2022年高中数学数列压轴题练习及详解 2.pdf

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1、高中数学数列压轴题练习江苏及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为,且?,()求数列的通项公式 ; ()数列满足,求数列的通项公式 ; 是否存在正整数m,使得,成等差数列 ?假设存在 ,求出m,n 的值;假设不存在 ,请说明理由 .解:(I)设数列的公差为 d,则由?,得, 计算得出或(舍去 ). ; (), , , 即,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页累加得 :, 也符合上式 . 故,. 假设存在正整数m、,使得,成等差数列 , 则又, ,即, 化简得 :当,即时,(舍去); 当,即时,符合题

2、意 . 存在正整数,使得,成等差数列 . 解析()直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; ()把数列的通项公式代入,然后裂项 ,累加后即可求得数列的通项公式 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页假设存在正整数m、,使得,成等差数列 ,则.由此列关于m 的方程 ,求计算得出答案.2.在数列中,已知,(1)求证 :数列为等比数列 ; (2)记,且数列的前 n 项和为,假设为数列中的最小项 ,求的取值范围 . 解:(1)证明 :, 又, , 故, 是以 3 为首项 ,

3、公比为 3 的等比数列(2)由(1)知道, 假设为数列中的最小项 ,则对有恒成立 , 即对恒成立当时,有; 当时,有?; 当时,恒成立 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页对恒成立 . 令,则对恒成立 , 在时为单调递增数列. ,即综上 ,解析(1)由,整理得 :.由,可以知道是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列 ; (2)由(1)求得数列通项公式及前n 项和为,由为数列中的最小项 ,则对有恒成立 ,分类分别求得当时和当的取值范围 , 当时,利用做差法 ,根据函数的单调性,即可求得的取值范围 .3.在数列中

4、,已知, , ,设为的前 n 项和 . (1)求证 :数列是等差数列 ; (2)求; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页(3)是否存在正整数p,q, ,使, , 成等差数列 ?假设存在 ,求出 p,q,r 的值 ;假设不存在 ,说明理由 . (1)证明:由, 得到, 则又, , 数列是以 1 为首项 ,以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)可以推知 :, 所以 , 所以,-,得, , , 所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页(3)

5、假设存在正整数p,q,使,成等差数列 . 则, 即因为当时, 所以数列单调递减 . 又, 所以且 q 至少为 2, 所以,当时, 又, 所以,等式不成立 . 当时, 所以所以, 所以,(数列单调递减 ,解唯一确定 ). 综上可以知道 ,p,q,r 的值分别是1,2,3. 解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页(1)把给出的数列递推式,变形后得到新数列,该数列是以1 为首项 ,以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)推出的通项公式 ,利用错位相减法从而求得求; (3)根据等差数列的性质得到,从而推知 p,q,r 的

6、值 . 4.已知 n 为正整数 ,数列满足, ,设数列满足(1)求证 :数列为等比数列 ; (2)假设数列是等差数列 ,求实数 t 的值 ; (3)假设数列是等差数列 ,前 n 项和为,对任意的,均存在,使得成立 ,求满足条件的所有整数的值. (1)证明:数列满足, ?,?, 数列为等比数列 ,其首项为,公比为 2; (2)解:由(1)可得 :?, ,数列是等差数列 , , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页计算得出或 12. 时,是关于 n 的一次函数 ,因此数列是等差数列. 时,不是关于 n 的一次函数 , 因

7、此数列不是等差数列 . 综上可得; (3)解:由(2)得, 对任意的,均存在,使得成立 , 即有?, 化简可得, 当,对任意的,符合题意 ; 当,当时, 对任意的,不符合题意 . 综上可得 ,当,对任意的,均存在, 使得成立. 解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证; (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得 t,对 t 的值 ,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立 ,即有?,讨论为偶数和奇数 ,化简整理

8、 ,即可得到所求值 . 5.已知常数,数列满足, (1)假设, , 求的值 ; 求数列的前 n 项和; (2)假设数列中存在三项, , 依次成等差数列 ,求的取值范围 . 解:(1), , , , , 当时, 当时,即从第二项起 ,数列是以 1为首项 ,以 3 为公比的等比数列, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页数列的前 n 项和, 显然当时,上式也成立 , ; (2), ,即单调递增 . (i)当时,有,于是, ,假设数列中存在三项,依次成等差数列,则有, 即,.因此不成立 .因此此时数列中不存在三项,依次成等

9、差数列 . 当时,有.此时于是当时,.从而假设数列中存在三项,依次成等差数列,则有, 同(i)可以知道 :.于是有,是整数 ,.于是,即.与矛盾 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页故此时数列中不存在三项,依次成等差数列 . 当时,有于是此时数列中存在三项,依次成等差数列 . 综上可得 :解析(1),可得,同理可得,当时,当时,即从第二项起 ,数列是以 1 为首项 ,以 3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出(2),可得,即单调递增 . (i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 当时

10、,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同(i) 可以知道 :.得出矛盾 ,因此不存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页在. 当时,有.于是.即可得出结论 . 6.已知两个无穷数列和的前 n 项和分别为, , , ,对任意的,都有(1)求数列的通项公式 ; (2)假设为等差数列 ,对任意的,都有.证明 : ; (3)假设为等比数列 , , ,求满足的n 值. 解:(1)由,得, 即,所以由,可以知道所以数列是以 1 为首项 ,2 为公差的等差数列. 故的通项公式为,(2)证法一 :设数列的公差为 d, 则, 由(1

11、)知,因为,所以, 即恒成立 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页所以,即, 又由,得, 所以所以,得证 . 证法二 :设的公差为 d,假设存在自然数,使得, 则,即, 因为,所以所以, 因为,所以存在,当时,恒成立 . 这与 “ 对任意的,都有” 矛盾 ! 所以,得证 . (3)由(1)知,.因为为等比数列 , 且, 所以是以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列. 所以,则, 因为,所以,所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页而

12、,所以,即当,2 时,式成立 ; 当时,设, 则, 所以, 故满足条件的n 的值为 1 和 2. 解析(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求 ; (2)方法一、设数列的公差为 d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为 d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于 0,即可得证 ; (3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,化简,推出小于 3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值. 7.已知数列, 都是单调递增数列,假设将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列

13、(1)设数列, 分别为等差、等比数列,假设, , ,求; (2)设的首项为 1,各项为正整数 , ,假设新数列是等差数列 ,求数列的前 n 项和; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页(3)设是不小于 2 的正整数 ), ,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是假设存在 ,请给出一个满足题意的等差数列;假设不存在 ,请说明理由 . 解:(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, 根据题意得 ,计算得出或 3,因数列,单调递增, 所以, 所以, 所以,因为,(2)设等差数列的公差为 d,又,

14、且, 所以,所以因为是中的项 ,所以设,即当时,计算得出,不满足各项为正整数;当时,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项 ,所以;当时,此时,只需取, 由,得,是奇数 ,是正偶数 ,m 有正整数解 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页所以等比数列的项都是等差数列中的项 ,所以综上所述 ,数列的前 n 项和,或(3)存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有, 即成立. 由, 所以首项,公差的等差数列符合题意解析(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,根据

15、题意得 ,计算得出或 3,因数列,单调递增 ,可得,利用通项公式即可得出. (2)设等差数列的公差为 d,又,且,所以,所以.因为是中的项 ,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出 . (3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出. 8. 对于数列, 称( 其中,为数列的前 k 项“波动均值” . 假设对任意的, 都有, 则称数列为“趋稳数列”.(1) 假设数列 1,x,2为“趋稳数列”

16、 , 求 x 的取值范围 ; (2) 假设各项均为正数的等比数列的公比, 求证 :是“趋稳数列”;(3) 已知数列的首项为 1, 各项均为整数 , 前 k 项的和为. 且对任意, 都有, 试计算 :.解:(1)根据题意可得, 即,两边平方可得, 计算得出; (2)证明 :由已知 ,设, 因且, 故对任意的,都有, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页, 因, , , , , 即对任意的,都有,故是“ 趋稳数列 ”;(3)当时,当时, 同理 , 因, , 即, 所以或所以或精选学习资料 - - - - - - - -

17、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页因为,且,所以,从而, 所以,. 解析(1)由新定义可得,解不等式可得x 的范围 ; (2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义 ,运用不等式的性质即可得证 ; (3)由任意,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值. 9.已知首项为1 的正项数列 an 满足+an+1an，nN*.1假设 a2=，a3=x，a4=4，求 x 的取值范围；2设数列 an是公比为 q 的等比数列， Sn为数列 an 前 n 项的和，假设SnSn+12Sn，nN*，求 q 的取值范围；3假设

18、 a1，a2，akk3 成等差数列，且a1+a2+ak=120，求正整数 k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a1，a2，akk3 的公差 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页解： 1由题意，anan+12an，x3,x2x，x 2，3.2anan+12an，且数列 an是公比为 q 的等比数列， a1=1，qn-1qn2qn-1，qn-1(q-)0，qn-1(q-2)0，q，1.SnSn+12Sn，当 q=1 时， S2=2S1，不满足题意，当 q1时，2?，当 q，1时，即，q，1.当 q 1，2时，即，

19、无解，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页q，1.3设数列 a1，a2，akk3 的公差为d.anan+12an，且数列 a1，a2，an成等差数列，a1=1，1+(n-1)d 1+nd21+(n-1)d ，n=1，2，k-1，d -，1.a1+a2+ak=120，Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，d=， -，1，k 15，239， kN* ，k 的最小值为16，此时公差d=.解析【解题方法提示】分析题意，对于1，由已知结合完全平方公式可得anan+12an，由此可得到关于a2，a3，a4的大小关系，据此列式可解得x 的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页根据anan+12an，以及等比数列的通项公式可得q，1，再结合SnSn+12Sn以及等比数列的前n 项和公式分类讨论可得q 的取值范围；设公差为 d，根据anan+12an，以及等差数列的通项公式可得d-，1，然后根据等差数列的前n 项和公式结合题意可得d=，由此可解得 k 的取值范围，进而得到k 的最小值和d 的值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页