2022年高中数学必修一集合与函数的概念复习资料 2.pdf

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1、必修 1 第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： x|x具有的性质 ，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无

2、限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA 中的任一元 素 都 属于 B (1)AA (2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB （或 BA）BA，且B 中至少有一 元 素 不属于 A （1）A（A 为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等ABA 中的任一元 素 都 属于 B，B 中的 任 一 元素都属于A (1)AB (2)BA A(B)（7）已知集合A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它精选

3、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页有22n非空真子集 . 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB|,x xA且xB（1）AAA（2）A（3）ABAABBBA并集AB|,x xA或xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABBBA补集UAe|,x xUxA且（1）()UAAe（2）()UAAUe（3）()()()UUUABAB痧?（4）()()()UUUABAB痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|

4、(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看 成 一 个 整 体 ， 化 成|xa，|(0)xa a型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxc a的图象O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa无实根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxaR20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1

5、）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB函数的三要素: 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设,a b是两个实数， 且ab， 满足axb的实数x的集合叫做闭区间， 记做 , a b； 满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区 间 ， 分 别 记 做,)a b，( , a b； 满

6、足,xa xa xb xb的 实 数x的 集 合 分 别 记 做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页tanyx中

7、，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数( )f g x的定义域应由不等式( )ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数

8、的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数( )yfx可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，则在( )0a y时，由于,x y为实数，故必须有2( )4 ( )( )0bya yc y，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为

9、三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

10、，共 21 页唯一的元素和它对应，那么这样的对应 （包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合B的映射， 且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2

11、）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4） 利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4） 利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增， 则( )yf g

12、x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则( )yf g x为增；若( )yf u为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质yxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页( )fx分别在(,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有( )f xM； （ 2）存在

13、0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数( )f x的最大值，记作max( )fxM一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有( )fxm； （ 2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x) 叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定

14、义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) , 那 么 函 数f(x) 叫做 偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21

15、页（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyfxk上移 个单位下移|个单位伸缩变换01,1,( )()yf xyfx伸缩01,1,( )( )AAyf xyAfx缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )yxyf

16、 xyfx直线( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( )|xxyf xyf x保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第一章集合与函数概念第一讲集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

17、第 7 页，共 21 页热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型 1：集合元素的基本特征例 1（ 2008 年江西理）定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB设1,2 ,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A0； B2；C3； D6 解题思路 根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的元素解析 ：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4,2,0，故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型 2

18、：集合间的基本关系例 2数集ZnnX,) 12(与ZkkY,)14(之的关系是（）AXY；BYX； CYX；DYX解题思路 可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样， B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。考点二：集合的基本运算 例 3 设集合0232xxxA，0)5() 1(222axaxxB（1）若2

19、BA，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值 范围 若2BA，解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为2, 10232xxxA，（1）由2BA知，B2，从而得0)5() 1(4222aa，即0342aa，解得1a或3a当1a时，2,2042xxB，满足条件；当3a时，20442xxxB，满足条件所以1a或3a（2）对于集合B，由)3(8)5(4)1(422aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页因为ABA，所以AB当0，即3a时，B，满足条件；当0，即3a时

20、，2B，满足条件；当0，即3a时，2 , 1AB才能满足条件，由根与系数的关系得725521)1(22122aaaa，矛盾故实数a的取值 范围是3a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. 第 2 讲函数与映射的概念求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型 ” 的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（ 2） 基 本 函 数 法 ： 一 些 由 基 本 函 数 复 合 而 成 的 函 数 可 以 利 用

21、 基 本 函 数 的 值 域 来 求 ， 如 函 数) 32(l og221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012) 1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)1(22yyy得021332133yy且，故所求值域是2133,2133（4）分离常数法：常用来求“ 分式型 ” 函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，而2,0(1cosx，所以25,(1cos5x

22、，故21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0 x时，0y；当0 x时，xxy43，若0 x，则4424xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页若0 x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是43,43（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数)2 , 1(2224xxxy的值域因) 14(22823xxxxy，故函数)2, 1(2224xxxy在)21, 1(上递减、 在)0,21(上递增、在)21,0(上递减、在)2 ,21(上递增，从而可得所求值域为30,815（ 7

23、）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同

24、一函数 . （2）由于函数xxxf)(的定义域为),0()0 ,(，而; 01,01)(xxxg的定义域为R，所以它们不是同一函数. （3）由于当 nN*时， 2n 1 为奇数，xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （ 4 ） 由 于 函 数xxf)(1x的 定 义 域 为0 xx， 而xxxg2)(的 定 义 域 为10 xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 答案 （1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数【名师指引】

25、构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页字母对于函数本身并无影响，比如1)(2xxf，1)(2ttf，1) 1() 1(2uuf都可视为同一函数. 考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2. （ 08 年湖北）函数)(xf)

26、4323ln(122xxxxx的定义域为 ( ) A.),2)4,(;B.)1 ,0()0 ,4(；C. 1 ,0()0,4,;D. )1 ,0()0, 4,解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 解析 欲使函数)(xf有意义，必须并且只需0043230430232222xxxxxxxxx)1 ,0()0 ,4x，故应选择D【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围， 实际操作时要注意： 分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析

27、式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型 2：求抽象函数的定义域 例 3 （2006湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A. 4, 00, 4；B. 4, 11,4；C. 2 , 11,2；D. 4, 22,4解题思路 要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)( xf的定义域。 解析 由202xx得，( )f x的定义域为22x，故22,2222.xx解得4, 11,4x。故xfxf22的定义域为4, 11,4.选 B. 【名师指引】求

28、复合函数定义域, 即已知函数( )f x的定义为 , a b，则函数( )f g x的定义域是满足不等式( )ag xb的 x 的取值范围； 一般地，若函数( )f g x的定义域是 , a b， 指的是 , xa b， 要求( )f x的定义域就是 , xa b时( )g x的值域。题型 3；求函数的值域例 4已知函数)( 6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域解题思路 应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页解析 依题意，

29、0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4) 1()(maxfaf，419)23()(minfaf，所以)(af的值域是4,419【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。考点三：映射的概念例 5 （06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文, , ,a b c d对应密文2 ,2,23 ,4.abbccdd例如，明文1,2,3, 4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A7

30、,6,1, 4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文14，9， 23，28 时，有214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合 A、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有 “ 方向性 ” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从集合B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；（3）集合 A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（

31、4）集合 A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象 . 第 3 讲函数的表示方法热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 （09 年广东南海中学）一水池有2个进水口 , 1个出水口 , 一个口的进、 出水的速度如图甲、 乙所示 .某天0点到6点, 该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：进水量出水量蓄水量时间011时间021时间034665精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页甲乙丙（1）0点到3点只进水不出水； （2）3点到4点不进水只出水；

32、 （3）4点到6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路 根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析 由图甲知， 每个进水口进水速度为每小时1 个单位， 两个进水口1 个小时共进水2 个单位， 3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（ 2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的

33、函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。考点 2：用列表法表示函数例 2 （07 年北京）已知函数( )f x，( )g x分别由下表给出则(1)f g的值为；满足 ( )( )f g xg f x的x的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析 由表中对应值知(1)f g=(3)1f；当1x时，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不满足条件当2x时， (2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，满足条件，当3x时，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不满足条件，满足( )( )f g xg

34、f x的x的值是2x【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 3（ 04 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 解析 令txx11，则11ttx，12)(2tttf. 12)(2xxxf. x1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13

35、 页，共 21 页故应填212xx【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法（注意新元的取值范围） ；待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）； 整体代换（配凑法） ； 构造方程组（如自变量互为倒数、已知)(xf为奇函数且)(xg为偶函数等） 。题型 2：求二次函数的解析式例 4 （普宁市城东中学09 届高三第二次月考）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间1 , 1上，)(xfy的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。 解题思路 （ 1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(

36、2xfmx对于 1 , 1x恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。 解析 设2( )(0)f xaxbxc a，则22(1)( ) (1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab与已知条件比较得：22,0aab解之得，1,1ab又(0)1fc，2( )1f xxx由题意得：212xxxm即231mxx对1,1x恒成立，易得2min(31)1mxx【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。考点 4：分段函数题型 1：根据分段函数的图象写解析式例 5 (07 年湖北 )为了预防流感，某学校对教室用药物消

37、毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量 y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为ay1161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。思路点拨 根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与 t 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

38、结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析 （）观察图象，当1 .00t时是直线，故ty10；当1 .0t时，图象过)1 , 1.0(所以a1. 01611，即1.0a，所以1.0,)161(1 .00,101 .0tttyt（）6.016116125.01615.01 .01. 0taa，所以至少需要经过6.0小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 6 (2006 上海 )设函数54)(2xxxf，在区间6, 2上

39、画出函数)(xf的图像。思路点拨 需将来绝对值符号打开，即先解0542xx，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 222452156( )45(45)15xxxxf xxxxxx或,如右上图 . 【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。第 4 讲函数的单调性与最值热点考点题型探析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 (2008 广东 ) 设Rk, 函数1,1, 1,11)(xxxxxfRxkxxfxF,)()(. 试讨论函数)(xF的单调性 . 解题思路

40、 分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。 解析 : 因为1,1, 1,11)(xxxxxf, 所以RxkxxkxxkxxfxF,111)()(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页 (1) 当 x0 ，)1( ,)1(1)(2xkxxF当0k时，0)(xF在)1 ,(上恒成立，故F(x) 在区间)1 ,(上单调递增；当0k时，令)1( ,0)1(1)(2xkxxF，解得kkx1，且当kkx1时，0)(xF；当11xkk时，0)(xF故 F(x) 在区间)1 ,(kk上单调

41、递减 , 在区间)1 ,1(kk上单调递增；(2) 当 x1 时， x-10 ，)1(,121)(xkxxF当0k时，0)(xF在), 1(上恒成立，故F(x) 在区间), 1(上单调递减；当0k时，令)1( ,0121)(xkxxF，解得2411kx，且当24111kx时，0)(xF；当2411kx时，0)(xF故 F(x) 在区间)411 , 1(2k上单调递减 , 在区间),411(2k上单调递增；综上得，当k=0 时， F(x) 在区间)1 ,(上单调递增， F(x) 在区间), 1(上单调递减；当 k0 时， F(x) 在区间)1 ,(上单调递增，在区间)411 , 1(2k上单调递

42、减 , 在区间),411 (2k上单调递增；当0k时， F(x) 在区间)1 ,(kk上单调递减 , 在区间)1 ,1(kk上单调递增 , 在区间), 1(上单调递减 . 【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理. 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 2 定义在 R 上的函数)(xfy，0)0(f，当 x0 时，1)(xf，且对任意的a、bR，有 f （a+b）=f（a） f（b）. （1）求证： f（0）=1；（2）求证：对任意的x R，恒有 f（ x） 0；（3）求证： f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（2xx2） 1，求

43、x的取值范围 . 解题思路 抽象函数问题要充分利用“ 恒成立 ” 进行 “ 赋值 ” ，从关键等式和不等式的特点入手。 解析 （1）证明：令a=b=0，则 f（0） =f 2（0）. 又 f（0） 0 ， f（ 0）=1. （2）证明：当x0 时， x0，f（ 0）=f（x） f（ x）=1. f（ x）=)(1xf0.又 x0 时 f（x）1 0，xR 时，恒有f（x） 0. （3）证明：设x1x2，则 x2x10. f（ x2） =f（x2x1+x1）=f（x2x1） f（x1）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共

44、21 页x2x10， f（x2x1） 1. 又 f（x1） 0， f（x2x1） f（x1） f（x1）. f（ x2） f（x1）.f（x）是 R 上的增函数 . （4）解：由f（x） f（ 2xx2） 1， f（0）=1 得 f（3xx2） f（0）.又 f（x）是 R 上的增函数，3xx20.0 x3. 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中 “ f（x2） =f （x2x1）+x1” 是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. 考点 2 函数的值域（最值）的求法题型 1：求分式函数的最值例 3 （2000 年上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1 , x

45、当21a时，求函数)(xf的最小值； 解题思路 当21a时，221)(xxxf，这是典型的 “ 对钩函数 ” ，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；解析 当21a时，2211)( ,221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间), 1上为增函数。)(xf在区间), 1上的最小值为27)1 (f。【名师指引】对于函数,221)(xxxf若0 x，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到2222122)21()(xxxxxf而认为其最小值为22，但实际上，要取得等号，必须使得xx21，这时),21x所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，

46、缺一不可。其次, 不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围例 4 （2000 年上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1 , x若对任意1,),( )0 xf x恒成立 , 试求实数a的取值范围。 解题思路 欲求参数a的取值范围，应从1,),( )0 xf x恒成立的具体情况开始。解析 02)(2xaxxxf在区间), 1上恒成立；022axx在区间), 1 上恒成立；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

47、- - - - - - -第 17 页，共 21 页axx22在区间), 1上恒成立；函数xxy22在区间), 1上的最小值为3，3a即3a【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型 3：求三次多项式函数的最值例 5（09 年高州中学） 已知a为实数， 函数)(1()(2axxxf，若0)1(f，求函数)(xfy在3,12上的最大值和最小值。 解题 思路 求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。解析 123)(,)(0) 1(223axxxfaxaxxxff，由，,2,0123aa3分143)(2xxxf4分)1)(31(3)(xxxf由得

48、：当3110)(xxxf或时，5分当3110)(xxf时，6分因此，)(xf在区间 1 ,311,23和内单调递减，而在31, 1内单调递减，且2750)31()(,2)1()(fxffxf极小值极大值又813)23(f8132750, 6) 1(且f，813)23(,6) 1( 1 ,23)(ffxf最小值上的最大值在， 10分【名师指引】 用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。第 5 讲函数的奇偶性和周期性热点考点题型探析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性 例 1 判断下列

49、函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|； （2）f（x）=（x 1）xx11；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页（3）2|2|1)(2xxxf； （4）).0()1(),0()1()(xxxxxxxf思路点拨 判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 解析 （1）函数的定义域x（ ， +） ，对称于原点 . f（ x）=|x+1| |x 1|=|x1|x+1|=（ |x+1|x1|）=f（x） ，f（ x）=|x+1|x1|是奇函数 . （ 2）先确定函数的定义域.由xx110 ，得 1

50、 x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由, 02|2|, 012xx得.40, 11xxx且故 f（x）的定义域为 1， 0）（ 0，1 ，关于原点对称，且有x+20. 从而有 f（x）= 2212xx=xx21， f（ x）=xx2)(1=xx21=f（x）故 f（x）为奇函数 . （4）函数f（x）的定义域是（，0）（ 0，+） ，并且当x0 时， x 0，f（ x）=（ x） 1（ x） =x（1+x）=f（x） （x0）. 当 x0 时， x0， f（ x）=x（1x）=f（x） （x0） . 故函数 f（x）为奇函