2022年高中数列知识点总结归纳 .pdf

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1、名师总结精品知识点一、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。2、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果a， A，b 成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项。其中2abAa， A，b 成等差数列2abA。4、等差数列的前n和的求和公

2、式：11()(1)22nnn aan nSnad。5、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，如：1a，3a，5a，7a，；3a，8a，13a，18a，；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4） 在等差数列na中， 若m，n，p ，qN且 mnpq， 则mnpqaaaa；说明：设数列na是等差数列，且公差为d ，（）若项数为偶数，设共有2n项，则 S 奇S偶nd ； 1nnSaSa奇偶；（）若项数为奇数， 设共有 21n项，则 S偶S奇na

3、a中；1SnSn奇偶。6、数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN） ；若已知na， 则nS最值时n的值 （nN） 可如下确定100nnaa或100nnaa。二、等比数列1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示(0)q，即：1na：(0)naq q数列对于数列（ 1） （2） （3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，21。 （注意： “从第二项起”、 “常数” q 、等比

4、数列的公比和项都不为零）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结精品知识点2等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2） 等比数列的通项公式知： 若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如果在ba与中间插入一个数 G ，使bGa,成等比数列，那么 G 叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列123,na a aa的前 n 项和是nS123naa

5、aa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当 q=1 时，1naSn（错位相减法）。说明：（1）nSnqa,1和nnSqaa,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（ 3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为 q，则有mnmnqaa； 对 于 等 比 数 列na， 若vumn， 则vumnaaaa， 也 就 是 ：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,12321。若数列na是等比

6、数列，nS是其前 n 项的和，*Nk， 那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321三 、数列前 n 项和1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式： an=11sssnn12nn。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和重要公式： 1+2+n=21n(n+1)；12+22+n2=61n(n+1)(2n+1)；精选学习资料 - - - - - -

7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结精品知识点13+23+n3=(1+2+n)2=41n2(n+1)2；等差数列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项， 这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和， 需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan、)1(1nn=n111n、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、)!1(nn=!1n)!1(1n等。错项

8、相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和， 常用错项相 消 法 。nnncba, 其 中nb是 等 差 数 列 ，nc是 等 比 数 列 ， 记nnnnncbcbcbcbS112211，则1211nnnnnqSb cbcb c，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：nnncba2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及 a1=1，确定的数列12n

9、即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结精品知识点一、高中数列基本公式：1、 一般数列的通项an与前 n项和 Sn的关系：an= 2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d ( 其中 a1为首项、ak为已知的第k 项) 当 d0 时， an是关于 n 的一次式；当d=0 时，

10、 an是一个常数。3、等差数列的前n 项和公式：Sn= Sn= Sn=当 d0 时，Sn是关于 n 的二次式且常数项为0；当 d=0 时（ a10）， Sn=na1是关于 n的正比例式。4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k ( 其中 a1为首项、 ak为已知的第k 项， an0)5、等比数列的前n项和公式： 当 q=1 时，Sn=n a1 ( 是关于 n 的正比例式 ) ；当 q1 时，Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。2、等差数列 an

11、中，若 m+n=p+q ，则3、等比数列 an 中，若 m+n=p+q ，则4、等比数列 an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。5、两个等差数列an 与bn 的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。6、两个等比数列an 与bn 的积、商、倒数组成的数列anbn 、仍为等比数列。7、等差数列 an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列 an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 10、 三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 ( 为什么？ ) 11、an为等差数列，则(c0) 是等比数列。12、bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且 c1) 是等差数列。13. 在等差数列中：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结精品知识点（1）若项数为，则（2）若数为则，14. 在等比数列中：（1）若项数为，则（2）若数为则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页