截距b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式0CByAx)0(22BA当0B时，直线的横截距为AC当0B时，BCACBA,分别为直线的斜率、横截距，纵截距所有直线能力提升斜率应用例 1.已知函数)1(log)(2xxf且0cba，则ccfbbfaaf)(,)(,)(的大小关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 2.已知实数yx,满足)11(222xxxy，试求23xy的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系位置关系222111:bxkylbxkyl0:0:2222111

3、1CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0) 重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA直线间的夹角：若为1l到2l的角 ，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；若为1l和2l的夹角 ，则12121tankkkk或21211

4、221tanBBAABABA；当0121kk或02121BBAA时，o90；直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载或)2(；距离问题1. 平面上两点间的距离公式),(),(222111yxPyxP则)()(121221yyxxPP2. 点到直线距离公式点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd3. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221

5、BACCd4. 直线系方程 :若两条直线1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA有交点，则过1l与2l交点的直线系方程为)(111CyBxA0)(222CyBxA或)(222CyBxA+0)(111CyBxA ( 为常数 ) 对称问题1. 中点坐标公式：已知点),(),(2211yxByxA，则BA,中点),(yxH的坐标公式为222121yyyxxx点),(00yxP关于),(baA的对称点为)2,2(00ybxaQ，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2. 轴 对 称 ：点),(baP关 于 直 线)0(0 BcByAx的 对 称 点 为),( nmP， 则 有0221)

6、(a-mb-nCnbBmaABA，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2 ,2(bdac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用21/ ll由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,

7、 1(P对称的直线2l的方程。点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5 ,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。直线关于直线对称： （设ba,关于l对称）、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la/，则lb/，且ba,与l的距离相等。、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线

8、b的方程。能力提升例 1. 点)1 ,2(P到直线)(03Rmymx的最大距离为例 2. 已知点) 1 ,3(A，在直线xy和0y上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，若点P在直线l上，则000CByAx；若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载当0B时，则0C

9、ByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意： 通常情况下将原点)0, 0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向

10、下平移，则ByAxz的值越来越小；当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为；（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，若点P在直线l上，则000CByAx；若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0

11、:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意： 通常情况下将原点)0, 0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许

12、多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为；圆与方程2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222ryx. 2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r

13、 ；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()( :rbyaxC. M 在圆C内22020)()(rbyax M 在圆C上22020)()rbyax（ M 在圆C外22020)()(rbyax2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx. x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当042

14、2FED时，方程无图形（称虚圆）. 注： （1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad（1）rd相离0；(2)rd相切0；（3）rd相交02.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd； （2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交2212

15、1rrdrr； （ 4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r； （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 3.圆的弦长问题：1.半弦2L、半径 r、弦心距d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL2、弦长公式（设而不求）：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页