2022年数学分析教案第十三章函数列与函数项级数 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第十三章函数列与函数项级数教学目的： 1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。教学重点难点： 本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。教学时数 ：20 学时1 一致收敛性一函数列及极限函数： 对定义在区间 I 上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念 .逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义 . 例 1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且例 2 .用“”定义验证在内. 例 3 考查以下函数列的

2、收敛域与极限函数: .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载. . . . 设为区间上的全体有理数所成数列. 令, . . , .有, , . （ 注意.）二. 函数列的一致收敛性 : 问题: 若在数集 D 上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的 . 上述例 1、例 3说明连续性未能遗传 ,而例 3说明可积性未能遗传 . 例 3说明虽然可积性得到遗传, 但. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学

3、习必备欢迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段 . 对这种函数 , 就是其表达式 .于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛” . 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义 . Th1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列在数集 D 上一致收敛 , . ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) 易见逐点收敛 . 设,有. 令, 对D 成立, 即, ，D.推论 1 在 D 上,

4、，. 推论 2 设在数集 D 上, . 若存在数列D , 使, 则函数列在数集 D 上非一致收敛 . 应用系 2 判断函数列在数集 D 上非一致收敛时 , 常选为函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载在数集 D 上的最值点 . 验证函数一致收敛性 :例 4. 证明函数列在 R 内一致收敛 . 例 5. 证明在 R 内, 但不一致收敛 . 证显然有,在点处取得极大值,. 由系 2 , 不一致收敛 . 例 6. 证明在内, . 证易见而在内成立 . 由系 1 , 例 7 对定义在区间上的函数列证明: ,

5、 但在上不一致收敛 . P3839 例 3, 参图 13-4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载证时, 只要, 就有. 因此, 在上有. , .于是, 在上有. 但由于, , 因此 , 该函数列在上不一致收敛 . 例 8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性: ; . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1函数项级数及其和函数： ，, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域 , 和函数 , 余项. 例 9 定义在内的函数项级数 ( 称为几何级数) 的部分和函数列为, 收敛域为. 2.一致收敛性 : 定义

6、一致收敛性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数在区间 D 上一致收敛 , , 对D 成立. 推论级数在区间 D 上一致收敛 , , . Th3 级数在区间 D 上一致收敛 , . 例 10 证明级数在 R 内一致收敛 . 证令=, 则时对R 成立. 例 11几何级数在区间上一致收敛；但在内非一致收敛 . 证在区间上 , 有, . 一致收敛; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学

7、习必备欢迎下载而在区间内 , 取, 有, . 非一致收敛 . ( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零 ,非一致收敛.) 几何级数虽然在区间内非一致收敛, 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛” . 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 . 四.函数项级数一致收敛判别法: 1.M - 判别法 : Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数定义在区间 D 上, 是收敛的正项级数 .若当充分大时 , 对D 有|, 则在 D 上一致收敛 . 证然后用 Cauchy 准则. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

8、 - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个 优级数 . 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数在区间 D 上存在优级数, 则级数在区间 D 上一致收敛 . 应用时 , 常可试取.但应注意 , 级数在区间 D 上不存在优级数, 级数在区间 D 上非一致收敛 . 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 12判断函数项级数和在 R 内的一致收敛性 . 例 13 设是区间上的单调函数 . 试证明 : 若级数与都绝对收敛 , 则级数在区间上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业 . .2. Ab

9、el 判别法 : Th 5 设 级数在区间上收敛 ; 对每个, 数列单调 ; 函数列在上一致有界 , 即, 使对和, 有. 则级数在区间上一致收敛 . ( 1P43 ) 2.Dirichlet 判别法 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载Th 6 设 级数的部分和函数列在区间上一致有界; 对于每一个, 数列单调; 在区间上函数列一致收敛于零 . 则级数在区间上一致收敛 . 例 14判断函数项级数在区间上的一致收敛性 . 解记. 则有 级数收敛; 对每个, ； 对和成立. 由 Abel 判别法 ,

10、在区间上一致收敛 . 例 15设数列单调收敛于零 . 试证明 : 级数在区间上一致收敛 . 证在上有. 可见级数的部分和函数列在区间上一致有界 . 取, . 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界 , 而函数列对每一个单调且一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载致收敛于零 .由 Dirichlet 判别法 ,级数在区间上一致收敛. 其实 , 在数列单调收敛于零的条件下 , 级数在不包含的任何区间上都一致收敛. 习题课例 1设, . 且,. 若对每个自然数有|对成立, 则函数列在上一致收敛于函数. 例

11、2证明函数列在区间上非一致收敛 . 例 3, . 讨论函数列 的一致收敛性 . 解0, . | 0|. 可求得. 函数列 在区间上非一致收敛 . 例4设函数在区间上连续 . 定义. 试证明函数列 在区间上一致收敛于零 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载证法一由有界 . 设在区间上|. |; |; |. 注意到对, . 0, , . 证法二. 有界. 设在区间上|. 把函数在点展开成具 Lagrange 型余项的阶 Taylor 公式 , 注意到, 就有, 精选学习资料 - - - - - -

12、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载, , . 所以 , 0, , . 例 5设. 且, . 令, ,. . 试证明 : 若对和, 有, 则函数列在区间上一致收敛 . 证对取, 使时, 有. 于是对任何自然数和, 有. 由 Cauchy 收敛准则, 函数列 在区间上一致收敛 . 例 6 设在数集上函数列 一致收敛于函数. 若每个在数集上有界 , 则函数列 在数集上一致有界 . 证( 先证函数在数集上有界 ) 设在上有|. 对,由函数列 在数集上一致收敛 ,当时 , 对,有|, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

13、结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载| . 即函数在数集上有界. ( 次证函数列 在数集上一致有界) 时, 对,有| , |. 取易见对和有|. 即函数列 在数集上一致有界 . 例 7设为定义在区间上的函数列 , 且对每个, 函数在点右连续 , 但数列 发散. 试证明 : 对), 函数列 在区间内都不一致收敛 . 证反设, 使在区间内一致收敛 . 则对, 有对成立. .为 Cauchy列,即收敛. 与已知条件矛盾 . 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1.连续性: 精选学习资料 - - - - - - - - -

14、名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载Th 1 设在上,且对,函数在上连续 , 在上连续. 证( 要证 : 对, 在点连续 . 即证: 对, , 当|时, . ) . 估计上式右端三项 . 由一致收敛, 第一、三两项可以任意小 ; 而由函数在点连续, 第二项也可以任意小 . 推论 设在上. 若在上间断 ，则函数列 在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立 . 註Th1 表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列, 有. 即极限次序可换 . 2. 可积性 : Th 2若在区间上函数列 一致收敛, 且每个在上连续 . 则有. 证设在上, 由 Th1, 函数在

15、区间上连续,因此可积 . 我们要证. 注意到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载, 可见只要在上成立. Th2 的条件可减弱为 : 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续” .关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是 : Th 设是定义在区间上的函数列 . 若在上收敛且一致可积, 则其极限函数在上( R)可积 , 且有. 3. 可微性 : Th 3 设函数列 定义在区间上, 在某个点收敛. 对, 在上连续可导 , 且由导函数构成的函数列 在上一致收敛 , 则函数列 在区间上收

16、敛 , 且有. 证设，. , . 对, 注意到函数连续和+, 就有+ （ 对第二项交换极限与积分次序）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载+ +. 估计 |+| + |,可证得. 即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.例 1 P38 例 1 ( 说明定理的条件是充分的 , 但不必要 . ) 例 2 P39 例 2( 说明定理的条件是充分的 , 但不必要 . )Ex P42 9，11 P43 4 . 二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 把上述 Th13 表为函数项级数的语言， 即得关于和函数解析性质的相应结果. 例 3P40 例 3 例 4证明函数在区间内连续 . 证( 先证在区间内闭一致收敛 .)对，有，；又，在一致收敛. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛 ; 又函数连续, 在区间上连续 , 在点连续. 由点的任意性 , 在区间内连续 . 例 5, . 计算积分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页