2022年高三数学大一轮复习几何概型学案理新人教A版 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载学案 62 几何概型导学目标： 1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2. 了解几何概型的意义自主梳理1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积 ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率计算公式P(A) _. 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量， 然后代入公式即可求解3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2) 等可能性：每个结果的发生具有等可能性4古典概型与几何概型的区别(1) 相同点：基本

2、事件发生的可能性都是_；(2) 不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的； 几何概型的基本事件是_，是不可数的自我检测1(2011南阳调研) 在长为 12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与 81 cm2之间的概率为 ( ) A.14B.13C.427D.4152(2011福建 ) 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于( ) A.14B.13C.12D.233. 如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径

3、长度的概率为( ) A.12B.32C.13D.144(2010湖南 ) 在区间 1,2 上随机取一个数x，则 |x| 1 的概率为 _5 (2011江西 ) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_探究点一与长度有关的几何概型例 1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始

4、 30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1 在半径为1 的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_探究点二与角度有关的几何概型例 2(2011承德模拟) 如图所示，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMb. 当ab时，a，b取值的情况有 (1,0)，(2,0) ，(2,1) ，(3,0

5、)，(3,1) ，(3,2) ，即A包含的基本事件数为6，方程f(x) 0 有两个不相等实根的概率为P(A) 61212.6分 (2) a从区间 0,2 中任取一个数，b从区间 0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域 (a，b)|0 a2,0 b3，这是一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载矩形区域，其面积S23 6.8 分 设“方程f(x) 0 没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M (a，b)|0 a2,0 b3，ab ，即图中阴影部分的梯形，其面积SM61222 4.10分 由

6、几何概型的概率计算公式可得方程f(x) 0 没有实根的概率为P(B) SMS4623.12分 【突破思维障碍】1 古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析2用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”【易错点剖析】1计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏2计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误1几何概型： 若一个试验具有两个特征：每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2由概率的几何定义可知，在几何概型中， “等可能

7、”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关3几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示 (A? ) ，则P(A) A的度量的度量. ( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1(2009辽宁 )ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1 的概率为 ( ) A.4B14C.8D182(2011天津和平区模拟) 在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于S4的概率是 (

8、 ) A.14B.12C.34D.233(2010青岛模拟) 如右图，在一个长为，宽为 2 的矩形OABC内，曲线y sin x(0 x) 与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A.1B.2C.3D.44 已知函数f(x) x2bxc， 其中 0b4,0 c4. 记函数f(x) 满足ff的事件为A，则事件A的概率为 ( ) A.58B.12C.38D.145

9、(2011滨州模拟) 在区域xy20，xy20，y0内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21 内的概率为 ( ) A.2B.8C.6D.4二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分 ) 6(2010陕西 ) 从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y) ， 则点M落在阴影部分的概率为_7如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆现将半径为 1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_8(2011济南模拟 ) 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是 _三、解答题 ( 共 38

10、 分) 9(12 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载已知等腰RtABC中，C90.(1) 在线段BC上任取一点M，求使CAM30的概率；(2) 在CAB内任作射线AM，求使CAM0 成立时的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载学案 62 几何概型自主梳理2.构成事件 A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积4(1) 相等的(2) 无限个自我检测1A AM 236,81

11、，AM 6,9 ，P961231214. 2C 这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自 ABE 内部的概率为SABES矩形ABCD12|AB| |AD|AB| |AD|12. 故选C. 3C 当AOA 3时，AA OA ，P23213. 4.23解 析由 |x| 1 ， 得 1x1. 由 几 何 概 型 的 概 率 求 法 知 ， 所 求 的 概 率P区间 1，1 的长度区间 1，2 的长度23. 5.1316解析去看电影的概率P112 1221234，去打篮球的概率P214212116，不在家看书的概率为P341161316. 课堂活动区例 1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型

12、，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关解包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和 40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0 到 30 s之间时全部被擦掉，即在0 到 40 s之间，即 0 到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而 0到 30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件记 A 按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，A的发生就是在0到

13、23min时间段内按错键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载P(A) 2330145. 变式迁移1 12解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示， 不妨在过等边三角形BCD的顶点 B的直径 BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为 CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A) 122212. 例 2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A) 构成事件 A的角度试验的全部结果

14、所构成区域的角度. 解在 AB上取 AC AC ，连接 CC ，则ACC 18045267.5.设 A 在ACB内部作出一条射线CM ，与线段AB交于点 M ，AMAC ，则 90， A67.5， P(A) A67.59034. 变式迁移2 解不一样，这时M点可取遍AC ( 长度与AC相等 ) 上的点，故此事件的概率应为AC 长度AB 长度22. 例 3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立

15、适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域解设两人分别于x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见当且仅当 |x y| 23. 两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内( 包括边界 ) 的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界 ) 的点来表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即

16、PS阴影部分S单位正方形11321289. 变式迁移3 解设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则 0 x24,0y24 且 yx4 或 yx 4. 作出区域0 x24，0y24，yx4或 yx 4.设“两船无需等待码头空出”为事件A，则 P(A) S阴影部分S正方形212202024242536. 课后练习区1B当以 O为圆心， 1 为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A) AS长方形S半圆S长方形14. 2C 由于 ABC 、 PBC有公共底边BC，所以只需 P位于线段BA靠近 B的四分之一分点 E与 A之间，即构成一个几何概型，所求的概

17、率为|AE|AB|34. 3AS矩形 OABC2 ，S阴影0sin xdx 2，由几何概型概率公式得P221. 4A 满足 0b4,0 c4的区域的面积为44 16，由，得2bc8bc2， 其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12(24)21224精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载10，故事件A的概率为101658. 5D 区域为 ABC 内部 ( 含边界 ) ，则概率为PS半圆SABC2122 224. 6.13解析阴影部分的面积为S?103x2dxx3|101，所以点M落在阴影区域的概率

18、为13. 7.7781解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心29 cm的圆环上，圆环的面积为922277，故所求概率为77817781. 8.4解析根据题意易知输出数对(x ，y) 的概率即为满足x2y212的平面区域与不等式组1xy1，1xy1所表示的平面区域面积的比，即P(A) 1224. 9解(1) 设 CM x，则 0 xa( 不妨设 BC a) 若CAM30 ，则0 x33a，故CAM30 的概率为P(A) 区间 0，33a 的角度区间，的角度33.(6 分) (2) 设CAM ，则 0 45.若CAM30 ，则0 30，故CAM0，a b1，此为几何概型，所以事件“ f(1)0 ”的概率为P123344932.(14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页