[工程科技]第五章线性系统的频域分析法.ppt

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1、提示：提示：信号的分解：信号可分解为三角函数的线信号的分解：信号可分解为三角函数的线性组合（傅里叶级数与傅里叶变换）性组合（傅里叶级数与傅里叶变换）基本信号：正弦信号频率特性基本信号：正弦信号频率特性特点：特点： 图解法，计算量小图解法，计算量小 物理意义明确，可实验测定物理意义明确，可实验测定 可兼顾系统动态特性与噪声抑制可兼顾系统动态特性与噪声抑制1.可适用于某些非线性系统可适用于某些非线性系统n频率特性的基本概念n特性曲线的绘制n性能指标的求取：稳定性与动态性能指标n频域分析方法 5-2频率特性一、基本概念一、基本概念( )( )( )C sG sR s( )sinr tAt22( )A

2、R ss22( )( )AC sG ss121niiikkksjsjss2()()( )()|( )()()2sjsjAsjAG jkC s sjG ssjsjj1()()( )()|( )()()2sjsjAsjAGjkC s sjG ssjsjj()( )() | ()|( )j G jjG jG jeAe ()( )|sjG jG s()( )()( )| ()|( )j G jjsjGjG sG jeAe ()()12()()22jjAAkG jekG jejj ()()12( )()2j tj tjtjtAc tk ek eG jeej() sin( )A G jt 正弦信号作用下线

3、性时不变系统稳态响应是同频的正弦信号正弦信号作用下线性时不变系统稳态响应是同频的正弦信号()Gj：反映幅值衰减：反映幅值衰减( ) ：相移：相移()()( )|()jsjG jG sG je 可以作为系统模型可以作为系统模型相频特性相频特性它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； )()(jG幅频特性幅频特性它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； ( ) |()|AG j定义幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性频率特性。),(j

4、G)()()(jeAjG)(jG这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。 还可将 写成复数形式，即 )(jG)()()(jQPjG)(Re)(jGP)(Im)(jGQ例：例：( )1KG sTs( )sinr tt2( )sin(45 )2c tt()1KG jjT22( )1KAT( )arctanT 求求T、K的值的值由相频特性可得，由相频特性可得，T=11由幅频特性可得，由幅频特性可得，K=1二、频率特性的几何表示法二、频率特性的几何表示法 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）0)(P)(Q)()(A11)(2ss

5、ssG一、一、极坐标频率特性曲线（奈魁斯特极坐标频率特性曲线（奈魁斯特NyquistNyquist曲线）曲线） 它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。0)(jG由于 是偶函数，所以当 从 和 变化时，奈魁斯特曲线对称于实轴。| )(|jG00num=1;den=1 1;nyquist(num,den)j( )1KG sTs()1KG jjT22( )1KAT取两个特殊点：取两个特殊点：0( )( )0AK ( )0( )90A 例例( )arctanT 二、二、对数频率特性曲线（波德对

6、数频率特性曲线（波德BodeBode图）图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度： 横坐标分度：横坐标分度：它是以频率 的对数值 进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：logDecDecDecDec12012.log0.0100.1110100由于 以对数分度，所以零频率线在 处。20dB/dec40dB/dec在半对数坐标中，自变量是在半对数坐标中，自变量是log2020log1 log0.1k q 纵坐标分度：纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是

7、以 或 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将 或 值标注在纵坐标上。 )(logA)(log20A)(logA)(log20A直线方程：直线方程：20logL 1( )A40logL 21( )A使用对数坐标图的优点：使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。三、三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）对数幅相特性

8、曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。5-3 典型环节频率特性和开环频率特性logdBL/ )(log)(180180幅频特性： ；相频特性： KA)(0)( 比例环节：比例环节： ;KsG)(KjG)(对数幅频特性： 111000lg20)(KKKKL常数Klog201K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相频特性： 0K0K一、典型环节的频率特性一、典型环节的频率特性 积分环节的频率特性：积分环节的频率特性：sKsG)(2)(eKKjjKj

9、G,log20log20log20)(log20)(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK时，当时，当1( )(/0)2tg KA)(1KdBL/ )()(9020402040110 100110 10010K0)(;log20)(, 10LKKLK时，当时，当可见斜率为可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40/dec 与零分贝线的交点？与零分贝线的交点？K高频段：当 时， 1T1/T1221( ),( )1Atg TT 惯性环节的频率特性：惯性环节的频率特性：1( )1G sTs1()1G jjT幅频特性幅频特性221log20log20)(log20)(TKAL( )

10、20log20log20logLTT低频高频渐近线的交点为： ， ，称为转折频率或交接频率。 TKKlog20log20log20TTo1, 1低频段：当 时， 1T( )0L1/T 这是一条斜率为斜率为-20dB/Dec的直线的直线图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。渐近对数幅频特性曲线渐近对数幅频特性曲线波德图误差分析波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当 时，误差为：o2211log20T当 时，误差为：oTTlog201log20222最大误差发生在 处，为To1)( 31log20202maxdBT 相频特性：相频特

11、性： Ttg1)(0(0)0;1/(1/)45 ;()90TT 当时，当时，当时，。由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。 振荡环节的频率特性：振荡环节的频率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：10TjTjG2)1 (1)(222222)2()1 (1)(TTA幅频特性为：22112)(TTtg相频特性为：22

12、22)2()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。To1相频特性：22112)(TTtg几个特征点：0, ( )0;1/ , ( )90 ;, ( )180oT 。由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -90)点是斜对称的。 对数幅频特性曲线有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。)(A)(Ar212rn该频率称为谐

13、振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。707. 0210r212121()21rrMA当 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。 左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。 微分环节的频率特性：微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22 纯微分：纯微分：2)(l

14、og20)(log20)()(ALA 一阶微分：一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为T1相频特性：几个特殊点如下000, ( )0;1/ , ( )45 ;, ( )90T 相角的变化范围从0到 。090低频段渐进线：0)(log201)(1AAT，时，当高频段渐进线：TLTATlog20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：TtgTA122)(,1)(221lg20)(TL幅频和相频特性为：221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA 二阶微分环节：二阶微分环节：12)(22TssTsG低频渐进线：0)(1LT时，高频渐进线：TTTLTl

15、og40)2()1 (lg20)(12222 时，转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。To1相角：)(,;2)(,1; 0)(0T时，当可见，相角的变化范围从0180度。2222)2()1 (lg20)(TTL 延迟环节的频率特性：延迟环节的频率特性：传递函数：sesG)(频率特性：jejG)(幅频特性：1)(A相频特性：(deg)3 .57)()(rad7. 非最小相位环节非最小相位环节定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递

16、函数称为非最小相位传递函数。 111( )1G sT s211( )1G sT s122211()()1G jG jT11( )tanT 12( )tanT 非最小相位系统对数幅频特性与系统函数有一一对应的关系非最小相位系统对数幅频特性与系统函数有一一对应的关系小结 比例环节和积分环节的频率特性比例环节和积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性低频、高频渐进线，斜率低频、高频渐进线，斜率-20，转折频，转折频率率 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性波德图：低频、高频渐进线，斜率波德图：低频、高频渐进线，斜率-40，转折频率转折频率 微分环节的频率特性微分环节的频率特性有三种形

17、式：纯微分、一阶微分和二阶有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节 延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性T10T10二、开环幅相特性曲线的绘制二、开环幅相特性曲线的绘制12( )( )(1)(1)KG s H ss T sT s12()(1)(1)KG jjjTjT1112( )90tg Ttg T 222221( )11KATT(0)( )0(0)90( )270AA j()180 x 111290 xxtg Ttg T21210 xT T121xT T1 212()xKTTAT Txx：穿越频率：穿越频率例例12(1)(

18、 )( )(1)(1)KsG s H ss T sT s12()(1)(1)KG jjjTjT11112( )90tg Ttg Ttg 222222211( )11KATT (0)( )0(0)90( )180AA j()180 x 1111290 xxxtg Ttg Ttg1221211xTTT T例例21212()1TTTT 1 212TTTT课堂作业：课堂作业：2(1)( )( )(1)KsG s H ss Ts试绘制奈奎斯特曲线试绘制奈奎斯特曲线已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数三、开环对数幅相特性曲线绘制（开环对数幅相特性曲线绘制（Bode图）图）2122221222(1)(2

19、1)( )( )(1)(21)KsssG s H ssT sT sT s 1( )20log( )( )NiiLAL1( )( )Nii 开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。节的波德图，然后相加。11T21T20406080例：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。2121,)1)(1 ()(TTsTsTsksG解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。204060然后，在图上相加。11T21T4590135180)(2703.3.确定低

20、频渐进线：确定低频渐进线： 幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。 2.确定和各转折频率确定和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；标注在频率轴上；绘制步骤：在第一个转折频率之前，有在第一个转折频率之前，有( )KG ss1.1.开环传递函数典型环节分解开环传递函数典型环节分解 斜率为斜率为201( )20logLK1( )0/1LKK. .确定其他特性曲线，在转折频率处斜率发生变化确定其他特性曲线，在转折频率处斜率发生变化 例例100(2)( )( )(2)(20)sG s H ss ss10(0.51)(1)(1)20sss s1

21、2312201012202040-20-20-40-40截止频率：截止频率：c1220 logcL1220log40log1LK5/crad s三频段：低频段，第一个转折频率之前三频段：低频段，第一个转折频率之前中频段，截止频率附近中频段，截止频率附近高频段，中频段之后高频段，中频段之后()1cA10 0.5()1ccccA)5)(1()(sssKsG21)2 . 0(12222ccc例系统开环特性为：) 14 . 025. 0)(125. 0(10)(2ssssGk试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以5 . 0,25. 0,10, 021TTk则，dBkTT20log20, 21,

22、4122112、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）dB020 3、波德图如下：1012420log)(A4060例已知)05. 01)(125. 01)(101 ()1001 (10)(223ssssssG，试画波德图。解：1、,2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;60log20,1043213kk2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。dB40204、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为 ：60)(20mn)60, 1 ( 2123红线为渐进线，兰线为实际曲线。例具有延迟环节的开环频率特性为： ，试画出波德图。jejGjk13)(5 . 0解：5 . 125 . 021313)(jjjkeeejG 可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。3log20100101)(L100101)(1tg5 . 0)(4590四、传递函数的频域实验确定四、传递函数的频域实验确定由频响实验，描点，得由频响实验，描点，得Bode图，再求系统函数图，再求系统函数12201c2c21122( ) ( )(1)(21)KsG s H sTsT sT s11111:20log12ccK122:40log12c21:20log821rrMM