2022年高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用 2.pdf

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1、题目高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用高考要求三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧重难点归纳(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3) 能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合， 通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页典型题例示范讲解例 1 在海岛 A 上有一座海拔1 千米的山，山顶设有一个

2、观察站P，上午 11 时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛北60西、俯角为 60的 C 处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力知识依托主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系错 解 分 析考 生 对 方 位角 识 别 不 准 ， 计算 易 出错西DCB北AP东精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

3、，共 23 页技巧与方法主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题解(1) 在Rt PAB 中 ， APB=60 PA=1， AB=(千米 ) 在 RtPAC 中， APC=30， AC=(千米 ) 在 ACB 中， CAB=30+60=90(2)DAC=90 60=30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页sinDCA=sin(180 ACB)=sinACB=sinCDA=sin( ACB 30 )=sinACB cos30 cosACB sin30 在 ACD 中，据正弦定理得，答此时船距岛A 为千米例2

4、已 知 ABC的 三 内 角A 、 B 、 C满 足A+C=2B ， 设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页x=cos，f(x)=cosB()(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域命题意图本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力， 并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力知识依托主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共

5、 23 页错解分析考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题技巧与方法本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式在求定义域时要注意|的范围解(1)A+C=2B， B=60， A+C=120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页 0 | 60 ， x=cos(，1又4x2 3 0， x，定义域为(，)(，1(2)设 x1x2，f(x2) f(x1)=，若 x1，x2()，则 4x1230，4x223 0，4x1x2+30，x1x2

6、0， f(x2) f(x1)0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页即 f(x2)f(x1)， 若 x1， x2(， 1 ， 则 4x12304x2230，4x1x2+30，x1x20， f(x2)f(x1)0即f(x2) f(x1) ， f(x) 在 (,) 和(，1上都是减函数(3) 由 (2) 知 ， f(x) f()= 或f(x) f(1)=2故f(x) 的 值 域 为 ( ， ) 2 ， + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页例

7、 3 已知 ABC 的三个内角A、B、C 满足 A+C=2B，求 cos的值解法一由题设条件知B=60， A+C=120设 =，则 AC=2，可得 A=60+，C=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页依题设条件有整理得 4cos2 +2cos 3=0(M) (2cos)(2cos +3)=0，2cos+30，2cos=0从而得cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页解法二由题设条件知B=60， A+C=120，把式化为cosA+

8、cosC=2cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，式可化为，将cos=cos60 =，cos(A+C)= 代入式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页将 cos(AC)=2cos2() 1 代入4cos2()+2cos3=0，(*) ，学生巩固练习1给 出 四 个 命 题(1) 若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页sin2A=sin2B，则 ABC 为等腰三角形；(2)若 sinA=cosB，则 ABC 为直角三角形； (3)

9、若 sin2A+sin2B+sin2C2，则 ABC 为钝角三角形；(4)若 cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则 ABC 为正三角形以上正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 2在 ABC 中，已知A、 B、 C 成等差数列，则的值为 _3在 ABC 中， A 为最小角，C 为最大角，已知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_4已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积5如右图，在

10、半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯， 桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即I=k，其中k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？6在 ABC 中， a、b、c分别为角A、B、C 的对边，hRr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页(1)求角 A的度数；(2)若 a=， b+c=3，求 b 和 c 的值7在 ABC 中，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 a、b、3c 成等比数列， 又A C

11、=，试求 A、B、C 的值8在正三角形ABC 的边 AB、 AC 上分别取D、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使 AD 最小，求ADAB 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页参考答案1解析其中 (3）(4）正确答案B 2解析A+B+C =，A+C= 2B，答案3解析 A 为最小角 2A+C=A+A+C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页A+B+C =180cos(2A+C)=，si

12、n(2A+C )=C 为最大角，B 为锐角，又sinB=故cosB=即 sin(A+C )=，cos(A+C)=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页cos(B+C )=cosA=cos(2A+C )(A+C )=，cos2(B+C )=2cos2(B+C)1=答案4解如图连结 BD，则有四边形ABCD 的面积S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCD sinCA+C=180， sinA=sinCBADOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，

13、共 23 页故 S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理， 在 ABD 中，BD2=AB2+AD22AB AD cosA=2016cosA在 CDB 中， BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC， cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0 A 180 ，A=120故S=16sin120=85解R=rcos，由此得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页7解由a、 b、 3c 成 等 比 数 列 ， 得b2=

14、3acsin2B=3sinCsinA=3() cos(A+C)cos(AC)B=(A+C )sin2(A+C )=cos(A+C )cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页即1 cos2(A+C )= cos(A+C) ， 解 得cos(A+C )= 0 A+C ， A+C =又AC= A= ， B=，C=8解按题意，设折叠后A 点落在边BC上改称 P 点，显然 A、P 两点关于折线DE 对称，又设 BAP=， DPA=， BDP=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页再设 AB=a， AD=x， DP=x在 ABC 中，APB=180 ABP BAP=120 由 正 弦 定 理 知BP=在 PBD 中，, 0 60， 60 60+2180，当 60+2 =90，即 =15时，sin(60+2 )=1，此时 x 取得最小值a，即 AD 最小，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页ADDB=23课前后备注精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页