2022年高数一知识点 .pdf

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1、1 第一章第三章一、极限数列极限limnnx函数极限lim( )xf x，lim( )xf x，lim( )xf x0lim( )xxf x，0lim( )xxf x，0lim( )xxf x求极限（主要方法） ：（）100sin1lim1,lim(1),lim(1)xxxxxxexexx（）等价无穷小替换（P76） 。当( )0 x时，2( )( )sin( ) ( ),tan( ) ( ),arcsin( ) ( ),arctan( ) ( ),11cos( ) ( ),ln(1( ) ( ),1 ( ),21( )ln(0),(1( )( )(0)xxxxxxxxxxxxxxexaxa

2、axx代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。（3）洛必达法则（000, 0,0 ,1 ,0） ，只有0,0可以直接用罗比达法则。幂指函数求极限：( )lim( )ln( )lim ( )v xv xu xu xe；或 ， 令( )( )v xyu x， 两 边 取 对 数l n() l n(yv xu x， 若l i m() l n()v xu xa， 则( )lim( )v xau xe。结合变上限函数求极限。二、连续00lim( )()xxf xf x左、右连续0000lim( )(),lim( )()xxxxfxf xf xf x函数连续函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有

3、界，零点（结合证明题），介值，推论。三、导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx左导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 右导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx微分( )yAxzdyAdxy dx可导连续可导可微可导既左可导又右可导求导数：（）复合函数链式法则 ( ) ( )dydy duyf uug xfu gxd

4、xdu dx ( )( )( )( )( ( )yf g xyfg xgxfg xf g x（）隐函数求导法则两边对x求导，注意y、y是x的函数。（3）参数方程求导( )( )( )/( )dydydxtxtytdxdtdtt22( )()()( )( )dtddyd ydttdt dxdxdxtdt四、导数的应用（）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）（）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。（3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性）。第四章不定积分原函数( )( )F xf x不定积分( )( )f x dxF xC基本性质(

5、 )( )dfx dxf xdx或( )( )df x dxfxdx( )( )Fx dxF xc或( )( ).dF xF xC( )( ) dxdxd( )( )f xg xf xg xx(分项积分 ) d( )d)k f xxkfxx基本积分公式(1) dk xkxC; (2) 11(1d)1xxxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 (3) 1ln |dxxCx(4) dxxxeeC(5) xlndxxaaCa(6) dcossinx xxC(7) dsincosx xxC(8) 2sectadnx xxC

6、(9) 2dcsccotx xxC(10) dsxec tansecxxxC(11) dxcsc cotcscxxxC(12) 2arcsin1dxxCx(13) 2arctan1dxxCx除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1. tanln |cos|;xdxxC2. cotln |sin|;xdxxC3. secln |sectan|;xdxxxC4. cscln |csccot|;xdxxxC5. 2211arctan;xdxCaxaa6. 22arcsin;dxxCaax7. 2211ln;2xadxCxaaxa8. 22222arcsin;22axxax dxaxCa9. 22

7、22ln |.dxxxaCxa求不定积分的方法1 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。2 换元法：第一类换元法（凑微分法）() )()()()(d).fxxxf u duF uCFxC第二类换元法（变量代换法）( )( ( )( )( )( ).ddf xxftttF tCFxC（注意回代）换元的思想：( )( )( )( )( )( ( )( )( )( )( ( ).ddxtftt dttxf xxftttg t dtF tCFxC主要有幂代换、三角代换、倒代换3 分部积分法uvdxudvuvvduuvu vdxv的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数精选

8、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 第五章定积分一、概念1.定义011( )lim(),maxnbiiiainif x dxfxx2.性质：设xf、xg在ba,区间上可积，则定积分有以下的性质.(1). abdxba；(2). bababadxxgndxxfmdxxgnxmf)()(；(3). bccabadxxfdxxfdxxf)()()(；(4). 若在,a b上，0 xf，则0)(badxxf；推论 1. 若在,a b上，fxg x，则( )( )bbaaf x dxg x dx推论 2. babadxxfdxx

9、f|)(|)(|（ab）(5). 若函数xf在区间ba,上可积，且Mxfm，则)()()(abMdxxfabmba(6). （定积分中值定理）设xf在区间ba,上连续，则存在ba,，使abfdxxfba)(3.积分上限函数( )xaf t dt及其性质(1) xfdttfxa)(，或xfdttfdxdxa)(；(2) 如果)(0)(xdttfx，则)()(0 xdttfxxxf. (3). 如果( )()( )xxxf t dt, 则( )( )( )xxxf t dtfxxfxx.4.广义积分(1). 无穷限积分afx dxlimtatfx dx收敛（极限存在）发散（极限不存在）精选学习资料

10、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 bdxxflimbttfx dx收敛（极限存在）发散（极限不存在）dxxf收敛的充分必要条件是反常积分0fx dx、0fx dx同时收敛，并且在收敛时，有dxxf0fx dx0fx dx(2). 瑕积分a为瑕点limbbaatafx dxfx dx收敛（极限存在）发散（极限不存在）b为瑕点limbbaatbfx dxfx dx收敛（极限存在）发散（极限不存在）c为瑕点则badxxf收敛cadxxf与bcdxxf均收敛，并且在收敛时，有badxxfcadxxfbcdxxf二、计算（一）定积分的

11、计算1、微积分基本公式：设函数xf在区间ba,上连续，且xfxF，则aFbFdxxfba)(，牛顿 - 莱布尼兹（ N-L）公式2、换元法：设函数xf在区间ba,上连续，函数tx满足： 在区间,上可导，且t连续；a，b，当,t时，bax,，则dtttfdxxfba)()(3、分部积分法：|bbbaaauv dxuvu vdx，或|bbbaaaudvuvvdu4、偶倍奇零：设函数xf在区间aa,上连续，则00( )2( )aaafxfxf x dxfx dxfxfx5、2200cossinxdxxdxnn122!)!12(!)!2(2!)!2(!)!12(knknkkkk精选学习资料 - - -

12、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 6、分段函数的定积分。（二）与积分上限函数相关的计算（三）广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限）三、定积分的应用（一）几何应用1、 平面图形的面积（1）直角坐标ba( ),|(dd)( ) |dxbbaaAf xxAf xg xx（上曲线下曲线），或( ),| ( )( )dy|dydydddcccAyAyy（右曲线左曲线）（2） 参数方程若( )( )xtyt与,xa xb及 x 轴所围成的面积( )( )Att dt，,分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。（3）极坐标由曲线( )

13、,()rr所围的曲边扇形的面积21 ( ).2Ard2、 旋转体的体积（1）直角坐标:由曲线( ),()yf xxa xbab与x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周的旋转体的体积22( )( ).bbaaVfx dxfx dx由曲线( ),()xyyc ydcd与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体的体积22( )( ).ddccVy dyy dy（2）参数方程由( )( )xtyt与,xa xb及 x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体的体积2( )( )Vtt dt3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）（1）直角坐标21 ( )basfxdx（2）参数方程22( )( )sx ty tdt（

14、3）极坐标22 ( )( )srrd（二）物理应用（步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 xOaaxy2aOxyOaaaOxyaaa阿基米德螺线心形线)cos1 (ar双纽线2cos22ar摆线)c o s1()si n(ayax第六章微分方程一 、内容小结：（一） 、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二） 、解的结构齐次线性 ()()0( *yP x yQx y非齐次线性 ()()()( *yPx yQx yfx

15、1、12,yy是（ * ）的解，则1122yC yCy也是 (*) 的解；若12,yy线性无关，则1122yC yC y为（ *）的通解）2、12* ,*yy是（ * * ）的解，则12*yy是对应齐次线性方程的解Y是（ * ）的通解，*y是（ * * ）的解，则*Yy是（ * * ）的通解(三)、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。二、一阶微分方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 1、可分离变量方程( ) ( )yf x g y或( )( )g y dyf x dx或1122( )( )( )( )0M

16、x Ny dyMx Ny dx解法：先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程()yyfx解法：令,yux则yuxu或者()dxxfdyy解法：令,xuydxduudydy3、一阶线性微分方程齐次线性( )( )0()P x dxyP x yyC e非齐次线性()()()()() )Pxd xPxd xyP x yQ xyeQ x ed xC三、二阶微分方程求解(一)、可降阶情形1、( )yf x2、不显含 y 的二阶方程 (, )yfx y解法：,( ,)ypyppf x p令则原方程化为3、不显含 x 的二阶方程 (,)yfy y解法：,( ,)dpdpypyppfy pdydy令则原方程化为

17、(二)、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程 0( * * *yp yq y（其中,p q为常数）特征方程20rprq特征根12,rr12rr且为实根 ,则微分方程通解为1212r xr xyC eC e122prr为相等实根 ,则微分方程通解为12()r xyCC x e1 , 2ri为一对共轭复根,则微分方程通解为12(cossin)xyeCxCx2、二阶常系数非齐次线性微分方程( )(*)xmypyqyPx e,（为常数，( )mPx是 m 次多项式）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 其具有特解形式( ),kxmyx Qx e其中( )mQx为与( )mPx同次的多项式 , 012k不是特征根是特征单根是特征二重根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页