2022年高中数学数列知识点总结 3.pdf

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1、一、数列1. 数列的定义： 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律” 因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项 an与项数 n 是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan. 3. 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项

2、），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项） 间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式. 如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式 . 4. 数列的前n项和与通项的公式nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. 递增数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如

3、 : .,1, 1 , 1,1 , 1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数M使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M, 总有项na使得Man. 1、已知*2()156nnanNn，则在数列na的最大项为 _（答：125） ；2、数列na的通项为1bnanan， 其中ba,均为正数， 则na与1na的大小关系为 _ （答：na1na） ；3、 已知数列na中，2nann， 且na是递增数列， 求实数的取值范围 （答：3） ；4、一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1 , 0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列na满足)(*1Nnaann，则

4、该函数的图象是（） （答： A）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差 。 即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann). 2、 （1）等差数列的判断方法：定义法 ：)(1常数daannan为等差数列。 中项法 ：aaannn212an为等差数列。通项公式法 ：banan（a,b 为常数）an为等差数列。前 n

5、项和公式法 ：BnnAsn2（ A,B 为常数）an为等差数列。如设na是等差数列， 求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。（ 2）等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。公式变形为 :banan. 其中 a=d, b= a1d.如 1、等差数列na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；2、 首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：833d）（3）等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中 A=2d，B=21da.注意 ：已知 n

6、,d, a1,an, sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如 数列na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS，则1a，n（答：13a，10n）；（2）已知数列na的前 n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页（4）等差中项： 若,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素：1

7、a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。 （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad （ 公 差 为d）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ，3 ,3ad ad ad ad,（公差为2d）3. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数， 且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. 等差数列 an 中，nSn是 n 的一

8、次函数， 且点（n，nSn） 均在直线y =2dx + (a12d) 上（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和 .当mnpq时 , 则 有qpnmaaaa， 特 别 地 ， 当2mnp时 ， 则 有2mnpaaa. 如 1、等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n _（答： 27） ；2、在等差数列na中，10110,0aa，且1110|aa，nS是其前n项和，则A、1210,S SS都小于 0，1112,SS都大于 0B、1219,S SS都小于

9、 0，2021,SS都大于0C、125,S SS都小于 0，67,S S都大于 0D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于 0（答： B）(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),.(,*2Nmkaaamkmkk成等差 .若na、nb是等差数列， 则nka、nnkapb(k、p是非零常数 )、*(,)pnqap qN、232,nnnnnS SS SS（公差为dn2） ，也成等差数列，而naa成等比数列；若na是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页等比数列，且0na，则lgna是等差数列 . 如等差数

10、列的前n 项和为 25， 前 2n 项和为 100， 则它的前3n 和为。（答： 225）（ 5）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，)(1aannnns；ndss奇偶；aannss1奇偶. 项数为奇数21n时，annns)12(12；ass1奇偶；nnss1奇偶。如 1、在等差数列中，S1122，则6a_（答： 2） ；2、项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （ 6）单调性：设d 为等差数列an的公差，则d0an是递增数列；d0an是递减数列；d=0an是常数数列(7) 若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA

11、、nB， 且( )nnAf nB， 则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 如 设 na 与 nb 是 两 个 等 差 数 列 ， 它 们 的 前n项 和 分 别 为nS和nT， 若3413nnTSnn，那么nnba_（答：6287nn）（8） 设 al， am， an为等差数列中的三项， 且 al与 am， am与 an的项距差之比nmml=（ 1） ，则 am=1nlaa（9）在等差数列 an中， Sn= a ，Sm= b (n m)，则 Snm=mnmn(a b) 8、已知an成等差数列，求sn的最值问题：若01a,d0 且满足0,01aann,则sn最小

12、. “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中， 前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如 1、等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13 项和最大，最大值为169） ；2、若na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，

13、则使前n 项和0nS成立的最大正整数n 是（答： 4006）(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 三、等比数列1、等比数列的有关概念： 如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如 1、 一个等比数列na 共有

14、21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为_（答：56） ；2、数列na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1，若nnnaab21， 求证： 数列nb是等比数列。3、等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页如 设等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和公比q. （答：6n，12q或 2）4、等比数列的前n和： 当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如等比数列中，q2，S99=77

15、，求9963aaa（答： 44）提醒： 等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时， 首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。5、 等比中项： 如果 a、 G、 b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a与 b 的等比中项， 即 G=ab .提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数, ()a b ab的等差中项为A，等比中项为B，则 A 与 B 的大小关系为_（答： AB）提醒 ： （1）等比数列的通项公式及前n项和公式中， 涉及到 5 个元素

16、：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2个，即知3 求 2； （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q） ；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答： 15， ,9，3,1 或 0,4，8,16）6、等比数列的性质：（1）对称性： 若an是有穷数列， 则与首末两

17、项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有qpnmaaaa.，特别地， 当2mnp时，则有2.pnmaaa. 如 1 、 在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整数，则10a=_ （答：512） ；2、各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答： 10） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页(2) 若 an是公比为q 的等比数列，则| an| 、a2n、 kan 、na1 也是等比数列，其公比分别为| q | 、q2 、q 、q1

18、 。若 nnab、成等比数列，则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列，且公比1q，则数列232,nnnnnS SS SS，也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,nnnnnS SS SS，是常数数列0，它不是等比数列.若an是等比数列，且各项均为正数，则analog成等差数列。若项数为 3n 的等比数列 (q 1) 前 n 项和与前n 项积分别为S1与 T1，次 n 项和与次n 项积分别为 S2与 T2，最后 n 项和与 n 项积分别为S3与 T3，则 S1，S2，S3成等比数列， T1，T2，T3亦成等比数列如1、 已 知0a且1a， 设 数 列nx满 足1l og1l

19、ogananxx(* )nN， 且121 0 0100 xxx，则101102200 xxx. （答：100100a） ；2、在等比数列na中，nS为其前 n 项和， 若140,1330101030SSSS，则20S的值为 _（答： 40）(3)单调性： 若10,1aq，或10,01aq则na为递增数列；若10,1aq,或10,01aq则na为递减数列； 若0q，则na为摆动数列； 若1q，则na为常数列 . (4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列na是否为等比数列。 如若na是等比数列，且3

20、nnSr，则r（答： 1）(5) mnm nmnnmSSq SSq S. 如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSS S成等差数列，则q的值为 _（答： 2）(6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页(7)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如 设数列na的前n项和为nS（Nn） ，关于数列na有下列三个命题：若)(1

21、Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列； 若nnS11，则na是等比数列。 这些命题中， 真命题的序号是（答：）等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；四、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差 ( 比) 数列的定义中有两个要点：一是“从第2 项起” ，二是“每一项与它前一项的差 ( 比) 等于同一个常数” 这里的“从第2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至

22、少含有3 项所以，一个数列是等差( 比) 数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3 项3数列的表示方法应注意的两个问题： an 与 an是不同的，前者表示数列a1，a2， an，而后者仅表示这个数列的第n 项；数列a1，a2， an，与集合 a1，a2， an， 不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设，aq2， aq1， a ，aq，aq2，；对连续偶数个项同号的等比数列， 若已知其积为S， 则通常设，

23、 aq3， aq1， aq ， aq3， 5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意 an0，因为当an= 0 时，虽有a2n= a1n a1n成立，但 an 不是等比数列，即“b2= a c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列an ， “2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清6由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0” 等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和 q1 进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页