2022年高三数学一轮复习考试试题精选分类汇编函数的最值与导数 .pdf
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1、江苏省 20XX 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 20:函数的最值与导数一、填空题1 (江苏省阜宁中学20XX 届高三第一次调研考试数学(理) 试题)若不等式3ln1mxx对0,1x恒成立 , 则实数m的取值范围是_.【答案】2,)3e2( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 20XX届 高 三 上 学 期 期 中 模 拟 数 学 试 题 )已 知 函 数133xxxf,mxgx)21(, 若对11,3x,20,2x,12()()f xg x, 则实数 m 的取值范围是 _.【答案】45m3 ( 江 苏 省 无 锡 市 市 北 高 中20XX届 高 三 上
2、 学 期 期 初 考 试 数 学 试 题 )函 数xxxfln)(在 区 间)0(1,1tt上的最小值为_.【答案】0 二、解答题4 (江苏省如皋中学20XX 届高三上学期期中模拟数学试卷)( 本题满分 16 分, 第 1 小题 , 第 2 小题 4 分, 第3 小题 8 分) 已知函数323,fxaxbxx a bR在点1,1f处的切线方程为20y. 求函数fx的解析式 ; 若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有12fxfxc, 求实数c的最小值 ; 若过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线 , 求实数m的取值范围 . 【答案】( 本题满分16 分, 第 1 小题 , 第 2
3、 小题 4 分, 第 3 小题 8 分 ) 解: 2323fxaxbx根据题意 , 得12,10,ff即32,3230,abab解得10ab所以33fxxx令0fx, 即2330 x. 得1x. x22, 111,11 1,22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页fx+ + fx2增极大值减极小值增2 因为12f,12f, 所以当2,2x时,max2fx,min2fx则对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x, 都有12maxmin4fxfxfxfx, 所以4c. 所以c的最小值为4 因为点2,2Mmm不在曲
4、线yfx上, 所以可设切点为00,xy. 则30003yxx. 因为20033fxx, 所以切线的斜率为2033x则2033x=300032xxmx, 即32002660 xxm. 因为过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线 , 所以方程32002660 xxm有三个不同的实数解. 所以函数32266g xxxm有三个不同的零点. 则2612gxxx. 令0gx, 则0 x或2x. x,00 0,22 2,gx+ + g x增极大值减极小值增则0020gg , 即6020mm, 解得62m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共
5、 27 页5 (江苏省启东中学20XX 届高三上学期期中模拟数学试题)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面( 如图所示 ) 上进行开发建设, 阴影部分为一公共设施建设不能开发, 且要求用栏栅隔开( 栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1ax2(a0) 的一部分 , 栏栅与矩形区域的边界交于点M.N,交曲线于点P,设P(t,f(t). (1) 将OMN(O为坐标原点 ) 的面积 S表示成 t 的函数 S(t); (2) 若在 t=处,S(t)取得最小值 , 求此时 a 的值及 S(t) 的最小值 . 【答案】解:(1) 曲线f(x)=1ax2(a0) 可得 f (x)= 2ax,P(t
6、,f(t). 直线 MN的斜率为 :k=f (t)= 2at, 可得LMN:y f(t)=k(xt)= 2at(x t), 令 y=0, 可得 xM=t+, 可得 M(t+,0); 令 x=0, 可得 yM=1+at2, 可得 N(0,1+at2), S(t)=SOMN= (1+at2) =; (2)t=时,S(t)取得最小值 , S(t)=, S()=0, 可得 12a24a=0, 可得 a= , 此时可得 S(t) 的最小值为S()= ; 6 (江苏省常州市武进区20XX 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数( )3xf xea(2.71828e是自然对数的底数) 的最小值为3.
7、求实数a的值 ; 已知bR且0 x, 试解关于x的不等式22lnln3(21)3fxxbxb; 已知mZ且1m. 若存在实数 1,)t, 使得对任意的1,xm, 都有()3f xtex, 试求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页m的最大值 . 【答案】解:(1) 因为Rx, 所以0 x, 故0( )3e3e3xfxaaa, 因为函数( )f x的最小值为3,所以0a(2) 由(1) 得,( )3exfx. 当0 x时,ln( )ln(3e )ln3ln eln3ln3xxf xxx, 故不等式22ln( )ln 3(
8、21)3f xxbxb可化为:22(21)3xxbxb,即22230 xbxb, 得(3 )()0 xb xb, 所以 , 当0b时, 不等式的解为3xb; 当0b时, 不等式的解为xb(3) 当 1,)t且1,xm时,0 xt, ()3e1lnxtf xtxeextxx. 原命题等价转化为: 存在实数 1,)t, 使得不等式1 lntxx对任意1,xm恒成立令( )1ln(0)h xxx x. 011)(xxh, 函数( )h x在(0,)为减函数 . 又1,xm, mmmhxhln1)()(min要使得对1,xm,t值恒存在 , 只须1ln1mm1 31(3)ln 32ln()ln1he
9、ee,2141(4)ln 43ln()ln1he ee且函数( )h x在(0,)为减函数 , 满足条件的最大整数m的值为 3 7 (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校20XX 届高三 10 月月考数学试题)如图 , 某自来水公司要在公路两侧排水管 , 公路为东西方向, 在路北侧沿直线排1l, 在路南侧沿直线排2l, 现要在矩形区域ABCD内沿直线将1l与2l接通 . 已知AB = 60m,BC = 603m, 公路两侧排管费用为每米1 万元 , 穿过公路的EF部分的排管费用为每米2 万元 , 设EF与AB所成角为. 矩形区域内的排管费用为W. (1) 求W关于的函数关系式 ; (2) 求W的
10、最小值及相应的角. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页FEDCBAl2l1公路公路【答案】解:(1) 如图 ,过E作EMBC, 垂足为M, 由题意得)30(MEF, 故有60tanMF,60cosEF, tan60360FCAE, 所以 W=cos2sin603602cos601)tan60360(?(2) 设sin2( )cosf,)30(则22coscos( sin)(sin2)12sin( )coscosf. 令( )0f得12sin0, 即1sin2, 得6. 列表(0,)66)36(,()f+ 0 - (
11、)f单调递增极大值单调递减所以当6时有max( )3f, 此时有 .3120minW答: 排管的最小费用为3120万元 , 相应的角6.8 (江苏省泰州市姜堰区20XX 届高三上学期期中考试数学试题)( 本题满分16 分) 已知函数)()(23Raaxxxf. ( ) 若3) 1( f, (i) 求曲线)(xfy在点)1(, 1 f处的切线方程 , (ii)求)(xf在区间2 ,0上的最大值 ; ( ) 若当2,0 x时,0)(xxf恒成立 , 求实数a的取值范围 . 【答案】( )(i)f (x) = 3x22ax,f (1) = 32a = 3, a = 0, y=x3f(1)=1,f (
12、x) = 3x2,f (1) = 3,切点 (1,1),斜率为 3,y = 3x2 (ii)f(x) = x3,f (x) = 3x20, f(x) 在0,2,f(x) 最大值=f(2)=8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页( )x3ax2+x0 对 x0,2 恒成立 , ax2x3+x 当 x = 0时成立当 x(0,2 时 ax+x1, x+x12, 在 x=1 处取最小值a29 (江苏省泰州市姜堰区20XX 届高三上学期期中考试数学试题)已知1ln( )xf xx. ( ) 若函数( )f x在区间( ,1
13、)a a上有极值 , 求实数a的取值范围 ; ( ) 若关于x的方程2( )2f xxxk有实数解 , 求实数k的取值范围 ; ( ) 当*nN,2n时, 求证 :111( )2231nf nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页20132014 学年度第一学期期中考【答案】解:( )1ln( )xfxx, 221(1ln)ln( )xxxxfxxx当(0,1)x时,( )0fx; 当(1,)x时,( )0fx; 函数( )f x在区间 (0,1) 上为增函数 ; 在区间(1,)为减函数当1x时, 函数( )f
14、x取得极大值 , 而函数( )f x在区间( ,1)a a有极值 . 111aa, 解得01a( ) 由( ) 得( )f x的极大值为(1)1f, 令2( )2g xxxk, 所以当1x时, 函数( )g x取得最小值(1)1gk, 又因为方程2( )2f xxxk有实数解 , 那么1 1k, 即2k, 所以实数k的取值范围是:2k( )函数( )f x在区间(1,)为 减函数 , 而111(*,2)nNnn, 1(1)(1)1ffn111ln(1)1nn, 即1ln(1)lnnnnlnln 2ln1ln 3ln 2lnln(1)nnn1111231n即1111ln2231nn, 而( )1
15、lnn f nn, 111( )2231nf nn结论成立10 (江苏省泗阳中学20XX 届高三第一次检测数学试题)设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数 , 其图象在点(1,f(1) 处的切线与直线x-6y-7=0 垂直 , 导函数f(x) 的最小值为 -12. (1) 求a,b,c的值 ;(2) 求函数f(x) 的单调区间 , 并求函数f(x) 在-1,3上的最大值和最小值. 【答案】解: (1)f(x)为奇函数 ,f(-x)=- f(x)即 -ax3-bx+c=-ax3-bx-c,c=0, f(x)=3ax2+b 的最小值为 -12,b=-12,又直线 x-6y-7=0 的斜率
16、为16, 因此 ,f(1)=3a+b=-6,a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-,-2)和(2,+ ) ,单调递减区间是(-2 ,2). f(x)在-1,3 上的最大值是18,最小值是 -82. 11(江苏省阜宁中学20XX 届高三第一次调研考试数学(理)试题)已知函数1ln10afxxaxax. (1) 设01a, 试讨论fx单调性 ; (2) 设224g xxbx, 当14a时, 若10,2x, 存在21,2x, 使12fxg x, 求实数b的取值范围 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 2
17、7 页12 (江苏省沛县歌风中学(如皋办学) 20XX 届高三第二次调研数学试题)已知函数2( )ln,af xxaxR. (1) 若函数( )f x在2,)上是增函数 , 求实数a的取值范围 ; (2) 若函数( )f x在1, e上的最小值为3, 求实数a的值 . 【答案】(1) 2( )lnaf xxx, 212( )afxxx. ( )f x在2,)上是增函数 , 212( )afxxx0在2,)上恒成立 , 即a2x在2,)上恒成立 . 令( )2xg x, 则amin( ),2,)g xx. ( )2xg x在2,)上 是增函数 , min( )(2)1g xg. a 1. 所以实
18、 数a的取值范围 为(,1. (2) 由(1) 得22( )xafxx,1, xe. 若21a, 则20 xa, 即( )0fx在1, e上恒成立 , 此时( )f x在1, e上是增函数 . 所以min(1)23fxfa, 解得32a( 舍去 ). 若12ae, 令( )0fx, 得2xa. 当12xa时,( )0fx, 所以( )f x在(1,2 )a上是减函数, 当2axe时,( )0fx, 所以( )f x在(2 , )a e上是增函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页所以min2ln(2 )13fx
19、faa, 解得22ea( 舍去 ). 若2ae, 则20 xa, 即( )0fx在1, e上恒成立 , 此时( )f x在1, e上是减函数 . 所以min213afxfee, 所以ae. 13 (江苏省启东市20XX 届高三上学期第一次检测数学试题)已知函数dcxbxxxf2331)(, 设曲线)(xfy在与x轴交点处的切线为124xy,)(xfy为)(xf的导函数 , 满足)()2(xfxf. (1) 求)(xf; (2) 设)()(xfxxg,m0, 求函数)(xg在 0,m 上的最大值 ; (3) 设)(ln)(xfxh, 若对于一切 1 ,0 x, 不等式)22()1(xhtxh恒成
20、立 , 求实数t的取值范围 . 【答案】(1)cbxxxf2)(2, )()2(xfxf, 函数)(xf的图象关于直线x=1 对称b=-1, 曲线)(xfy在与x轴交点处的切线为124xy, 切点为 (3,0), 4)3(0)3(ff, 解得c=1,d=-3, 则331)(23xxxxf(2) 22) 1(12)(xbxxxf, 11|1|)(22xxxxxxxxxgO y x 1 x=21221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页当 0m21时,2)(max)(mmmgxg当21221时 ,mmmgxg2)(max
21、)(, 综上)221()22121(41)210(max)(22mmmmmmmxg(3)|1|ln2)(xxh,|ln2)1(txtxh,|12|ln2)22(xxh当 1 ,0 x时,|2x+1|=2x+1, 所以不等式等价于12|0 xtx恒成立 , 解得131xtx, 且xt, 由 1 ,0 x, 得 1,21x,4, 113x, 所以11t, 又xt, 1 , 0t, 所求的实数t的的取值范围是01t14 (江苏省诚贤中学20XX届高三上学期摸底考试数学试题)设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c, 其中a0,b,cR.(1) 若1( )3f=0, 求函数f(x) 的单调增区
22、间 ; (2) 求证 : 当 0 x1 时,|( )fx | max(0),(1)ff.( 注:maxa,b 表示a,b中的最大值 )【答案】解:(1) 由1( )3f=0, 得a=b故f(x)= ax3-2ax2+ax+c. 由( )fx =a(3x2-4x+1)=0, 得x1=13,x2=1 列表 : x (- ,13) 13(13,1) 1 (1,+ )( )fx+ 0 - 0 + f(x) 增极大值减极小值增由表可得 , 函数f(x) 的单调增区间是(- ,13) 及(1,+ ) (2)( )fx =3ax2-2(a+b)x+b=3222()33abababa xaa. 当1,033a
23、babaa或时,则( )fx 在 0,1 上是单调函数 , 所以(1)f( )fx (0)f, 或(0)f( )fx (1)f, 且(0)f+(1)f=a0. 所以 |( )fx | max(0),(1)ff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页当013aba, 即 -ab2a, 则223ababa( )fx max(0),(1)ff. (i) 当-ab2a时,则 00. 所以 |( )fx | max(0),(1)ff(ii) 当2ab2a时, 则 ()(2 )2abba 0, 即a2+b2-52ab 22523a
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