2022年必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算.. .pdf

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1、1 立体几何专题：空间角和距离的计算一 线线角1直三棱柱A1B1C1-ABC ， BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和 A1C1的中点，假设BC=CA=CC1，求 BD1与 AF1所成角的余弦值。F1D1B1C1A1BAC2在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是直角梯形，BAD=900，AD BC， AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA面 ABCD ，PD 与底面成300角， 1假设 AE PD，E 为垂足，求证：BEPD； 2假设 AE PD，求异面直线AE 与 CD 所成角的大小；ABCDPE二线面角1正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F 分别为 BB1、CD 的中点

2、，且正方体的棱长为2， 1求直线 D1F 和 AB 和所成的角；2求 D1F 与平面 AED 所成的角。CDEFD1C1B1A1AB2在三棱柱A1B1C1-ABC 中，四边形 AA1B1B 是菱形， 四边形 BCC1B1是矩形， C1B1AB ，AB=4 ，C1B1=3， ABB1=600，求 AC1与平面 BCC1B1所成角的大小。B1C1A1BAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 三二面角1已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱， D 是 AC 中点， 1证明 AB1平面 DBC1； 2设 AB1BC1，求

3、以 BC1为棱， DBC1与 CBC1为面的二面角的大小。DB1C1A1BAC2ABCD是直角梯形，ABC=900，SA面 ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=0.5 ， 1求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小； 2求 SC 与面 ABCD 所成的角。BADCS3已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，A1AC=600，A1AB=450，求二面角BAA1 C 的大小。B1C1BACA1四 空间距离计算点到点、异面直线间距离1B1C1D1中， P是 BC 的中点， DP 交 AC 于 M，B1P 交 BC1于N， 1求证： MN 上异面直线AC 和 BC1的公垂线；2

4、求异面直线AC 和 BC1间的距离；点到线， 点到面的距离 2点 P 为矩形ABCD 所CDNMPD1C1B1A1AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 在平面外一点，PA面 ABCD ， Q 为线段 AP 的中点， AB=3 ，CB=4 ，PA=2，求 1点 Q到直线 BD 的距离；2点 P 到平面 BDQ 的距离；3边长为a 的菱形 ABCD 中， ABC=600，PC平面 ABCD ，E 是 PA 的中点，求E 到平面 PBC 的距离。线到面、 面到面的距离 4. 已知斜三棱柱A1B1C1-ABC 的侧面

5、A1ACC1与底面 ABC 垂直，ABC=900，BC=2 ，AC=23，且 AA1A1C，AA1=A1C， 1求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小； 2求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小； 3求侧棱B1B 和侧面 A1ACC1距离；B1C1BACA15正方形 ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且平面 ABCD 、ABFE 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在 BF 上移动，假设CM=NB=a 20a ， 1求 MN 的长； 2当 a 为何值时， MN 的长最小；立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 m =0，1，0 ，n=0，1，1 ，则两平面所成的二面角为 . 答案45或 135A、 B两点，直线 AC 、 BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB . 已知 AB =4， AC =6， BD =8， CD =217 ，则该二面角的大小为 . 答案603. 如下图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， O是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1、AD的中点，那么异面直线OE和 FD1所成角的余弦值等于 . 答案5154. 如下图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO AB CD， A

7、C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 . 答案a225. 2008福建理， 6如下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=BC =2，AA1=1，则 BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 . 答案510例 12008海南理， 18如下图，已知点P 在正方体 ABCD ABCD的对角线BD 上 , PDA =60. (1) 求 DP与 CC 所成角的大小 ; (2) 求 DP与平面 AADD所成角的大小 . 解如下图，以 D 为原点， DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz. 则 DA =1，0，0 ，CC=(0,0,1). 连接 BD , BD. 在平面 BBDD中,

8、 延长 DP交 BD于 H. 设 DH =( m , m ,1) (m 0), 由已知 DH , DA =60, 由 DA DH =| DA |DH |cos DH , DA , 可得 2m =122m. 解得 m =22, 所以 DH =22,22,1 . (1) 因为 cos DH ,CC=2111022022=22, 所以 DH ,CC=45, 即 DP与 CC 所成的角为45. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 (2) 平面 AADD 的一个法向量是DC =(0,1,0). 因为 cos DH , DC

9、 =2101122022=21, 所以 DH , DC =60, 可得 DP与平面 AA DD所成的角为30. 例 2在三棱锥 SABC中， ABC是边长为 4 的正三角形，平面SAC 平面 ABC ，SA =SC =23 ，M 、N 分别为 AB、SB 的中点，如下图 . 求点 B到平面 CMN 的距离 . 解取 AC的中点 O ，连接 OS 、OB . SA=SC ，AB=BC ，AC SO ，AC BO . 平面 SAC 平面 ABC ，平面 SAC 平面 ABC =AC ，SO 平面 ABC ， SO BO . 如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，则 B0，23 ，0 ，C -2 ，0

10、，0 ，S0，0，22 ，M 1，3 ，0 ，N0，3 ，2 . CM =3，3 ，0 ， MN =-1，0，2 ， MB =-1 ，3 ，0. 设 n=( x,y, z) 为平面 CMN 的一个法向量，则020z-x33xnnMNyCM，取 z=1，则 x=2 , y=-6 , n=2 ，-6 ，1. 点 B到平面 CMN 的距离 d=324nn MB. 例 316 分如下图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD ，PA=AB=1，AD =3 ，点 F是 PB 的中点，点 E 在边 BC上移动 . 1点 E为 BC的中点时，试判断EF 与平面 PAC的位置关系，

11、并说明理由；2求证：无论点E在 BC边的何处，都有PEAF；3当 BE为何值时， PA与平面 PDE所成角的大小为45. 1解当点 E为 BC的中点时， EF与平面 PAC平行. 在 PBC中， E、F 分别为 BC 、PB的中点， EFPC . 又 EF平面 PAC ，而 PC平面 PAC ，EF平面 PAC . 4 分2证明以 A为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系则 P0，0，1 ，B0，1，0 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 F0，21，21 ，D 3 ，0，0. 设 BE=x，则 Ex，1，0 ，

12、PE AF =x，1，-1 0，21，21=0，PEAF. 10 分3解设平面 PDE的法向量为m =(p, q,1), 由 2知 PD =3 ，0，-1 ， PE =x，1，-1 由00PEPDmm，得 m =1 ,31 ,31x. 12 分而 AP =0，0，1 ，依题意PA与平面 PDE所成角为 45, sin45 =22=APAPmm，1313112x=21, 14 分得 BE=x=3 -2 或 BE=x=3 +2 3 舍去 . 故 BE=3 -2 时， PA与平面 PDE所成角为 45. 16 分1. 如下图， AF、DE分别是 O 、O1的直径， AD与两圆所在的平面均垂直，AD

13、=8.BC是 O的直径， AB =AC =6，OE AD . 1求二面角B - AD -F 的大小；2求直线 BD与 EF所成的角的余弦值. 解1 AD与两圆所在的平面均垂直，AD AB，AD AF，故 BAF是二面角 BAD F的平面角 . 依题意可知， ABFC 是正方形， BAF =45. 即二面角 BAD F 的大小为 45; 2以 O为原点， CB 、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如下图，则 O0，0，0 ，A0，-32 ，0 ，B32 ，0，0 ，D0，-32 ，8 ，E0，0，8 ，F0，32 ，0 ， BD =-32 ，-32 ，8 ， EF =0，32 ，-8

14、. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 cos BD , EF =EFBDEFBD =8210064180=-1082. 设异面直线 BD与 EF所成角为，则cos=|cos BD , EF |=1082. 即直线 BD与 EF所成的角的余弦值为1082. 2. 已知：正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为22 ，侧棱长为4，E、F 分别为棱 AB、BC的中点 . 1求证：平面B1EF平面 BDD1B1；2求点 D1到平面 B1EF的距离 . 1证明建立如下图的空间直角坐标系，则D0，0，0 ，B22

15、，22 ，0 ，E22 ，2 ，0 ，F2 ，22 ，0 ，D10，0，4 ，B122 ，22 ，4. EF =-2 ，2 ，0 ， DB =22 ，22 ，0 ，1DD=0，0，4 ， EF BD =0， EF 1DD=0. EFDB ，EFDD1，DD1BD =D，EF平面 BDD1B1. 又 EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1. 2解由1知11BD=22 ，22 ，0 ，EF =-2 ，2 ，0 ，EB1=0，-2 ，-4. 设平面 B1EF的法向量为n, 且 n=( x, y, z) 则 n EF ,nEB1即 n EF =x，y，z -2 ，2 ，0=-2 x+2

16、y=0，nEB1=x，y，z 0，-2 ，-4 =-2 y-4z=0，令 x=1, 则 y=1, z=-42, n=(1,1,- 42) D1到平面 B1EF的距离d=nn11BD=22242112222=171716. 3. 如下图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱PA底面 ABCD ，AB=3 ，BC =1，PA=2，E为 PD的中点 . 1求直线 AC与 PB所成角的余弦值；2在侧面 PAB内找一点 N，使 NE 平面 PAC ，并求出 N 点到 AB和 AP的距离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

17、页，共 13 页8 解方法一1建立如下图的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E的坐标为 A0，0，0 ，B3 ，0，0 、C 3 ，1，0 、D0，1，0 、P0，0，2 、E(0 ，21，1)，从而 AC =3 ，1，0 ， PB =3 ，0，-2. 设 AC 与 PB 的夹角为，则 cos=PBACPBAC=723=1473，AC与 PB所成角的余弦值为1473. 2由于 N点在侧面 PAB内，故可设N点坐标为 x,0, z,则 NE =- x，21，1-z ，由 NE 平面 PAC可得00ACNEAPNE，即0) 0, 1 ,3(1 ,21,0)2, 0, 0(1 ,21,zzxx

18、, 化简得021301xz, 163zx即 N 点的坐标为63，0，1 ，从而 N点到 AB、AP的距离分别为1，63. 方法二1设 AC BD =O，连接 OE ，AE，BD ，则 OE PB， EOA即为 AC与 PB所成的角或其补角. 在 AOE中， AO =1，OE =21PB =27，AE =21PD =25，由余弦定理得cosEOA =1473127245471, 即 AC与 PB所成角的余弦值为1473. (2) 在平面 ABCD 内过 D 作 AC的垂线交 AB于 F, 则 ADF =6. 连接 PF, 则在 RtADF中, DF =ADFADcos=332, 精选学习资料 -

19、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 AF =AD tan ADF =33. 设 N 为 PF 的中点，连接NE ，则 NE DF . DFAC ，DFPA，DF平面 PAC ，从而 NE 平面 PAC . N点到 AB的距离为21AP=1，N点到 AP的距离为21AF =63. 一、填空题ABCD A1B1C1D1中, M是 AB的中点 , 则 sin 1DB , CM 的值等于 . 答案15210ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是 A1C1的中点，则点O到平面 ABC1D1的距离为 . 答案423. 2008全国理，

20、11已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于 . 答案324. P 是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM 、PN ，如果 BPM =BPN =45，MPN =60，那么二面角AB的大小为 . 答案90ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E、F 分别为 BB1、CD的中点，则点F 到平面 A1D1E 的距离为 . 答案10536. 如下图，在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC ，AB =BC=AA1， ABC =90，点 E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则直线EF

21、和 BC1所成的角是 . 答案607. 如下图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等，D是 A1C1的中点，则直线AD与平面 B1DC所成角的正弦值为 . 答案54SABCD 中,O为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO =OD , 则直线 BC与平面 PAC所成的角是 . 答案30二、解答题9. 如下图，在几何体ABCDE 中， ABC是等腰直角三角形，ABC =90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 BE和 CD都垂直于平面ABC ，且 BE=AB =2，CD =1，点 F

22、 是 AE的中点 . 求 AB 与平面 BDF所成角的正弦值 . 解以点 B为原点， BA、BC 、BE所在的直线分别为x，y，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系，则B0，0，0 ，A2，0，0 ，C0，2，0 ，D0，2，1 ，E 0，0，2 ，F1，0，1. BD =0，2，1 ， DF =1，-2 ，0. 设平面 BDF的一个法向量为n=2，a，b ，n DF ，n BD ，00BDDFnn即0) 1 ,2, 0(),2(0) 0, 2, 1(),2(baba解得 a=1，b=-2. n=2，1，-2 . 设 AB 与平面 BDF所成的角为，则法向量n 与 BA 的夹角为2-，cos 2

23、-=nnBABA=322, 1 ,20,0 ,2=32, 即 sin=32, 故 AB与平面 BDF所成角的正弦值为32. PABCDE 中， PA =AB=AE=2a，PB =PE=22 a，BC =DE =a， EAB =ABC = DEA =90. 1求证： PA平面 ABCDE ；2求二面角APD E的余弦值 . 1证明以 A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则由已知得A0，0，0 ，P0，0，2a ，B2a，0，0 ，C2a，a，0 ，Da，2a，0 ，E0，2a，0. AP =0，0，2a ， AB =2a，0，0 ， AE

24、 =0，2a，0 ， AP AB =02a+00+2a0=0， AP AB . 同理 AP AE . 又 AB AE =A， PA 平面 ABCDE . 2解设平面 PAD的法向量为m =(1, y,z), 则 m AD =0，得 a+2ay=0，y=-21. 又 m AP =0，得 2az=0， z=0. m =1，-21，0. 再设平面 PDE的法向量为 n=( x,1, z), 而 ED =a，0，0 ， PD =a，2a，-2 a ，则 n ED =0，得 ax=0， x=0. 又 n PD =0，得 ax+2a-2 az=0， z=1. 精选学习资料 - - - - - - - -

25、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 n=0，1，1. 令二面角 APD E 的平面角为，则 cos=-nmnm=24521=1010，故二面角 APD E 的余弦值是1010. 11. 如下图，在三棱锥PABC中， ABBC ，AB=BC =kPA ，点 O 、D分别是 AC 、PC的中点，OP 底面 ABC . 1假设 k=1，试求异面直线PA与 BD所成角余弦值的大小；2当 k 取何值时，二面角O PC B的大小为3？解OP 平面 ABC ，又 OA =OC ，AB=BC ，从而 OA OB ，OB OP ，OA OP ，以 O为原点，建立如下图空间

26、直角坐标系Oxyz.1设 AB=a，则 PA =a，PO =22a，A22a，0，0 ，B0，22a，0 ，C-22a，0，0 ，P0，0，22a ，则 D-42a，0，42a. PA =(22a，0，-22a ) ， BD =(-42a，-22a，42a) ，cos PA , BD =BDPABDPA=222234141aaa=-33, 则异面直线 PA与 BD所成角的余弦值的大小为33. 2设 AB=a，OP =h， OB 平面 POC ， OB =(0，22a，0) 为平面 POC的一个法向量 . 不妨设平面 PBC的一个法向量为n=x，y，z ，A(22a，0，0) ，B(0 ，22a

27、，0) ，C(-22a，0，0) ，P(0，0，h) ， BC =(-22a,- 22a,0),PC =(- 22a,0,- h), 由00PCBCnn0220zhaxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 不妨令 x=1，则 y=-1，z=-ha22，即 n=(1,-1,- ha22), 则 cos3=nnOBOB=22222222haaa=212+222ha=4h=21a, PA=22POAO=24121aa=23a, 而 AB=kPA , k=332. 故当 k=332时, 二面角 O PC B的大小为

28、3. 12. (2008 湛江模拟 ) 如下图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中， AB=BC =2，AA1=4，E是棱 CC1上的点，且 BEB1C. 1求 CE的长；2求证： A1C平面 BED ；3求 A1B与平面 BDE所成角的正弦值 . 1解如下图，以D 为原点， DA 、DC 、DD1所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz. D0，0，0 ，A2，0，0 ，B2，2，0 ，C0，2，0 ，A12，0，4 ，B12，2，4 ，C10，2，4 ，D10，0，4. 设 E 点坐标为 0，2，t ，则 BE =-2 ，0，t ，CB1=-2，0，-4. BEB1C，

29、 BE CB1=4+0-4 t =0. t =1，故 CE =1. 2证明由 1得， E0，2，1 ， BE =-2 ，0，1 ，又CA1=-2，2，-4 ， DB =2，2，0 ，CA1 BE =4+0-4=0，且CA1 DB =-4+4+0=0. CA1 DB 且CA1 BE ，即 A1CDB ，A1CBE ，又 DB BE =B， A1C平面 BDE . 即 A1C平面 BED . 3解由2知CA1=-2 ，2，-4 是平面 BDEBA1=0，2，-4 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 cos CA1,BA1=BACABACA1111=630. A1B 与平面 BDE所成角的正弦值为630. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页