2022年探索二次函数解题技巧 2.pdf

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1、优秀教案欢迎下载初中二次函数综合题解题技巧二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺乏思路 ,感到无从下手 ,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当 ,稳步推进 ,少失分、多得分、是完全可以做到的。第1 小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第23 小题通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、 分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时

2、需要心态平和，切记急躁： 当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。大致将二次函数综合题归为以下7 个类型： 二次函数中线段数量关系的探究问题；二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题；二次函数中旋转、对称的探究问题；二次函数与特殊三角形的探究问题；二次函数与特殊四边形的探究问题；二次函数与圆的探究问题；二次函数中动态的探究问题。下面对每个类型进行逐一说明。类型一二次函数中线段数量关系的探究问题例 1：如图，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A 和点 B（1，0） ，与 y 轴交于点C（0，3） ，其对称轴

3、I 为 x= 1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴I 上。当 PANA，且 PA=NA 时，求此时点P 的坐标。解： （1）二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=- （x+1）2+4，顶点坐标为（-1，4） ；（2）令 y=-x2-2x+3=0，解得 x=-3 或 x=1，点 A（-3，0） ，B（1，0） ，作 PDx 轴于点 D，点 P 在 y=-x2-2x+3 上，设点 P（x， -x2-2x+3 ） PANA ，且 PA=NA ， PAD ANQ ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

4、 - - - - -第 1 页，共 20 页优秀教案欢迎下载AQ=PD ，即 y=-x2-2x+3=2 ，解得 x=-1（舍去）或x=-1，点 P（-1， 2） ；方法提炼：设点坐标：若所求点在x 轴上可设（ x,0） ，在 y 轴上可设（ 0，y） ；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c) ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ -1，y)；若所求的点在已知直线y=kx+b 上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长. 简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。 横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左

5、右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式。根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；跟踪训练1 如图，抛物线y=-x2+bx+c 的图象过点A(4， 0)， B(-4，-4)，且抛物线与y 轴交于点 C，连接 AB ，BC, AC. (1)求抛物线的解析式；(2)若 E 是线段 AB 上的一个动点(不与 A、B 重合 )，过 E 作 y 轴的平行线，分别交抛物线及x 轴于 F、D 两点 . 请问是否存在这样的点 E，使 DE=2DF ？若存在， 请求出点E 的坐标； 若不存在，请说明理由 . 类型二二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题例 2：如图，抛物线y=ax2+

6、bx+c 与 x 轴交于点A和点 B（1，0） ，与 y 轴交于点C（0，3） ，其对称轴I 为 x= 1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴I 上。当 PANA ，且 PA=NA 时，求此时点P 的坐标。当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标方法 1：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页优秀教案欢迎下载当 P 位于第二象限即-3x 0 时， SAOC=92，SOCP=-32x，SOAP=12?3?|yP|= -3

7、2x2-3x+92，SAPC=SOAP+SOCP-SAOC=-32x2+32x-9=-32（x+32）2+278，当 x=-32时取得最大值278；当 x=-32时， SAPC最大值278，此时 P（-32，154）S四边PA= SABC+SAPC，S四边形PABC最大 =758方法 2：可求直线 AC ：YAC=x+3，设 PD 与 AC 的交点为E,则点 E（x，x+3）PE=-x2-2x+3- （x+3）=-x2-3x 当 P 位于第二象限即-3x 0 时， SAPC=12?3?PE=32(-x2-3x) =-32（x+32）2+278，当 x=-32时取得最大值278；当 x=-32时

8、， SAPC最大值278，此时 P（-32，154）S四边PA= SABC+SAPC，S四边形PABC最大 =758方法提炼：三角形面积最值。 分规则与不规则。 有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法或S=12?水平宽 ?铅垂高。四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形。例 3：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 2， 4） ，O（0，0） ，B（2，0）三点。（1）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式；

9、（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值。解： （1）把 A（ 2， 4） ，O（ 0，0） ，B（ 2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页优秀教案欢迎下载解得 a=12，b=1，c=0 所以解析式为y=12x2+x。（2）由 y=12x2+x，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时OM+AM最小 过点 A 作 ANx 轴于点 N 在 RtABN 中

10、，由勾股定理得AB=42 因此 OM+AM最小值为 42 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A、O，求 AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O 关于这条直线的对称点B，将点 A 与 B 连接起来交直线与点M，那么 AB就是 AM+OM的最小值。 同理， 我们也可以做出点A 关于这条直线的对称点A ，将点 O 与A 连接起来交直线与点M，那么 OA 就是 AM+OM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系， “ 两边之和大于第三边” 求第三边的最小值；“ 两边之差小于第三边” ，求第三边

11、的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。跟踪训练2 如图，抛物线 y=x2-bx+c 交 x 轴于点 A（1，0） ，交 y 轴于点 B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使 PAB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练3 抛物线 yax 2 bx c 交 x 轴于 A，B 两点，交y 于点 C，已知抛物线的对称轴为x1，B(3，0)，C(0， 3). (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点 P 到 B，C 两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标

12、；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页优秀教案欢迎下载跟踪训练4（2016 烟台）如图1，已知平行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为 （2，6） ，点 B 在 y 轴上， 且 AD BCx 轴，过 B，C，D 三点的抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的顶点坐标为（2，2） ，点F（m，6）是线段 AD 上一动点，直线OF 交 BC 于点 E（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF 的面积为S，请求出 S 与 m 的函数关系式， 并写出自变量m 的取值范围；（3）如图 2，过点 F 作

13、 FM x 轴，垂足为M，交直线 AC 于 P，过点 P作 PNy 轴，垂足为 N，连接 MN ，直线 AC 分别交 x 轴， y 轴于点 H，G，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值类型三二次函数中旋转、对称的探究问题例 4 在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示放置，点A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ m，1） （ m 0） ，将此矩形绕O 点逆时针旋转90 ，得到矩形OA B C。（1）写出点A、A 、C 的坐标；（2）设过点 A、A 、C 的抛物线解析式为y=ax2+bx+c ，求此抛物线的解析式； （a、b、c 可用含 m 的式子表示）（3）试探究：当m 的值改变时

14、，点B 关于点 O 的对称点 D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m 的值。解： （1）四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标为（ m，1） （m0） ，A（m，0） ，C（0，1） ，矩形 OA B C由矩形 OABC 旋转而成，A （0，m） ，C （ -1，0） ；（2）设过点A、A 、C 的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，A（m，0） ，A （0，m） ， C （-1，0） ，此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；（3）存在。点 B 与点 D 关于原点对称，B（ m ， 1） ，点 D 的坐标为：（-m，-1） ，抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m

15、；假设点 D（-m，-1）在（ 2）中的抛物线上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页优秀教案欢迎下载则 y=-（-m）2+（ m-1） （-m）+m=-1，即 -2m2+2m+1=0 ， =22-4 （-2） 1=120，此点在抛物线上，解得m= 或 m=（舍去） . 方法提炼：（a，b）关于 x 轴对称的点的坐标为（a， b） ；关于 y 轴对称的点的坐标为（a，b） ；关于原点对称的点的坐标为（a， b） ；关于直线x=m 的对称点为（ 2ma，b） ；关于直线 y=n 的对称点为（a，2nb） ；关于点（ m

16、， n）的对称点为（2ma， 2nb） ；绕原点逆时针旋转90 的坐标为 （ b，a） ；绕原点顺时针旋转90 的坐标为 （b， a） ；任意两点 （x1，y1）和（ x2，y2 ）的中点为（，） 。跟踪训练5（2014 烟台）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上， ACB=90，OA=，抛物线 y=ax2axa 经过点 B（2，） ，与 y 轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2） 点 B关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点E，连接 ED，试说明EDAC 的理由跟踪训练 6 若两条抛物线的顶点相同,则称它

17、们为 “ 友好抛物线 ” .抛物线 C1(如图 1): y1=ax2-2x+c 与 C2: y2=-x2+2x-5 为“ 友好抛物线 ”.(1)求抛物线C1的表达式；(2)点 P是抛物线C1上在第四象限的一个动点，过点 P 作 PE x 轴，E 为垂足， 求 PE+OE 的最大值；(3) 如图 2，设抛物线C1的顶点为 C，点 B 的坐标为(-1, -4)，连接 BC.在 C1的对称轴上是否存在点M，使线段MB 绕点 M 顺时针旋转90o得到线段MB ，且点 B 恰好落在抛物线C1上?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 类型四二次函数与特殊三角形的探究问题（1）与直角三角形的探

18、究问题图 1图 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页优秀教案欢迎下载例 5 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,且经过 A(1，0)，C(0,3)两点，与x 轴的另一个交点为B。（1）若直线y=mx+n 经过 B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）设点 P 为抛物线的对称轴x=-1 上的一个动点， 求使 BPC为直角三角形的点P 的坐标 .解： （1）抛物线y=ax2+bx+c （a0 ）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0） ，抛物线与x 轴的另一交点为B，B

19、 的坐标为：（-3，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x-1） （x+3） ，把 C（0，3）代入， -3a=3，解得： a=-1，抛物线的解析式为：y=-（ x-1） （x+3）=-x2-2x+3；把 B（-3，0） ，C（0，3）代入 y=mx+n 得：m=1，n=3直线 y=mx+n 的解析式为：y=x+3 ；（1）设 P（-1，t） ，又 B（-3， 0） ，C（0， 3） ，BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，若点 B 为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，即： 18+4+t2=t2-6t+10，解之得： t=-

20、2；若点 C 为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，即： 18+t2-6t+10=4+t2，解之得： t=4，若点 P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即： 4+t2+t2-6t+10=18 ，解之得： t1= ， t2=综上所述 P 的坐标为（ -1，-2）或（ -1，4）或（ -1，） 或（-1，）方法提炼 (1)：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页优秀教案欢迎下载利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方

21、程有解，此点存在；否则不存在；方法提炼 (2)：利用两直线垂直，K 值互为负倒数（K1K2=-1） ，先确定点所在的直线表达式将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；方法提炼 (3)：利用特殊角45 构造直角三角形，易求点的坐标。（2）与等腰三角形的探究问题例 6 如图，直线y3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过A、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C(3，0)。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解： (1)抛物线的解析式为：y=-x2+2

22、x+3 (2)该抛物线的对称轴为x= 1。设 Q 点坐标为 (1，m) 当 AB=AQ 时 Q 点坐标 (1， 6)，或 (1，- 6)；当 BA= BQ 时 解得： m=0，m =6, Q 点坐标为 (1，0)或(1，6) 此点在直线AB 上，不符合题意应舍去 ; 当 QA=QB 时 解得： m=1， Q 点坐标为 (1，1)抛物线的对称轴上是存在着点Q(1, 6) 、(1,- 6)、(1，0)、(1，1) 方法提炼：设出点坐标，求边长.； （类型一方法提炼）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论， 如： 本题中当AB=AQ时；当 BA= BQ 时；当 QA=QB 时；具

23、体方法如下: 当定长为腰， 找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； 当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页优秀教案欢迎下载作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点。（3）与相似三角形的探究问题例 7 如图，直

24、线y=-x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（ 1，0）三点。（1）求抛物线的解析式; （2） 若点 D 的坐标为（-1， 0） ， 在直线 y=-x+3 上有一点 P,使 ABO与 ADP相似，求出点P 的坐标；解： （1）抛物线的解析式为y=x2-4x+3 （2）由题意可得：ABO 为等腰三角形，若ABO AP1D ，则AOAD=OBDP1DP1=AD=4 , P1(1,4) 若ABO ADP2 ，过点 P2作 P2 Mx 轴于 M， AD=4, ABO 为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，

25、即点 M 与点 C 重合， P2（1，2）方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。跟踪训练7： （2010 烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a 过点 A（1，0） ，B（0，-3） ，与 x 轴交于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC 为以点 B为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由精选学

26、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页优秀教案欢迎下载跟踪训练8：以菱形 ABCD 的对角线交点O 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，已知A（-4， 0） ，B（0，-2） ，M（0，4） ，P 为折线 BCD 上一动点，作PE y 轴于点E，设点 P 的纵坐标为a（1）求 BC 边所在直线的解析式；（2）当 OPM 为直角三角形时，求点P 的坐标跟踪训练9：如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10 与 x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点 C 的坐标是（ 8，4） ，连接 AC ，B C（1）求过 O，A，C 三点

27、的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， PA=QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练10：如图，抛物线y=x2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，其中点A（ 0，1） ，点B（-9，10） ，AC x 轴，点 P是直线 AC 下方抛物

28、线上的动点. （1）求抛物线对应的函数解析式. （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线L 与直线 AB 、AC 分别交于点 E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标 . （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页优秀教案欢迎下载类型五二次函数与特殊四边形的探究问题例 8 如图，抛物线y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点（点A在点 B

29、 的左侧），直线与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2. （1）求 A、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由. 解： (1)令 y=0 可得A(-1 ，0)，B(3，0)，将 C 点的横坐标x=2 代入 y=x2-2x-3，解得 y=-3，C(2，-3)，直线 AC 的函数解析式是y=-x-1 ；(2)存在这样的点F 如图，连接C 与抛物线和y 轴的交点，那么CGx 轴，此时 AF=CG=2 ，因此 F 点的坐标是

30、 (-3，0)；如图， AF=CG=2 ，A 点的坐标为 (-1，0)，因此 F 点的坐标为 (1，0)；此时 C，G 两点关于B 点对称，因此G 点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G 点的坐标为 (1，3) 当 G 点的坐标为： (1+ ，3) 直线 GF 的斜率与直线AC 的相同， 因此可设直线GF 的解析式为y=-x+h ，将 G 点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+直线 GF 与 x 轴的交点F 的坐标为 (4+ ，0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页优秀教案欢迎下载当 G 点的坐标为： (1

31、- ，3)，如图：同上可求出F 的坐标为 (4-， 0) 综上：共存在4 个点 F：F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-， 0) 方法提炼：特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（ 1）先假设结论成立； （2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导） ； （3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨。 探究平行四边形：以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形对角

32、线互相平分的性质进行计算；若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。探究菱形 :已知三个定点去求未知点坐标；已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式。探究正方形:利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解。探究矩形 :利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解。跟踪训练11（2008 烟台）如图，抛物线L1 ：y=-x2-2x+3 交 x 轴于 A，B 两点，交y 轴于 M点抛物线L1 向右平移2

33、个单位得到抛物线L2，L2 交 x 轴于C，D 两点 . （1）求抛物线L2 对应的函数表达式；（2）抛物线 L1 或 L2 在 x 轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点 P是抛物线L1 上的一个动点 （P 不与点 A， B 重合），那么点 P关于原点的对称点Q 是否在抛物线L2 上，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页优秀教案欢迎下载跟踪训练12（ 2017 烟台）如图1，抛物线22bxaxy与 x 轴

34、交于 A，B 两点，与y 轴交 于 点C ， AB=4 矩 形OBDC 的边 CD=1 延长 DC交抛物线于点E（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点 P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点， 过点 P作 y轴的平行线，交直线 EO 于点 G，作 PH EO，垂足为H设 PH 的长为l，点 P 的横坐标为m，求l与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围） ，并求出l的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在一点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件点M 的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练13（2012 烟台）如图，在平面直角

35、坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（1，0） ， C（3，0） ，D（3，4） 以 A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动同时动点Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动点P， Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时间为t秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C，

36、Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值跟踪训练14 如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A （ 6， 0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页优秀教案欢迎下载的面积 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？是否存在点E

37、，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练15 如图，抛物线y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（-4，-4） ，B（ 0，4）两点，直线AC：y=- x-6 交 y 轴于点C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=-x2+bx+c 的表达式；（2）连接GB， EO，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）在 y 轴上存在一点H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以A， E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；在的前提下，以

38、点E 为圆心， EH 长为半径作圆，点M 为 E 上一动点，求AM+CM它的最小值类型六二次函数与圆的探究问题例 9 已知二次函数y=x2+bx+c 的顶点 M 在直线 y=-4x 上，并且图象经过点A（ -1，0） 。（1）求这个二次函数的解析式；（2）设此二次函数与x 轴的另一个交点为B，与 y 轴的交点为C，求经过M、 B、C 三点的 O 的直径长；（3）设 O 与 y 轴的另一个交点为N，经过 P（-2，0） 、N 两点的直线为L，则圆心O 是否在直线L 上，请说明理由。解： （1）由公式法可表示出二次函数的顶点M 坐标代入y=-4x，得到关于b，c 的关系式，再把 A 的坐标代入函数

39、解析式又可得到b，c 的关系式，联立以上两个关系式解方程组求出b 和 c 的值即可求出这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3；（2）分别求出B（3，0） ，C（0，-3） ，和 M（1， -4）的坐标，过 M 作 ME OE，过 B 作 BFEM 交 EM 于 F，OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1 ，MF=2 ，BF=4，EM=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页优秀教案欢迎下载在 Rt BOC，RtCEM ，RtBFM 中，利用勾股定理得：BC=3 ，MC= ，BM=2 ， BC2+MC2=20，B

40、M2=（2 2 BC2+MC2=BM2 MBC 为直角三角形，且BCM=90 ， O 的直径长为BM=2 ；（3）圆心 O 在直线上， 过 O 作 x 轴的垂线， 交 x 轴于 R，过 O 作 y 轴的垂线， 交 y 轴于 T，交 MQ 于 S，设 O 与 x 轴的另一个交点为Q，连接 MQ，由 BM 是 O 的直径，知BQM=90 Q（1，0） ，BQ=2 ，O R OB， QR=1， OR=2，在 RtO RB中，由勾股定理得O R= =2 ，O 的坐标为（ 2，-2） ，OT=2 ， OC=3， TC=1， NC=1 ， ON=1， N 的坐标为（ 0， -1）设过 PN 的直线解析式为

41、y=kx+b ，把 N 的坐标为（ 0，-1）和 P（-2，0）分别代入求得 k=- ，b=-1， 过 PN 的直线解析式为y=- x-1，O 的坐标为（ 2，-2） ， -2=- 2-1=-2， 圆心 O 是在直线上。方法提炼：运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把 “ 新知识 ” 转化为 “ 旧知识 ” ，把“ 未知” 化为 “ 已知 ” ， 把“ 抽象 ” 的问题转化为 “ 具体 ” 的问题，把“ 复杂 ” 的问题转化为“ 简单 ” 的问题。综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出就是从条件与结

42、论出发进行联想、推理，“ 由已知得可知 ” ，“ 从要求到需求” ，通过对问题的“ 两边夹击 ” ，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页优秀教案欢迎下载跟踪训练16（2009 烟台）如图，抛物线y=ax2+bx-3 与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于 C点，且经过点（2，-3a） ，对称轴是直线x=1，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过 C，M 两点作直线与x 轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P， 使以点 P， A， C， N 为顶

43、点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线 y=-x+3 与 y 轴的交点是D，在线段 BD 上任取一点E（不与 B，D 重合） ，经过 A，B， E 三点的圆交直线BC 于点 F，试判断 AEF 的形状，并说明理由；（4）当 E 是直线 y=-x+3 上任意一点时， （3）中的结论是否成立（请直接写出结论）跟踪训练17（2013 烟台）如图， 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为2 的正方形，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A，B，与 x 轴分别交于点E，F，且点 E 的坐标为 （-，0） ，以 OC 为直径作半圆，圆心为 D（

44、1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE 是 D 的切线；（3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为P，M 是线段 CB 上的一个动点 （点 M 与点 B，C不重合），过点 M 作 MN BE 交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM 的长为 t， PMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由跟踪训练18 （2015 烟台）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 M 相交于 A，B，C，D 四点，其中A，B 两点坐标升别为(1，0)，(0， 2)，点 D 在.x 轴上且

45、 AD 为 M 的直径，点E 是M与y 轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F 作FHAD 于点 H，且 FH=1.5. （1）求点 D 的坐标及抛物线的表达式；（2）若点 P是 x 轴上的一个动点， 试求出 PEF 的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页优秀教案欢迎下载最小时点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 类型七二次函数中动态的探究问题例 10（2011 烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边 A

46、B 在 x 轴上，底边CD 的端点 D 在 y 轴上 .直线 CB 的表达式为y= x +，点 A、D 的坐标分别为（4，0） ，（0，4）.动点 P 自 A 点出发，在AB 上匀速运行 .动点 Q 自点 B 出发，在折线BCD 上匀速运行， 速度均为每秒1 个单位 .当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点 P 运动t（秒）时， OPQ 的面积为s（不能构成 OPQ 的动点除外）. （1）求出点B、C 的坐标；（2）求 s随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时s 有最大值？并求出最大值. 解（ 1）把 y4 代入 y x ，得 x1. C 点的坐标为（ 1，4）. 当 y0

47、 时，x 0， x4.点 B 坐标为（ 4，0）. (2)作 CMAB 于 M，则 CM4， BM3. 由勾股定理得BC5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页优秀教案欢迎下载sinABC . 0t 4 时，作 QNOB 于 N， 则 QNBQ sinABC t. S OP QN （4 t ） t t2t（ 0t 4）. 当 4t 5 时， （如备用图1） ， 连接 QO，QP ，作 QNOB 于 N. 同理可得QN t. S OP QN （t4 ） tt2t（4t 5 ）. 当 5t 6 时， （如备用图2）

48、， 连接 QO，QP. S OP OD （t4） 42t8（5t 6）. （3）在 0t4 时，当 t2 时，S 最大. 在 4 t 5 时，对于抛物线S t2t 的顶点为（ 2 ，）. 在 4t 5 时， S 随 t 的增大而增大 . 当 t5 时， S 最大 2. 在 5 t 6 时，在 S2t8 中， K=20， S 随 t 的增大而增大. 当 t 6 时， S 最大 2 684. 综合三种情况，当t6 时， S取得最大值，最大值是4. 方法提炼：动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质

49、、图形的特殊位置。 ）动点问题它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题,其中动点问题有单动点和双动点两种类型。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“ 动 ” 所迷惑，而是要在 “ 动” 中求 “ 静” ， 化“ 动” 为 “ 静” ，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法。考查学生利用动静精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页优秀教案欢迎下载结合、 图

50、形变换的规律分析、解决问题的能力，有效地考查了考生观察、猜想、归纳、 验证、推理等思维能力, 要求学生要会将问题各个时刻的图形分类画图，还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系,就能找到解决问题的途径。跟踪训练19 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c 与坐标轴分别交于点A(0 ，8),B(8 ，0)和点 E,动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒1 个单位长度移动，动点D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C,D 同时出发， 当动点 D 到达原点O 时，点 C,D 停止运动 . (1)直接写出抛物线的解析式:；(2)求CED 的面积 S与