2022年高中数学_椭圆_知识题型总结 .pdf

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1、教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ()，这个动点的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意： 若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形 . 讲练结合一 .椭圆的定义1若ABC的两个顶点4,0 ,4,0AB，ABC 的周长为18，则顶点C的轨迹方程是知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上

2、时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数1椭圆2214xym的焦距为 2，则 m= 。2椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么 k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有

3、的点都位于直线x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x|a，|y|b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，b） ，B2（0，b） 。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。因为 ac0， 所以 e的取值范围是 0e1。e越接近 1， 则 c 就越接近 a， 从而越小，因此椭圆越扁；反之

4、， e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页椭圆的图像中线段的几何特征（如下图） ：（1），；（2），；（3）,，；知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长 =离心率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 1

5、9 页准线方程焦半径，注意： 椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222byax（ab0）中，焦点分别为1F、2F，点 P 是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF. 证明：记2211| ,|rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.c

6、os12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. .2tan221bSPFF典题妙解例 1 若 P 是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求P y F1O F2x P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页21PFF的面积 . 解法一：在椭圆16410022yx中，, 6, 8,10cba而.60记.| ,|2211rPFrPF点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.2

7、0221arr在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21|2121PFPFPFPF，则21PFF的面积为（）A. 33B. 32C. 3D. 33解：设21PFF，则21|c

8、os2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF故选答案A. 练习6已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21|2121PFPFPFPF，21PFF的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程. 参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6解：设21PFF，120,21|cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b. 又3342ca，即33333411222cccccbc. 3c或33c. 当3c时，222cba，这

9、时椭圆的标准方程为1422yx；当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422yx；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意 . 故所求的椭圆的标准方程为1422yx. 题型二中点弦问题点差法中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线方程？例 3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121()弦所在的直线方程。分析： 本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一设所求直线方程为，代入

10、椭圆方程并整理，得yk x12()()()()4124 211602222kxkk xk，又设直线与椭圆的交点为A xyB xyxxxxkkk()()()11221212228 241，、，则、是方程的两个根，于是，又为的中点，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224 241212()程为xy240精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页法二设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，A xyB xyMAB()()()112221，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy12121212222242416416401

11、2221222，两式相减得()()xxyyyyxxxxyy12121212412()即，故所求直线为kxyAB12240点差法1.过点(1， 0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y=21x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问

12、题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 .解法二，用韦达定理 . 解法一：由 e=22ac,得21222aba,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 . 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设

13、 AB中点为 (x0,y0),则 kAB=002yx,又(x0,y0)在直线 y=21x 上，y0=21x0,于是002yx= 1,kAB=1,设 l 的方程为 y=x+1. 右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y), byxbxybxy111221解得则由点(1,1b)在椭圆上，得 1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆 C 的方程为2291698yx=1,l 的方程为 y=x+1. 解法二：由 e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1), 将l的 方 程 代 入C

14、的 方 程 ， 得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0, 则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk. 直线 l：y=21x 过 AB 的中点 (2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得 k=0，或 k=1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一 . 题型三 弦长公式与焦半径公式1、一般弦长公式弦长公式：若直线ykxb与圆锥

15、曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为 A、B的横坐标，则AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页2121kxx， （若12,yy分别为A、B 的纵坐标，则AB21211yyk） ，若弦AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ecaeM()01 的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，

16、常数e是椭圆的离心率。注意：对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120() e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabP xy22210()()左焦半径左左rxaccarexcaacaex02020右焦半径右右racxcaraex200已知点 P在椭圆yaxbab222210()上，FF12、为椭圆的两个焦点，求|PFPF12的取值范围精选学习资料 - -

17、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页 6. 解：设 P()xy00，椭圆的准线方程为yac2，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点则|PFyaccaPFacyca102220，|PFcayaPFacay1020|()()PFPFacayacay1200acay22202aya0，当y00时，|PFPFa122最大，最大值为当yaPFPFacb012222 时，最小，最小值为|因此，|PFPF12的取值范围是ba22，例 2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角xyFFPF PF221212941时，点 P横坐标的取值范围是_。 （2

18、000 年全国高考题）分析： 可先求 F1PF290时， P点的横坐标。解：法一在椭圆中，依焦半径公式知，abcPFx3253531|PFxF PFPFPFF F2121222122353，由余弦定理知为钝角()()()3533532 59535352222xxxx，应填法二设，则当时，点的轨迹方程为，P xyF PFPxy()1222905由此可得点的横坐标，点在 轴上时，；点在 轴上PxPxF PFPy35012时，为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是F PFPx123535精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页

19、题型四参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点 A作 AN Ox，垂足为N，过点 B作 BN AN ，垂足为M ，求当半径OA绕 O旋转时点M的轨迹的参数方程。解：设点的坐标是，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox参数。那么xONOAyNMOBxayb|cos|sincossin( )1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”说明： 对上述方程（ 1）消参即xaybxaybcossin22221普通方程 由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。直线与椭圆位置关系：xaybykxb

20、22221求椭圆上动点P（x， y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l l且l 与椭圆相切）例 4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线 ：xyPPlxy228840精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设，由参数方程得P(cossin)()2 2则d|cossin| sin()|2 242342其中，当时，tanmin2 221222d此时，cossinsincos22313即点坐标为，PP()8313法二因 与椭圆

21、相离，故把直线 平移至 ，使 与椭圆相切，则 与 的距离，llllll即为所求的最小值，切点为所求点最大( )l设 ：，则由消 得lxymxymxyx0088229280449802222ymymmm，令 ()解之得 ，为最大，由图得mm333()此时，由平行线间距离得Pl()min831322222200021031 0123xyabeABabABxPABC xyxFAFBF椭圆（）的离心率， 、 是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与 轴交于点（， ）。（）设中点为 （ ， ），求 的值。（ ）若 是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名

22、师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页159523233322923322332499951959500195943232122122202121212122120000000000202212121020221212122121222222222222122122222222220021210210212211yxbcacaaxxxxxaexaexaexaBFexaAFxcaBFacxcaAFBFAFxxxyxyxyxyaxbxxyyyyyaxbxxyyyyaxxxxbbayaxbbayaxbbyaxBAababaaceyxxxyyyyyxxxyxByxA所求椭圆方

23、程为）（又）（）（）（）（）（上在椭圆、又由，则），（）、，（）令（1椭圆221925xy的焦点为1F、2F， AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是。2设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点， P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页3设点P 是椭圆2212516xy上的一点，12,FF是焦点，若12F PF是直角，则12F PF的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F， P 是椭圆上一点若6021PFF

24、，求21FPF的面积五离心率的有关问题1. 椭圆1422myx的离心率为21，则m2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率 e为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5. 在ABC中，3, 2| ,300ABCSABA若以 AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e讲练结合六 . 最值问题1. 椭圆2214xy两焦点为 F1、 F2， 点 P在椭圆上，则|PF1| |PF2| 的最大值为 _， 最小值为 _ 精选

25、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页2、椭圆2212516xy两焦点为 F1、F2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则 |PF1|+|PA| 的最大值为 _，最小值为 _ 3、 已知椭圆2214xy， A(1， 0)， P为椭圆上任意一点， 求|PA| 的最大值最小值。4. 设 F 是椭圆322x242y=1 的右焦点 , 定点 A(2,3) 在椭圆内 , 在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF| 最小,求P点坐标最小值 . 知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于 x 轴、y 轴

26、和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长 =离心率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页准线方程焦半径，注意： 椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准

27、方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中， a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C （A、B、C均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax2+By2=

28、C 可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页当时，椭圆的焦点在x 轴上；当时，椭圆的焦点在y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量” ；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c相同。与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2） 。此类问题常用待

29、定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x 换成x，方程不变，则曲线关于y 轴对称；若把曲线方程中的y 换成 y，方程不变，则曲线关于x 轴对称；若把曲线方程中的x、y 同时换成 x、 y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形 PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a

30、2b2，ac0，用 a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁， e越大；当越大，椭圆趋近圆， e 越小，并且 0e1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页课后作业1已知 F1(- 8，0)，F2(8， 0)，动点 P 满足 |PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为 ( ) A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆221169xy左右焦点为F1、 F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为 _ 3 已知方程22111xykk表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A - 1k0 C k0 D k1或 k-1 4、求满

31、足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2 倍，且过点 (2，1) (3) 经过点 (5，1)， (3， 2) 5、若 ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (- 4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 _ 6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P点。若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形ABCD ，则以 A、B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _. 8 已知椭圆的方程为22143xy， P点是椭圆上的

32、点且1260F PF,求12PF F的面积9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022yx上的点 P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是11已知椭圆)5( 125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦 AB过点1F，则2ABF的周长12.在椭圆252x+92y=1 上求一点P, 使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离, 则椭圆的离心率e=_. 15、椭圆的中心在原点

33、, 焦点在x 轴上 , 准线方程为18y, 椭圆上一点到两焦点的距离分别为10 和 14, 则椭圆方程为 _. 16.已知 P是椭圆90025922yx上的点 ,若 P 到椭圆右准线的距离为8.5,则 P 到左焦点的距离为_. 17椭圆1162522yx内有两点2,2A，0 , 3B， P为椭圆上一点，若使53PAPB最小，则最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页18、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y= (0)有(A) 相等的焦距(B) 相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对19、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为(A) 相等的焦距(B) 相同的的焦点(C)相同的准线(D) 有相等的长轴、短轴20、椭圆12622yx上一点 P到左准线的距离为2，则点 P到右准线的距离为21、点P为椭圆1162522yx上的动点 ,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为 _ , 此时点P的坐标为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页