2022年高中数学新课标人教A版必修五正弦定理余弦定理综合应用,解三角形经典例题试题 .pdf

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1、课程目标掌握解三角形的题型课程重点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形课程难点正弦定理余弦定理综合应用教学方法建议在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练。复习与总结同时进行，逐步掌握解三角形的方法。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 3 ）道（ 2 ）道（ 5 ）道B类（ 5 ）道（ 4 ）道（10 ）道C类（ 3 ）道（ 3 ）道（ 5 ）道一、知识梳理1内角和定理：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页在ABC中，ABC；sin()ABsinC；co

2、s()ABcosC面积公式 :111sinsinsin222ABCSabCbcAacB在三角形中大边对大角，反之亦然. 2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：RCcBbAa2sinsinsin(解三角形的重要工具) 形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2(边角转化的重要工具) 形式三：:sin:sin:sina b cABC形式四：sin,sin,sin222abcABCRRR3.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 . 形式一：2222cosabcbcA2222cosbcacaB(解三角形的重要

3、工具) 2222coscababC形式二：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab二、方法归纳 (1)已知两角 A、B 与一边a, 由 A+B+C=及sinsinsinabcABC，可求出角C，再求b、c. (2)已知两边b、c与其夹角 A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页 (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，

4、求出另一边b的对角 B，由C=-( A+B) ，求出c，再由sinsinacAC求出 C，而通过sinsinabAB求 B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A 90A=90A b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解aabsinA 有两解ab有一解ab有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例 1】在ABC中，若5b，4B,1sin3A，则a.5 23【例 2】在 ABC中，已知a=3,b=2,B=45 , 求 A、C和c. 【解析】B=45 90且asinB ba, ABC有两解 . 由正弦定理得sinA=bBasin=24

5、5sin3 =23, 则 A为 60或 120. 当 A=60时， C=180-(A+B)=75 , c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226. 当 A=120时， C=180-(A+B)=15 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226. 故在 ABC中， A=60,C=75,c=226或A=120,C=15, c=226. 【思考 】 从所得到式子看， 为什么会有两解： sinA =2

6、3, 在(0,)上显然有两个解。sinyx在(0,)上的值域为（0,1】 ，s i n1 x在(0,)只有2x一解。【适时导练】1. （ 1） ABC中，a=8,B=60,C=75, 求b; （ 2） ABC中， B=30, b=4,c=8, 求 C、A、a. 【解析】（ 1）由正弦定理得BbAasinsin. B=60,C=75, A=45, b=45sin60sin8sinsinABa=46. （ 2）由正弦定理得sinC=430sin8sinbBc=1. 又 30 C150, C=90. A=180 -(B+C)=60 , a=22bc=43. 问题二：利用余弦定理解三角形【例 3】设A

7、BC的内角CBA、所对的边分别为cba、. 已知1a，2b，41cosC. （）求ABC的周长；（）求CAcos的值 .【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】（）441441cos2222Cabbac2cABC的周长为5221cba.（）41cosC，415411cos1sin22CC，8152415sinsincCaA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页ca，CA, 故A为锐角，878151sin1cos22AACAcosCACAsinsincoscos16114158

8、154187. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscos cossinsincos2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令【例 4】 （2010 重庆文数）设ABC的内角 A、B、 C的对边长分别为a、b、c, 且 32b+32c-32a=42 bc . ( ) 求 sinA 的值；( ) 求2sin()sin()441 cos2ABCA的值 . 【适时导练】精选学习资料 - - - - - -

9、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页2 在 ABC中，a、b、c分别是角A， B，C的对边，且CBcoscos=-cab2. （1）求角 B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求 ABC的面积 . 【解析】（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，cosC=abcba2222. 将上式代入CBcoscos=-cab2得: acbca22222222cbaab=-cab2整理得 : a2+c2-b2=-a c cosB=acbca2222=acac2 =-21 B为三角形的内角，B=32. （2）将b=13,a+c=4,B=32代入b2=a2+c

10、2-2a ccosB, 得b2=(a+c)2-2a c-2a ccosB b2=16-2a c211, a c=3. SABC=21a csinB=433. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 （2011 山东文数）在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c已知cosA-2cosC2c-a=cosBb（I）求sinsinCA的值；（II）若 cosB=14，ABC的周长为5，求b的长。【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。【解析】（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkB

11、B所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2 .ca由余弦定得及1cos4B得22222222cos14444.bacacBaaaa所以2 .ba又5,abc从而1,a因此 b=2。【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例 6】 （2009 全国卷理） 在AB

12、C中，内角 A、 B、 C的对边长分别为a、b、c， 已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b【解题思路】对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的, 可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) sincos3cossin,ACAC化角化边都可以。【解析】解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb. 又由已知222acb24bb. 解得40(bb或舍）.解法二 : 由余弦定理得 : 2222cosacbbcA. 又222acb,0b. 所以2 cos2b

13、cA又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页sin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4 cosbcA由，解得4b. 【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。【适时导练】3 在 ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，且8 sin22BC 2 cos 2A7（1）求角 A 的大小；（2）若 a3，bc3，求 b 和 c

14、 的值解:（1）ABC180，2BC902Asin2BCcos2A由 8sin22BC2cos2A7，得 8cos22A2cos2A7 4( 1cos A) 2( 2 cos2A1) 7，即( 2cosA1)20 cosA12 0 A180，A60（2）a3， A60，由余弦定理知a2b2 c22bc cosA， 3b2c2bc( bc)23bc9 3bc bc2又 bc3， b1，c 2 或 b 2，c1问题四：三角恒等变形【例 7】 （08 重庆）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为a,b,c，且 A=60，c=3b.求：（）ac的值；（） cotB +cot C 的值 . 【解题思路】

15、求ac的值需要消去角和;b三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页【解析】（）由余弦定理得Abccbacos2222222972131231ccccc故7.3ac（）解法一：cotcotBCcossincossinsinsinBCCBBCsin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（）的结论得227sin121414 39.1sinsinsin933 33cAaBCA bcc c故143cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（）的结论有725372)31(9

16、72cos222222cccccacbcaB故2253sin1cos1.282 7BB同理可得7213137291972cos222222cccccabcbaC213 3sin1cos1.282 7CC从而coscos5114 3cotcot33.sinsin399BCBCBC【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名

17、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页【适时导练】4. （ 2009 江西卷理）ABC中，,A B C所对的边分别为, ,a b c，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC. （ 1）求,A C；（ 2）若33ABCS, 求,a c.【解析】 (1) 因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC. 所以CABC, 或()CAB

18、C(不成立 ). 即2CAB, 得3C，所以 .23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC, 即2322ac，得2 2,2 3.ac问题五：判断三角形形状【例 8】 在 ABC中，在ABC中，a,b,c分别是角 A、 B、 C 所对的边， bcosAacosB， 试判断ABC三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理【解析】方法1：利用

19、余弦定理将角化为边. bcosAacosB 22222222bcaacbbabcac222222bcaacb22abab故此三角形是等腰三角形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页方法 2：利用正弦定理将边转化为角. bcosAacosB又 b2RsinB ，a 2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosBsinAcosB cosAsinB 0 sin（AB） 0 0A，B ， ABAB0，即 AB 故三角形是等腰三角形. 【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一

20、些变形公式 . 【例 9】 . 在 ABC中，在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若cosAcosBba，试判断ABC三角形的形状. 【解析】：方法 1：利用余弦定理将角化为边由已知cosAcosBba及正弦定理得cosAcosBsinBsinAsin2A=sin2B 2A2B或 2A2B ，即 AB或 A B2，故 ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法 2：利用正弦定理将边转化为角. acosAbcosB 22222222bcaacbabbcac22222()()0ababca=b 或者2220abc故 ABC为等腰三角形或直角三角形. 【适时导练】5. 在 ABC 中，若

21、2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【解析】 2sinAcosB sin（AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC，sin（AB） 0， AB 6.在 ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果 （a2+b2） sin （A- B）= （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 【解析】 方法一已知等式可化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页a2sin（A- B）- sin（A +B）

22、=b2- sin（A+B）- sin( A -B) 2a2cosAsinB =2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB =sin2BcosBsinAsinAsinB ( sinAcosA - sinBcosB)=0 sin2A=sin2B, 由 0 2A,2 B2得 2A =2B 或 2A =-2 B, 即 A=B 或 A=2- B, ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a2cosAsinB =2b2sinAcosB由正、余弦定理, 可得a2bbcacb2222= b2aacbca2222a2( b2+c2-a2)= b2(a2+c2- b2)

23、即(a2-b2)( a2+b2- c2)=0 a=b或a2+b2=c2 ABC 为等腰或直角三角形. 问题六：与其他知识综合【例 10】已知向量(, ),(,),0ac bac ba 且mnm n，其中 A，B，C是 ABC的内角，a,b,c 分别是角 A，B，C的对边 . （ 1）求角 C的大小；（ 2）求sinsinAB的取值范围 . 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【解析】（1）由0m n得222()()()0ac acb baabcab由余弦定理得2221cos222abcabCabab0C3C（ 2）3C23AB222sinsinsinsin()sinsincosc

24、ossin333ABAAAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页3331sincos3(sincos)2222AAAA3sin()6A203A 5666A1sin()126A33 sin()326A即3sinsin32AB. 【思考】坐标运算：设1122(,),(,)ax ybxy，则：向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxy。平面向量数量积：1212a bx xy y=cosa b【适时导练】7（2009 浙江文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b

25、c，且满足2 5cos25A，3AB AC（ I ）求ABC的面积；（II ）若1c，求a的值【解析】（）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA， 而353c o s.bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（）由（）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba问题 7：三角实际应用【例11】要测量对岸A、 B 两点之间的距离，选取相距3km 的C、 D 两点，并测得ACB =75， BCD=45， ADC =30， ADB =45，求 A、B 之间的距离 . 【解题思路】找到三角形

26、，利用正弦定理和余弦定理。【解析】如图所示在ACD 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页 ACD =120， CAD =ADC =30， AC=CD=3km. 在 BCD 中， BCD=45， BDC=75， CBD=60. BC=60sin75sin3=226. ABC 中，由余弦定理，得AB2=2）3（+2）226（-2 3226cos75=3+2+3-3=5， AB=5( km). A、B 之间的距离为5km. 【例 12】 （2007 山东）如图 , 甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行, 乙船按

27、固定方向匀速直线航行, 当甲船位于1A处时 , 乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处, 此时两船相距20 海里 . 当甲船航行 20 分钟到达2A处时 , 乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处 , 此时两船相距102海里 , 问乙船每小时航行多少海里? 【解析】如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=102，A1A2=2106020230， A1A2=A2B2，又 A1A2B2=180 -120 =60 A1A2B2是等边三角形， A1B2=A1A2=102.由已知， A1B1=20， B1A1B2=105-60 =45，在 A1B2B1中，由余弦定理，221BB= A1B12+ A1B

28、22- A1B1A1B2cos45=202+(102)2-2 2010222=200. B1B2=102.因此，乙船的速度的大小为2021060=230（海里 /小时） .答乙船每小时航行230海里 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页【思考】正弦定理和余弦定理所需条件。【适时导练】8. 如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B点和 D点的仰角分别为075，030，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为060，AC 0.1km。试探究图中B

29、，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414 ，62.449 ）【解析】在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CD AC 0.1 又BCD180 60 60 60，故 CB是CAD底边 AD的中垂线，所以BD BA 5分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即 AB 2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故 B、D的距离约为0.33km。9 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B，C三点进行测量， 已知50ABm，120BCm，于 A处测得水深80ADm，于 B处测得水深200

30、BEm，于 C处测得水深110CFm，求DEF的余弦值。【解析】作/DMAC交BE于N，交CF于M22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN，2222()90120150EFBEFCBC在DEF中，由余弦定理，2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF. 课后自我检测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页A 组1. 已知ABC中，12cot5A，则cos A ( ) 【答案】12132. 在ABC中。若1b，3c，23c，则 a

31、= 。【答案】 1 3. 已知a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B, 则sinC= . 【答案】 1【解析】 由A+C=2B及A+B+ C=180知，B=60由正弦定理知，13sinsin60A， 即1s in2A由ab知，60AB，则30A，180180306090CAB，sinsin901C3. 在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cosB= A 2 23 B 2 23 C 63 D 63【答案】 D 【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sin B解得3sin3B，又因为ba，则BA，故 B为锐角，所以2

32、6cos1sin3BB，故 D正确 . 4某人朝正东方向走x千米后，向右转o150并走 3 千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为（）A3B32C3或32D3 【答案】 C5. （ 2008 福建 ) 在ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB=3ac, 则角B的值为（）A.6 B.3 C.6或56 D.3或23【答案】 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页6已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I ）求边AB的长；（II ）若ABC的面积为1sin

33、6C，求角C的度数【解析】（I ）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB（II ）由ABC的面积,sin61sin21CCACBC，得31ACBC，由余弦定理，得cosC=BCACABBCAC2222=2122)(22BCACABBCACBCAC，所以60C7在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足sin3 cosbAaB（I）求角B的值；（II）若2 5cos25A， 求sinC的值【解析】（I）由正弦定理得BAABcossin3sinsin，0sin A因为，即3tanB，由于B0，所以3B（II）5312cos2cos2AA，因为0si

34、n A，故54sin A，所以10334cos23sin213sinsinAAAC8 在ABC中，cba,分别为内角CBA,的对边，且1sinsin4)cos(2CBCB（）求A；（）若3a，312sinB，求b【解析】（）由1sinsin4)cos(2CBCB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页A B C D 得1sinsin4)sinsincos(cos2CBCBCB，即1)sinsincos(cos2CBCB从而1)cos(2CB，得21)cos(CB32CB, 故3A（）由312sinB，得3222cos

35、B，9242cos2sin2sinBBBAaBbsinsin，233924b，解得968b课后自我检测B 组1. 若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则ABC（）（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】 C 【解析】由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角2 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度 ,在 C点测得塔顶A 的仰角是45 ,在 D 点测得塔顶A的仰角是 30

36、,并测得水平面上的BCD=120 ,CD =40m,则电视塔的高度为（）A102m B20m C203m D40m 【答案】D 【解析】本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125知 A为钝角， cosA0 排精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页除 A和 B，再由1312cos1cossin,512sincoscot22AAAAAA求得和. 3. （ 2010 天津理）在ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A= （）（A）030（B）060（C

37、）0120（D）0150【答案】 A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得2 32 322cbcbRR，所以 cosA=2222+c -a322bbccbcbc=32 3322bcbcbc，所以 A=300 4.(2008湖北 )在ABC中，三个角,A B C的对边边长分别为3,4,6abc, 则coscoscosbcAcaBabC的值为 . 【答案】6125. 在ABC中，角,A B C的对边分别为, , ,3a b c B，4cos,35Ab。（）求sin C的值；（）求ABC的面积 . 【解题思路 】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公

38、式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力【解析 】 （） A、B、C为 ABC的内角，且4,cos35BA，23,sin35CAA，23134 3sinsincossin32210CAAA. （）由（）知334 3sin,sin510AC，又,33Bb，在 ABC中，由正弦定理，得sin6sin5bAaB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页 ABC的面积11634 3369 3sin32251050SabC6. 在ABC中，ACACBCsin2sin, 3,5（）求AB的值。（）求)42sin(A的

39、值。【解析】 （1）在ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin，于是522sinsinBCABCCAB（2）在ABC中，根据余弦定理，得ACABBCACABA2cos222于是AA2cos1sin=55，从而53sincos2cos,54cossin22sin22AAAAAA1024sin2cos4cos2sin)42sin(AAA7.在 ABC中，已知B=45,D 是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的长 . 【解析】在 ADC中， AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos2222ADDCACAD DC=1003619612 1062, ADC

40、=120 , ADB=60 在 ABD中， AD=10, B=45, ADB=60 ，由正弦定理得sinsinABADADBB, AB=310sin10sin 6025 6sinsin4522ADADBB. 8.设ABC的内角CBA,所对的边分别为,cba且bcCa21cos. （1）求角A的大小；（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页【解析】（1）由bcCa21cos得1sincossinsin2ACCB又sinsinsincoscossinBACACAC1sincos

41、sin2CAC，0sinC，21cos A，又0A3A（2）由正弦定理得：BABabsin32sinsin,Ccsin32221sinsin1sinsin33labcBCBAB3112sincos22BB6sin21B,3A20,3B65,66B1sin,162B故ABC的周长l的取值范围为2,3.（2）另解：周长l1abcbc由（ 1）及余弦定理2222cosabcbcA221bcbc22()1313()2bcbcbc2bc又12bcalabc即ABC的周长l的取值范围为2,3.【能力提高】1.（天津市河东区2009 年高三一模）如图所示，在ABC，已知4 63AB,6cos6B，AC边上的

42、中线5BD, 求： （1）BC的长度；（2）sin A的值。【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页2.在ABC中，a b c、分别为角A B C、的对边，且满足222bcabc. （）求角A的值；（）若3a，设角B的大小为, xABC的周长为y，求( )yf x的最大值 .【解析】（）在ABC中，由222bcabc及余弦定理得2221cos22bcaAbc而0A，则3A；（）由3,3aA及正弦定理得32sinsinsin32bcaBCA，而2,3Bx Cx，则222sin,2sin()(0)33bx cxx于

43、是232sin2sin()2 3sin()336yabcxxx，由203x得5666x，当62x即3x时，max3 3y3 已知ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量),3(babcm，),33(cban，nm/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页(1)求Acos的值；(2)求)302sin(A的值【解析】 (1)因为nm/，所以cbababc333，得bccba31222又因 为612cos222bcacbA（2）由61cosA及),0(A，得635sin A，所以1835cossin22si

44、nAAA，18171cos22cos2AA，36171052cos212sin23)302sin(AAA4. ( 山东省青岛市2011 年 3 月高考第一次模拟文科)已知向量1(sin, 1),(3 cos ,)2axbx,函数( )()2f xaba.()求函数( )f x的最小正周期T; ()已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边 , 其中A为锐角 ,2 3,4ac,且()1f A,求,A b和ABC的面积S. 【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页