2022年思法数学初升高衔接讲义第7讲一元二次不等式 .pdf

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1、第 7 讲一元二次不等式一【学习目标】1. 掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。2. 掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二【知识梳理】1. 一元二次不等式的定义：象250 xx这样， 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式2. 一元二次不等式的一般式：任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 ， 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 ：20axbxc， 或20a xb xc(0 )a称为一元二次不等式的一般式. 3. 探讨一元二次不等式的解法：怎样求不等式250 xx的解集呢？画出二次函数25yxx 的图象，如图

2、：观察函数图象，可知：不等式250 xx的解集是| 05xx. 一 般 地 ， 怎 样 确 定 一 元 二 次 不 等 式20axbxc与20axbxc的解集呢？（ 1）抛物线与x 轴的相关位置的情况，分为三种情况，这可以由一元二次方程20axbxc的判别式24bac 三种取值情况 (0，0，0）来确定也就是一元二次方程20axbxc的根的情况；（2）抛物线2yaxbxc的开口方向，也就是a 的符号（对一元二次不等式，0a可以转化为0a）总结讨论结果：0a，分0，0，0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc(0)a的解集4. 三个二次的关系表（0a）：二次函数2yaxbxc

3、(0)a的图象一元二次方程20axbxc有两相异实根1212, ()xxxx有两相等实根122bxxa无实根20axbxc(0)a的解集12x xxxx或2bx xaR 20axbxc(0)a的解集12x xxx24bac000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页5. 解一元二次不等式的步骤：一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步：化二次项的系数为正数；第二步：求解相应的一元二次方程的根；第三步：根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集点拨：（ 1）数形结合，不要死记；（2）开口方向，根的情况解集三【典例精

4、析】例 1. 解下列不等式：（1）22320 xx；（2） x2+2x30；（3）x24x+4 0. 解： （1）原不等式等价于2x2-3x-20 ，原不等式的解集是1,2,2. （2）原不等式等价于:x2-2x+30 由 0，知原不等式解集为. （3）= 0，方程 x24x+4=0 有等根122xx，原不等式的解集为x|x R，且 x 2 。点拨： 1. 要严格按“解法步骤”求解。2. 最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为,22,，但有的同学把第（3）题的解集表为 x2，这是错误的。例 2. 解不等式21210 xx

5、xx. 解： 对一切 xR 恒有 x2+x+10，原不等式等价于(1+x)(2-x)0 120 xx1x2. 原不等式的解集为（1，2）. 例 3. 设全集为R，已知231Ax x xxx，求RAe。解：231x xxx2210 xx112x. 故1,12A. 1,1,2RAe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页例 4. 解关于 x 的不等式x2ax2a20. 点拨： 解答本题通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解解： 方程 x2ax 2a20 的判别式 a28a29a20，得方程两根x12a，x2 a. (1)

6、若 a0，则 ax 2a，此时不等式的解集为x| ax 2a；(2) 若 a0，则 2ax a，此时不等式的解集为x|2a x a ；(3) 若 a0，则原不等式即为x20，此时解集为?. 综上所述，原不等式的解集为当 a0 时， x| ax2a ；当 a0 时， x|2a x a；当 a0 时，?. 例 5. 若不等式ax2bx c0 的解集为 x|3x 4，求不等式bx22axc3b0 的解集点拨： 根据已知的解集和有关一元二次不等式的解集结论逆向推出a，b，c满足的关系，进而求解另一不等式解： ax2bxc0 的解集为 x|3x 4， a0 且 3 和 4 是方程 ax2bxc0 的两根

7、，由根与系数的关系得34ba，34ca，即b a，c 12a，不等式bx22axc 3b0 可化为 ax2 2ax15a0，即 x22x150，故所求的不等式的解集为x|3x5例 6. 已知2320Ax xx，210Bx xaxa。（1）若BA，求a的取值范围；（2）若 AB 是单元素集合，求a取值范围。点拨： 先解不等式化简集合A和 B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值范围。解： 易得 A=1， 2 ；而10Bxxxa。（1）若BA，利用数轴，得a的取值范围是1,2；（2）若 AB 是单元素集合，利用数轴，AB只能是集合 1. a的取值范围是,1。精选学习资料 - - - - - -

8、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页四【过关精练】一、选择题：1已知ab，cd，且a，b，c，d均不为 0，那么下列不等式成立的是（）Aacbd Badbc Cacbd Dacbd2给出下列命题：abac2bc2；aba2b2；aba3b3；aba4b4，其中正确的命题是（）A B C D3集合 A xx216，集合B xx2x 60，则 AB（）A 3，4） B （ 4， 2 C（ 4， 2 3，4） D 2， 34若不等式ax2 bx2 0 的解集为 x 2x14,则 a， b 的值分别是（）Aa 8，b 10 Ba 1，b9 Ca 4，b 9 Da

9、 1，b2 5不等式 x2ax40 的解集为空集，则a 的取值范围是（）A 4，4 B（ 4，4）C（，4 4，） D（，4）（ 4，）二、填空题：6不等式 1 620 的解集为7不等式（ a2）x22（a 2）x40，对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是8设实数a，b， c 满足bc64a3a2，c b44aa2，则a，b，c 的大小关系是三、解答题：9已知集合A xx2 3x100，集合 B xp1x2p1，若 BA，求实数 P的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页10 若实数 a0，解关于x 的二

10、次不等式（x2）（ ax2） 011. 不等式（ a2-1）x2-(a-1)x-10的解集为R，求 a 的取值范围。12. 已知全集U=R ，A=x|x2-x-60,C=x|x2-4ax+3a0, 若 ABC，求实数 a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页第 7 讲 参考答案一、选择题：1. D；2. B；3. C；4. C；5. A. 二、填空题：6x1312； 7（ 2，2；8cba提示： cb44aa2（ 2a）20， cb2b（ bc）（ cb） 2a22， ba21b aa2a1（ a12）23

11、40， ba故 cba三、解答题：9解： 由 x23x100，得 2x5， A 2，5若 B ，则 BA，这时 p12p1，即 p2若 B ，则p12p1p1 22p15 2 p3综上可知， P 的取值范围是p310 解： 方程（ x2）（ ax2） 0 的两根为2 和a2, （1）当 a0 时， 22a，原不等式的解集为x2ax2（2）当 0a1 时， 22a，原不等式的解集为xx2 或 x2a（3）当 a1 时，原不等式变为（x2）20，解集为 xx2 且 xR（4）当 a1 时， 22a，原不等式的解集为xx2a或 a2综上所述，原不等式的解集当 a0 时，为 x2ax 2；当 a1 时，为 x x2 或 x2a；当 a1 时，为 xx2 且 xR；当 a1 时，为 x x2a或 a 211. 解： 当 a2-1=0 时，只有a=1, 才有 xR.当 a2- 10 时，由 a2-10 及（a-1 ）2+4(a2-1)=5a2-2a-30 得315a，综上所述：3,15a. 12. 解： A=(-2,3),B=(,-4)(2,+ ),A B=(2,3),C=x|(x-a)(x-3a)0, 当 a0 时， C=(a,3a),由 ABC得：1,2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页