2022年高考函数知识点总结 2.pdf

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1、高考函数知识点总结函数（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6会运用函数图像理解和研究函数的性质. （二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念，会

2、求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题. 3知道对数函数是一类重要的函数模型. 4了解指数函数与对数函数互为反函数（） 。（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. （六）函数模型及其应用1

3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。函数概念（一）知识梳理1映射的概念设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到 B 的映射，通常记为，f 表示对应法则注意： A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

4、 - - - - -第 1 页，共 23 页不一定唯一。2函数的概念(1)函数的定义：设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的每一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到 B 的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数

5、关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （1），；*2（ 2），；（3），R ，上述三个对应是 A 到 B 的映射例 2若，a,b,c ，则 A 到 B 的映射有个，B 到 A 的映射有个， A 到 B 的函数有个例 3设集合，如果从M 到 N 的映射 f 满足条件：对M中的每个元素x 与它在 N 中的象 f(x)的和都为奇数，则映射f 的个数是（）(A)8 个(B)12 个(C)16 个(D)18 个答案： 1.（2） ；281,64,81；3. D

6、考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）（2），； x x，（3），（nN） ； * （4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页，； 2（5），答案 （1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数考点 3：求函数解析式方法总结：（ 1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数fg(x) 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 题型 1：由复合函数的解析式求原

7、来函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足，求 f(x) （三种方法）2 例 2 （09 湖北改编）已知f(，则 f(x) 的解析式可取为题型 2：求抽象函数解析式例 1已知函数f(x) 满足，求 f(x) 考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中， 底数不等于0； 负分数指数幂中， 底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意

8、义，而且注意： 研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1.（08 年湖北）函数的定义域为 ( ) x ；答案： D 题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （2007 湖北）设，则的定义域为（）； D. 答案： B. 例 2已知函数的定义域为 a， b，求的定义域例 3已知的定义域是 a，b，求函数的定义域例 4已知的定义域是（-2，0） ，求的定义域 (-3<x<-1) 考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型 ” 的函数常用配方法，如求函数，可变为2解决（2）基本函数法： 一些由基本函数复

9、合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。222222 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页（4）分离常数法：常用来求“ 分式型 ” 函数的值域。如求函数（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域，因为的值域42（ 6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（ 48） 32 m， （m>

10、;0 ）的函数， m<0 就是单调函数了x 4 三种模型： （1） 如， 求 （1） 单调区间 （2） x 的范围 3,5 ， 求值域（ 3）-求值域x（9）对勾函数法像 y=x+ （2）如求（ 1）3,7上的值域（2）单调递增区间（或），1 ， （1）求 -1,1上的值域（2）求单调递增区间（ 3）如函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数的定义域为A，区间，如果对于区间I 象和单调性在解题中的运用：增区间为（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若 f(x) 与 g(x)在定义域内都是增函数（减

11、函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数） 。3、单调性的说明：（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x1，x2 有三个特征： 一是任意性； 二是大小， 即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；1 分别在和内 x 1 都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递x（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数减区间为和。4、函数的最大（小）值设函数的定义域为A，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称f(x0) 为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒

12、成立，那么称 f(x0) 为的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 （1）求函数y的单调区间；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页（2）已知若试确定 g(x)的单调区间和单调性解： （1）单调增区间为：单调减区间为，（2），令，得或，令，或单调增区间为；单调减区间为例 2. 判断函数在定义域上的单调性解：函数的定义域为x|x -1 或则可分解成两个简单函数-1 的形式 .当 x1时， u(x)为增函数， u(x) 为增函数f（x）在 1，+) 上为增函数 .当 x -1 时，

13、u（x)为减函数， (x)为减函数，在（ -, -1上为减函数题型 2：研究抽象函数的单调性例1已知函数f(x) 的定义域是的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）求证： f(x) 是偶函数；（2）f(x) 在上是增函数；（3）解不等式 解：（ 1）令，得，令，得， f(x) 是偶函数（2）设，则2 ，即，f(x) 在上是增函数（3），f(x) 是偶函数不等式可化为，222 又函数在上是增函数，4，解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页即不等式的解集为 22 题型 3：函数的单调性的应用例 1若

14、函数在区间（ ，4 上是减函数，那么实数a 的取值范围是_(答： 2 ）)；例 2已知函数在区间上为增函数，则实数a 的取值范围 _（答：） ；考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法： （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得） 。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值例 1

15、 （2007 上海）已知函数当时，求函数 f(x) 的最小值。x2 解析 当时，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。 2 题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围例 2 （2008 广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数a的 x 取值范围。解析在区间上恒成立；在区间上恒成立； x 在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3，即函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x) 的定义域判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|； （2）f（x）=（x1）；精选学习资料 - - - - - - -

16、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页（3）； （4）题型 2：证明抽象函数的奇偶性例 1 .(09 年山东 )定义在区间(上的函数f (x)满足：对任意的，都有求证 f (x) 为奇函数；解析 令 x = y = 0 ，则令 x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f ( x) = f ( f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数(0) = 0 例 2 （1）函数 f(x) ，若对于任意实数a,b，都有，求证： f(x)为奇函数。（2）设函数f(x) 定义在上，证明是偶函数，是奇函数。考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已

17、知奇函数f(x) 是定义在上的减函数，若，求实数m 的取值范围。解析是定义在上奇函数对任意有由条件得是定义在上减函数，解得实数 m 的取值范围是例 2设函数 f(x) 对于任意的，都有，且时（1）求证 f(x)是奇函数；（2）试问当时， f(x) 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例 3设函数f(x) 是定义在R 上的偶函数，并在区间(,0) 内单调递增，f(2a+a+1)<f(3a2a+1).求 a 的取 22 的单调递减区间. 2 解析 设 0<x1<x2,则 x2< x1<0 ， f(x) 在区间 ( ,0) 内单调递增，f(x2)<f

18、( x1), f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)<f(x1).f(x) 在(0，+) 内单调递减 . 1712 又2222 由 f(2a+a+1)<f(3a 2a+1)得： 2a+a+1>3a2a+1.解之，得 0<a<3. 值范围，并在该范围内求函数y=( 又 a3a+1=(a函数 y=(2325) 的单调减区间是323 结合 0<a<3, 得函数的单调递减区间为，3). 22 函数的周期性（一）知识梳理1函数的周期性的定义：对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域则 T=|b-a|；函数

19、f(x) 满足， 则 f(x) 是周期为 2a的周期函数； 若恒成立，则；若恒成立，则（二）考点分析考点 2 函数的周期性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页例 1设函数f(x) 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用例 1 . （09 年江苏题改编） 定义在 R 上的偶函数f(x)满足对于恒成立，且，则。 3232 解析 由得到，从而得，可见 f(x) 是以 4 为周期的函数， f(x) 从而，又由已知等式得又由 f(x

20、) 是 R 上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以例 2已知函数f(x) 的定义域为R，且满足（1）求证： f(x) 是周期函数；（2）若 f(x) 为奇函数，且当时，求使在上的所有x 的个数。22 2.5 二次函数（一）知识梳理1二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式： f(x)=ax2+bx+c(a 0)。(2)顶点式（配方式） ：f(x)=a(x-h)2+k其中 (h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解） ： f(x)=a(x-x1)(x-x2), 其中 x1,x2 是抛物线与x 轴两交点的坐标。二次函数f(x)=ax+bx+c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐

21、标（1）a>0 时，抛物线开口向上，函数在时， 上单调递减，在上单调递增，； 4a （2）a<0 时，抛物线开口向下，函数在时， 上单调递增，在上单调递减，。 4a 23 二 次 函 数f(x)=ax 2+bx+c(a 0) 当时 图 象 与x轴 有 两 个 交 点M1(x1,0),M2(x2,0) 。 a 4 根分布问题 : 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，则则则则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

22、23 页(5）若 f(x)=0 在区间对称轴又最大值是8 22 可设，由 f(2)= -1 可得 a= - 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1 ，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1) 即 f(x)=ax-ax-2a-1, 又21221222 即得 a= - 4 或 a=0(舍) f(x)= - 4x2+4x+7 4a 例 2 已知二次函数的对称轴为轴上的弦长为4，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，又 f(x) 截 x 轴上的弦长为4，2 f(x )过点 (2,0)，f(x) 又过点，考点 2二次函数在区间上的最值问题精选学习资料 - - - - - -

23、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页2 例 1已知函数f(x)= - x+2ax+1-a在 0 x1 时有最大值2，求 a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论22 解： f(x)= -(x-a)+a- a+1(0 x 1),对称轴 x=a 1a<0 时， f 20 a1时得3a>1 时，舍) 2 综上所述： a= - 1 或 a=2 2 例 2已知 y=f(x)=x-2x+3, 当 xt,t+1 时，求函数的最大值和最小值。答案：时时1时时例 3已知函数的最大值为2，求 a 的值 42 分析：令，问题就转二次函数的区间

24、最值问题解：令， ，对称轴为， 24 a1，即时，得或（舍去） 24 aa1（2）当，即 a时，函数在单调递增，224 1110 由，得 342 aa1（3）当，即时，函数在单调递减，224 11 由，得（舍去） 42 10 综上可得： a 的值为或 3（1）当考点 3一元二次方程根的分布及取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页2 例 1已知关于x 的二次方程x+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）题意画出（2）在（ - 1，1）上有实根，求k 的取值范围。2 3952 宜采用

25、函数思想，求的值域。练习：方程【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数与非负 x 轴至少有一个交点，求a的取值范围解法一：由题知关于x 的方程至少有一个非负实根， 设根为 x1,x2 2222 则或，得，得 解法二：由题知或指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算n；、；、；、2.指数函数：（） ， 定义域 R，值域为（）.当， 指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的 a 值越大，越靠近y 轴；当时，则

26、相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页. （二）考点分析例 1已知下列不等式，比较m，n 的大小：（1）变式 1：设，那么（）222baaaA.a a b B.a ba C.aab D.aba 例 2函数在0，1上的最大值与最小值的和为3，则 a 的值为（） xbbaabaa 11 B.2 C.4 D. 24 x 例 3已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记A若在区间 ,2 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）2 11 A ,1) D(0, 22 对数与对数函数（一）知识梳理1对数运算：；lnloga

27、M；推论： logaM ；换底公式： logban 2对数函数：如果a（）的 b 次幂等于 N，就是，数 b 就叫做以a 为底的 N的对数， 记作（，负数和零没有对数） ；其中 a 叫底数， N 叫真数 . 当时，的 a值越大，越靠近x 轴；当时，则相反 . （二）考点分析例 1已知函数，g(，且（1） 求函数定义域（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由. 例 2已知A.(0,1) 例 3若是上的减函数，那么a 的取值范围是，且，求实数a的取值范围 . 4 D，则 a 的取值范围是（） 变式 1：若 lo2B(,1) 1 212 幂函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

28、结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页（一）知识梳理1、幂函数的概念一般地，形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，是常数2 幂函数是常数 )的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数是常数 )的图像都过点(1,1)；当0 时函数的图像都过原点(0,0)；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2） ；当时，的的图像在第一象限是“ 凹型 ” 曲线（如 c1）当时，的的图像在第一象限是“ 凸型 ” 曲线（如c3） 2 当时，的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“ 下滑 ” 曲线（如c4）3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点(

29、0,0)，(1,1) ；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点(1,1)；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。（二）考点分析考点 1：利用幂函数的单调性比较大小例 1已知0，试比较的大小；例 2 精选学习资料 - - - -

30、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页已知点在幂函数f(x)的图象上，点，在幂函数g(x)的图象上问当 x 为何值时有：（）； （）； （）函数图象（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，要把线连在恰当处以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和

31、伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿x 轴方向向左或向右平移 |a|个单位即可得到；1）；2）；、竖直平移： 函数的图像可以把函数(x)的图像沿x 轴方向向上或向下平移 |a|个单位即可得到；1）；2）左移 h 右移 h 上移 h 下移 h 对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于y 轴对称即可得到；y 轴、函数的图像可以将函数的图像关于x 轴对称即可得到；、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。直线轴原点、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；直线。翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的 x 轴

32、下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页去掉原 x 轴下方部分，并保留的 x 轴上方部分即可得到；、函数的图像可以将函数的图像右边沿y 轴翻折到 y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留在 y 伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的a 倍得到；、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。a （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例 1 （08 江苏理 14）设函数，若对于任

33、意的都有成立，则实数a 的值为3 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论a 取何值，显然成立；当 x0 即时，可化为，设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页，从而 a4 ；3因 此当x 0 即时 ，可 化 为，在区间上单调递增，因此，从而 a4 ，综上 a4 【答案】 4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例 2 （2009 广

34、东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙（如图 2 所示） 那么对于图中给定的t0 和t1，下列判断中一定正确的是（）A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面B. t1 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 t0 时刻，两车的位置相同D. t0 时刻后，乙车在甲车前面答案A 解析由图像可知，曲线v 甲比 v 乙在 0t0、0t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A. （2）. (2009 山东卷理 )函数的图像大致为( ). D 2 例 3 已知函数满足， 且当时， 则与的图象的交点个数为（）A

35、、2 B、3 C、4 D、5 解析：由知函数作出其图象如右，当x=5 时， f(x)=1,log5x=1; 当 x>5 时， f(x)=1 0，1，与的图象不再C 巩固 设奇函数f(x) 的定义域为R，且对任意实f(x+1)= -f(x) ，若当 x0,1时， f(x)=2-1, 则 f(log16)= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页2 x 的周期为2，有交点，故选数 x 满足例 4 （2009 江西卷文） 如图所示， 一质点 P(x,y)在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 x 轴上的

36、投影点Q(x,0) 的运动速度的图象大致为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页V 答案B 解析由图可知， 当质点 P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点 Q(x,0) 的速度先由正到0、到负数， 再到 0，到正， 故 A 错误； 质点 P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误；质点 P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0) 的速度为常数，因此C 是错误的，故选B. 题型 3：函数的图象变换例 5 （2008 全国文， 21）21 （本小题满分12 分）设，函数（）若是函数的极值

37、点，求a 的值；（）若函数，2，在处取得最大值，求a 的取值范围解：（）因为是函数的极值点，所以，即，因此经验证，当时，是函数的极值点 4分（）由题设，当 g(x) 在区间 0，2上的最大值为g(0)时，3222232 g(0) g(2)，即6 9 分 5 6 反之，当a 时，对任意，2， 5 故得 a0 ，而，故 g(x)在区间 0，2上的最大值为g(0)综上，a的取值范围为 12 分点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页例 6 （2009 四川卷文）已知函数f(x) 是定

38、义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有，则 f()的值是A. 0 B. 答案A 解析若x0 ，则有，取，则有：x2 1 （ f(x)是偶函数，则）由此得于是222 题型 4：函数图象应用例 7函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页A B C D 解 析 ： 函 数的 定 义 域 是 函 数与的 定 义 域 的 交 集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当 x 为很小的正数时且，故。选 A。点评：明确函数图像在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值

39、相乘“ 同号为正、异号为负” 。 例 8已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b 的范围。解法一：观察f(x) 的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0, 得 d=0，又 f(x) 的图象过 (1，0)， f(x)=a+b+c 又有 f(1)0，即 a+bc0 +得 b0，故 b的范围是 (，0) 解法二：如图f(0)=0 有三根 0，1，2，f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x 1)(x 2)=ax33ax2+2ax，b=3a，当 x>2 时， f(x)>0 ，从而有a>0，b0。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围

40、。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知，方程的实根个数为（）A2 B3 C4 D2 或 3 或 4 根据函数与方程的关系，知方程a 数该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当个； 当的根的个数即为函数与函数的图像交点的个时，图像的交点个数为3 个；当时，图像的交点个数为4161 时，图像的交点个数为2 个。选项为 D。 2 点评：该题属于“ 数形结合 ” 的题目。解题思路是将“ 函数的零点 ” 问题转化为 “ 函数的交点问题” ，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。例 10设，若，且，则 ab的取值

41、范围是（）A(0,2) B (0,2 2C(0,4 D (0, 解析：保留函数在 x 轴上方的图像，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数的图像通过观察图像，可知f(x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页)在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且f(b)可知，所以，从而，即，又，所以。选项为A。点评： 考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。2 2.10 函数与方程（一）知识梳理1函数零点概念：对于函数D)，把使成立的实数x 叫做函数的零点

42、。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交点的横坐标。 即： 方程有实数根函数的图象与 x 轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间 (a,b)内有零点。既存在，使得，这个c也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间 a，b上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页叫做二分法给定精度，用二分法

43、求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 a，b，验证，给定精度；（2）求区间 (a，b)的中点 x1；（3）计算 f(x1) ：若 f(x1)=0 ，则 x1 就是函数的零点；若 f(a) f(x1)<0 ，则令 b=x1（此时零点） ；若 f(x1) f(b)<0 ，则令 a=x1（此时零点） ；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值a（或 b） ；否则重复步骤24。（二）考点分析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+ ) （ 2）设 a 为常数，试讨论方程的实根

44、的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与 y=-x+3 的图象 (如图 )。它们的交点横坐标 x0，显然在区间(1，3) ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得；D若，有可能不存在实数(a,b)使得；解析： 由零点存在性定理可知选项D 不正确； 对于选项B，可通过反例在区间上满足，但其存在三个解推翻；同时选项A 可通过反例在区间上满足，但其存在两个解；选项 D正确，见实例在区间上满足，但其不存在实数解”1.（2009 福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以 x2 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页答案A 解析的零点为的零点为的零点为x=0, 4 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1, 所以的零点又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有 2 的零点适合，故选A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页