2022年高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析一考试内容：椭圆及其标准方程. 椭圆的简单几何性质. 椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程. 双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程. 抛物线的简单几何性质. 二考试要求：(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4) 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】 圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题： 考查圆锥曲线的概念与性质；求曲线方程和

2、轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题 .三基础知识 : ( 一) 椭圆及其标准方程1.椭圆的定义： 椭圆的定义中， 平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视. 若这个距离之和小于|1F2F| ，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F| ，则动点的轨迹是线段1F2F. 2. 椭圆的标准方程：12222byax（ab0） ，12222bxay（ab0）. 3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上 . 4. 求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标

3、准方程后，运用待定系数法求解 . ( 二) 椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（ab0）. 范围： -a x a， -b xb， 所以椭圆位于直线x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于x 轴、 y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A（ -a ，0） 、2A（a， 0）1B（0，-b ） 、2B（0，b）. 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长分别等于2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率： 椭圆的焦距

4、与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度 .0 e 1.e 越接近于1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0 时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222byax（ab0）的准线有两条，它们的方程为cax2. 对于椭圆12222bxay（ab0）的准线方程，只要把x 换成 y 就可以了，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载即cay2. 3.

5、椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设1F（-c ，0） ，2F（c，0）分别为椭圆12222byax（ab0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2a=2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4. 椭圆的参数方程椭圆12222byax（ab0）的参数方程为cossinxayb（ 为参数） . 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点P的离心角 与直线 OP的倾斜角 不同：tanta

6、nab； 椭圆的参数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 5. 椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （ 2） 过椭 圆22221(0)xyabab外 一点00

7、(,)P xy所 引 两条 切线 的切 点弦 方程 是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc( 三) 双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F| ）的动点M的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中，要注意条件2a|1F2F| ，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解 . 若 2a=|1F2F| ，则动点的轨迹是两条射线；若2a|1F2F| ，则无轨迹 . 若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双

8、曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a0， b0） . 这里222acb，其中 |1F2F|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上 . 对于双曲线， a 不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在

9、哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解. ( 四) 双曲线的简单几何性质1. 双曲线12222byax的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax. 若已知双曲线的渐 近 线 方 程 是xnmy， 即0nymx， 那 么 双 曲 线 的 方 程 具 有 以 下 形 式 ：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数. 3. 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于

10、1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线. 对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（-c ，0 ） 和 （ c ， 0 ）， 与 它 们 对 应 的 准 线 方 程 分 别 是cax2和cax2. 双 曲 线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| ()|aPFexc. 4. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为122

11、22byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 6. 双曲线的切线方程(1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （ 2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页优秀

12、学习资料欢迎下载00221x xy yab. （ 3 ） 双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是22222A aB bc. ( 五) 抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。需强调的是，点F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项

13、；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的正方向； 一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围： x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点： O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率： e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2px；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0） ：221122112:;2:222:;2:22ppypxPFx

14、ypxPFxppxpyPFyxpyPFy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （pO）的焦点F 的弦为 AB ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的倾斜角为 ，则有 |AB|=x1+x2+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦， 只能用“弦长公式”来求。（ 8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0 ，当 a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个

15、公共点。4. 抛 物 线pxy22上 的 动 点 可 设 为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)xy， 其 中22ypx. 5. 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24bacbaa； （ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为241(,)24bacbaa；（ 3） 准 线 方 程 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载2414acbya. 6. 抛物线的内外部(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的

16、内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 7

17、. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2） 过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx. （ 3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. ( 六). 两个常见的曲线系方程(1) 过曲线1( , )0fx y,2( , )0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数 ). (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程22221xyakbk, 其 中22max,kab. 当22min,kab时,

18、表示椭圆 ; 当2222min,max,abkab时, 表示双曲线 . ( 七) 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()| 1tan|1tABkxxxxyyco（ 弦 端 点A),(),(2211yxByx，由方程0)y, x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. ( 八). 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 (

19、)(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB.四基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式： 设 P （x0,y0） 为椭圆12222byax（ab0） 上任一点， 焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则0201,exaPFexaPF（ e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当 P点在右支上时，0201,exaPFexaPF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载（2）当

20、P点在左支上时，0201,exaPFexaPF； （ e为离心率）；另：双曲线12222byax（a0,b0）的渐进线方程为02222byax；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0) 上任意一点，F 为焦点，则20pxPF；y2=2px(p 0)上任意一点， F 为焦点，20pxPF；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，0） ；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A、B 两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长4)(1(121

21、2212122xxxxkxxkAB4)()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为ab22，焦准距为p=cb2，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线12222byax（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b; 8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线 y2=2px(p0) 的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A（x1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论：（1）ABx1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=42p; 10.过椭圆12222byax（ab0）左焦点的

22、焦点弦为AB，则)(221xxeaAB，过右焦点的弦)(221xxeaAB；11.对于 y2=2px(p 0)抛物线上的点的坐标可设为（py220，y0）,以简化计算 ; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆12222byax（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是 AB 的中点，则KABKOM=22ab；对于双曲线12222byax（a0，b0） ，类似可得： KAB.KOM=22ab；对于 y2=2px(p0)抛物线有KAB212yyp13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y 之间的关系，构成F(x,y) 0

23、，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示x1、y1，再将 x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写

24、出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。例题 1求过点（ 2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4 的直线方程。错解： 设所求直线方程为1byax。（ 2，1）在直线上，112ba，又4ab21，即 ab = 8 ，由、得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。剖析： 本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴

25、所围成的三角形面积为21ba，而不是21ab。故所求直线方程应为：x + 2 y = 4 ，或（2+1）x - 2（2-1）y 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。例题 2已知三角形的三个顶点为A（6，3） ，B（9，3） ，C（3，6） ，求A。错解： kAB = 0 ， k AC = 6336= -1，tanA=ABACACkkkk1AB=)1(01) 1(0=1. 又 0A1800，A=450。剖析： 本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。事实上，所求角应是直线AB 到 AC（注意：不是 AC 到 AB

26、）的角。因此，tanA=ABACABACkkkk1= - 1，A=1350。例题 3求过点 A（-4，2）且与 x 轴的交点到（ 1，0）的距离是5 的直线方程。错解： 设直线斜率为k，其方程为y 2 = k（x + 4） ，则与 x 轴的交点为（ -4-k2，0） ，5124k，解得 k = -51。故所求直线的方程为x + 5y 6 = 0 。剖析： 题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱” 。其实 x = - 4 也符合题意。例题 4求过点（ 1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解： 设所求方程为1ayax，将（ 1，1）代入得a

27、 = 2，从而得所求直线方程为x + y 2 = 0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载剖析： 上述错解所设方程为1ayax，其中不含横、 纵截距为 0 的特殊情形， 事实上， 横、纵截距为0 且过点（ 1，1）的直线y = x 也符合条件。例题 5已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2） ，要使过A 点作圆的切线有两条，求a 的取值范围。错解： 将圆的方程配方得：( x + 2a)2 + ( y + 1 )2 = 4342a。其圆心坐标为C（2

28、a， 1） ，半径 r 4342a。当点 A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC r 。即22)12()21 (a4342a。即 a2 + a + 9 0，解得 aR。剖析： 本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC r ，即 a2 + a + 9 0，却忽视了a的另一制约条件4 3 a2 0。事实上，由a2 + a + 9 0 及 4 3 a2 0 可得 a的取值范围是（332,332） 。例题 6已知直线L：y = x + b 与曲线 C：y =21x有两个公共点， 求实线 b 的取值范围。错解： 由21,

29、xybxy消去 x 得： 2y2 - 2by + b2 1 = 0。（ * ） L 与曲线 C 有两个公共点，= 4b2 8 ( b2 1 ) 0，解得2b2剖析： 上述解法忽视了方程y =21x中 y 0 ，1 x 1 这一限制条件，得出了错误的结论。事实上，曲线C 和直线 L 有两个公共点等价于方程（* ）有两个不等的非负实根。021022b-yy01)-8(b-4b2212221byy解得 1 b 2。例题 7等腰三角形顶点是A（4，2） ，底边的一个端点是B（3，5） ，求另一个端点C 的轨迹方程。错解： 设另一个端点的坐标为（x ，y ） ，依题意有：AC=AB，即：22)2()4(

30、yx=22)52() 34(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载 （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。这是以 A（4，2）为圆心、以为半径的圆。剖析： 因为 A、B、C 三点为三角形三个顶点，所以A、B、C 三点不共线，即B、C 不能重合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上， C 点的坐标须满足53yx，且225423yx，故端点 C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10

31、 ( x3,y5；x5,y1)。它表示以（ 4，2）为圆心，以10为半径的圆，除去（3，5） （5，-1）两点。例题 8求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值， 使式中的 x ， y 满足约束条件：351y153y5xyxx错解： 作出可行域如图1 所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。由于经过B 点且与 L0平行的直线与原点的距离最近，故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。 解方程组153535yxyx，得 B 点坐标为 （3，0） ， z最小3350=9。由于经过 A 点且与 L0平行的直线与原点的距离最大，故 z = 3x + 5y 在 A 点取

32、得最大值。解方程组15351yxxy，得 A 点坐标为（23，25） 。 z最大323525= 17 。剖析： 上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z 取得最大值的点。反之，即为 Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。事实上，过原点作直线L0： 3x + 5y = 0 ，由于使 z = 3x + 5y 0 的区域为直线L0的右上方， 而使 z = 3x + 5y 0 的区域为L0的左下方。由图知：z = 3x + 5y应在 A 点取得最大值，在C 点取得最小值。精选学习

33、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载解方程组351yxxy，得 C（ 2， 1） 。 z最小3（ 2） 5（ 1）= 11。例 题9已 知 正 方 形ABCD 对 角 线AC所 在 直 线 方 程 为xy .抛 物 线cbxxxf2)(过 B，D 两点（ 1）若正方形中心M 为（ 2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。（ 2）求证方程xxf)(的两实根1x，2x满足2|21xx解答：（1）设(2,2),(2,2),0Bss Dsss因为 B,D 在抛物线上所以222(2)(2)2(2)(2)sSbScS

34、SbSc两式相减得282sssb则5b代入（ 1）得2244105ssssc288cs故点( , )N b c的方程5(8)xy是一条射线。（2）设(,),(,)0B ts ts D ts ts s同上22()()(1)()()(2)tstsb tsctstsb tsc（1）- （2）得12bt(3)（1）+（2）得22(1)0(4)sbttc（3）代入（ 4）消去t得2221(1)024bbsc得2(1)44bc又( )f xx即2(1)0 xbxc的 两 根12,x x满 足121xxb12xxc222121212|()4(1)44xxxxx xbc故12|2xx。易错原因：审题不清，忽略

35、所求轨迹方程的范围。例题 10已知双曲线两焦点12,F F，其中1F为21(1)14yx的焦点， 两点 A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上， （1）求点1F的坐标；（2）求点2F的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（ 3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载若直线yxt与2F的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t 的取值范围。解答：（1）由21(1)14yx得：2(1)4(1)xy，故1( 1,0)F（ 2）设点2( , )Fx y，则又双曲线的定义得1212| |0AFAFBFBF又21|

36、 | 2 2AFAF22| |AFBF或2211| | 4 2F AF BAFBF点2F的轨迹是以,A B为焦点的椭圆10 x除去点( 1,0),(1,4)或22(1)(2)184xy除去点( 1,0),(1,4)图略。（3）联列：2(1)(2)184yxtxy消去y得22(1)2(2)8xxt整理得：223(46)2810 xtxtt当0时得32 3t从图可知：(,32 3)(32 3,)t，又因为轨迹除去点( 1,0), ( 1,4)所以当直线过点( 1,0), ( 1,4)时也只有一个交点，即1t或 5 (, 323 )( 323 ,)1 , 5t易错原因：（ 1）非标准方程求焦点坐标时

37、计算易错；（ 2）求点2F的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。例题 11已知圆1:221yxO，圆:2O091022xyx都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆 O2：091022xyx，即为16)5(22yx所以圆 O2的圆心为)0 ,5(2O,半径42r, 而圆1:221yxO的圆心为)0, 0(1O,半径11r, 设所求动圆圆心M 的坐标为 (x,y),半径为 r 则1|1MOr且4|2MOr，所以3|21MOMO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载即

38、3)5(2222yxyx，化简得0649801622yxx即1449)25(22yx为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将|21MOMO=3 看成3|21MOMO,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上， |3|21MOMO表示动点 M 到定点1O及2O的距离差为一常数3。且35|21OO,点 M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25(22xyx例题 12点 P与定点 F （2， 0） 的距离和它到直线x=8 的距离比是 1： 3,求动点 P与定点)3 ,45(1P距离的最值。错解：设动点P(x,y)到直线 x=8 的距离为d，则,31|dPF即31|8|

39、)2(22xyx两边平方、整理得29)49()45(222yx=1 （1）由此式可得：222)49()921()45(yx因为221)3()45(|yxPP222)3()49()921 (yy161377)24(812y所以|1PP15343161377max剖析由上述解题过程知,动点 P(x,y)在一椭圆上， 由椭圆性质知， 椭圆上点的横纵坐标都是有限制的， 上述错解在于忽视了223223y这一取值范围， 由以上解题过程知，|1PP的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页优秀

40、学习资料欢迎下载即：当223y时，2233|max1PP例题 13已知双曲线)0,0( 12222babyax的离心率 e=332, 过点 A （b,0） 和 B(a,0)的直线与原点的距离为23,直线 y=kx+m)0,0(mk与该双曲线交于不同两点C、D，且 C、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。错解由已知，有222241332beaabab解之得：1, 322ba所以双曲线方程为1322yx把直线y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得：0336)31(222mkmxxk所以03122km(1) 设 CD 中点为),(00yxP，则 APCD，且易知：202031,31

41、3kmykkmx所以kkkmkmkAP1313131221432mk(2) 将(2)式代入 (1)式得042mm解得 m4 或0m故所求 m 的范围是),4()0 ,(m剖析上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将3142mk代入 (1) 式时， m 受 k 的制约。因为02k所以41m故所求 m 的范围应为m4 或041m例题 14椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上， 离心率23e,已知点 P（23,0）到椭圆上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程。错解设所求椭圆方程为)0( 12222babyax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

42、- - -第 13 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载因为222acaab2112e，所以 a=2b 于是椭圆方程为142222bybx设椭圆上点M（x,y）到点 P)23,0(的距离为d, 则：222)23(yxd493)1(42222yybyb34)21(322by所以当21y时，有1,7342max2bbd所以所求椭圆方程为1422yx剖析由椭圆方程)0( 12222babyax得byb由(1)式知2d是 y 的二次函数，其对称轴为21y上述错解在于没有就对称轴在区间,bb内或外进行分类，其正解应对f(y)=34)21(322by的最值情况进行讨论：（1）当21b，即21b时34)21

43、(2m a x2bfd=71b,方程为1422yx（2）当b21, 即21b时，7)(m a x2bfd7b2123，与21b矛盾。综上所述，所求椭圆方程为1422yx例题 15已知双曲线1222yx,问过点A（ 1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线l存在，并设),(21xxP、),(22yxQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载则)2(12)1 (1222222121yxyx（1）)2

44、(得)(2121xxxx) 3()(212121yyyy因为 A（1，1）为线段PQ 的中点，所以)5(2)4(22121yyxx将(4)、(5)代入（ 3）得)(212121yyxx若21xx，则直线l的斜率22121xxyyk所以符合题设条件的直线l存在。其方程为012yx剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、 （5） 两式可推出 (6)式，但由 (6)式不能推出 (4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由121222yxxy得03422xx根据08,说明所求直线不存在。例题 16已知椭圆134)1(:22yxC，F 为它的右焦

45、点， 直线l过原点交椭圆C 于 A、B两点。求|FBFA是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。错解 设 A、B 两点坐标分别为),(AAyx、),(BByx因为3,422ba，所以122bac，4,212caace又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以215|AxFA即)5(21|AxFA，同理)5(21|BxFB所以|FBFA) 1()(52541BABAxxxx设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程得096)43(22xxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载Y X A B

46、 C O x+y=1 所以BAxx22439,436kxxkBA代入 (1)式得|FBFA)433925(412k所以425|3FBFA，所以FBFA |有最小值3,无最大值。剖析上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l的斜率不存在时，有|FBFA4252525所以FBFA |有最小值为3，最大值为25/4 课后练习题1、圆 x2 + 2x + y2 + 4y 3 = 0 上到直线x + y + 1 = 0 的距离等于2的点共有（）A、1 个B、 2 个C、 3 个D、 4 个分析： 这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导致错选

47、（D ） 。事实上，已知圆的方程为：（x +1 ）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个以（ -1，-2）为圆心，以22为半径的圆，圆的圆心到直线x + y + 1 = 0 的距离为 d=2121=2，这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8 和直线 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距离为2的平行直线即可。如图 2 所示，图中三个点A、B、C 为所求，故应选（C） 。2、过定点（ 1，2）作两直线与圆2222150 xykxyk相切，则k 的取值范围是A k2 B -3k2 C k2 D 以上皆不对解答： D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方

48、程，有些学生不考虑2240DEF3、设双曲线22221(0)xyabab的半焦距为C，直线L 过( ,0),(0,)ab两点，已知原点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载到直线 L 的距离为34C，则双曲线的离心率为A 2 B 2 或2 33C 2D 233解答： D 易错原因：忽略条件0ab对离心率范围的限制。4、已知二面角l的平面角为，PA，PB，A，B 为垂足， 且 PA=4，PB=5，设 A、B 到二面角的棱l的距离为别为yx,，当变化时，点),(yx的轨迹是下列图形中的A B C D

49、解答： D 易错原因：只注意寻找, x y的关系式，而未考虑实际问题中, x y的范围。5、若曲线24yx与直线(2)yk x+3 有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是A 01kB 304kC 314kD10k解答： C 易错原因： 将曲线24yx转化为224xy时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点 (2,-3)且与渐近线yx平行的直线与双曲线的位置关系。6、已知圆3x2+y2=4 和 直线 y=mx 的交点分别为P、Q 两点， O 为坐标原点，则 OP OQ =( ) A 1+m2B 215mC 5D 10 正确答案：C 错因： 学生不能结合初中学过的切割线定OP OQ 等于切线长的

50、平方来解题。7、双曲线92x42y1 中，被点P(2,1) 平分的弦所在直线方程是（）A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在正确答案： D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“”验证直线的存在性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载8、已知是三角形的一个内角，且sin+cos=51则方程x2siny2cos=1 表示（）A 焦点在 x 轴上的双曲线B 焦点在 y 轴上的双曲线C 焦点在 x 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的椭圆正确答案： D 错因：学生