2022年数列的概念与简单表示法》典型例题透析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载数列的概念与简单表示法典型例题透析类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例 1写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:(1) 0, 23,38,415, ；(2) 1, 43,95,167, ；(3) 9, 99,999, 9999,；(4) 6, 1, 6,1,. 解析：（1）将数列改写为1112，2122，3132，4142，故21nnan. （2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1( 1)n来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故1221( 1)nnnan. （3）将数列改写为1101, 2101, 3101, 4101，故101nn

2、a. （4）将数列每一项减去6与 1 的平均值27得新数列25, -25,25, -25, ，故175( 1)22nna或75cos(1) .22nan总结升华： 写通项时注意以下常用思路：若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1) ；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；注意 (1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2) ；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；（ 4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2 的函数为背景。归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化. 熟练掌握一些基本数列的

3、通项公式，例如：数列 -1 ，1， -1 ，1，的通项公式为( 1)nna；数列 1，2，3，4，的通项公式为nan；数列 1，3，5，7，的通项公式为21nan；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载数列 2，4，6，8，的通项公式为2nan；数列 1，4，9，16，的通项公式为2nan；数列 1，12，13，14，的通项公式为1nan。举一反三：【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,；(2) 32, 154, 356, 638, 9910,

4、；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, . 【答案】(1)21nna；(2)2(21)(21)nnann；(3)1( 1)2nna；(4) 将数列变形为10, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , 1( 1)2nnan；(5) 将数列变形为12, 23, 3 4, 4 5, 5 6, ，1( 1)(1)nnan n. 类型二：通项公式的应用例 2. 设数列na满足2nnan，写出这个数列的前五项。思路点拨 : 只需在给出数列na的通项公式

5、中依次取1,2,3,4,5n，便可以求解. 解析： 数列na的前五项为：113a；22142a；335a；44263a；557a. 总结升华： 根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。举一反三：【变式 1】设数列na满足( 1)nnan，写出这个数列的前五项。【答案】1，12，13，14，15. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载【变式 2】根据下列数列na的通项公式，写出它的第五项. （1）21nnan；（2）sin2nnan，【答案】 （1）59；（ 2）5. 例 3已知数列na的通项公式32n

6、an, 试问下列各数是否为数列na的项，若是，是第几项？(1) 94；(2) 71. 思路点拨 : 先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标nN，那么是数列中的项，否则，不是. 解析：（1）设9432n, 解得32n. 故 94 是数列na的第 32 项. （2）设7132n，解得1243nN. 故 71 不是数列na的项 . 举一反三：【变式】已知数列na的通项公式(1)(2)nann, （1）若9900na，试问na是第几项？（2）56 和 28 是否为数列na的项？【答案】 （1）98 项；（ 2）56 是， 28 不是 . 类型三：递推公式的应用例 4. 设数列na满足：1

7、1a，111nnaa(1)n，写出这个数列的前五项。思路点拨 : 题中已给出na的第 1 项11a和递推公式：111nnaa，故可以依次写出下列各项 . 解析：据题意可知：11a，21112aa，321312aa，431513aa，585a故数列的前5 项为 :1 ，2，23，35，58. 总结升华： 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载举一反三：【变式1】已知数列na满足：11a，23a，212nnnaaa (1)n，写出前

8、6项. 【答案】11a，23a，35a，411a，521a，643a. 【变式 2】已知数列na满足：21a，nnaa21，写出前 5 项，并猜想na【答案】法一：21a，22222a，323222a，观察可得nna2法二： 由nnaa21，12nnaa即21nnaa112322112nnnnnnnaaaaaaaannnaa2211类型四：前n项和公式nS与通项na的关系例 5已知数列na的前n项和公式nS，求通项na. （1）221nSnn， (2)2log (1)nSn. 思路点拨 :先由2n时，1nnnaSS，求出na；再由当1n时，11aS，求出1a，并验证1a是否符合所求出的na.

9、解析：(1) 当2n时，221(21)2(1)(1)143nnnaSSnnnnn，当1n时，2112 11 124 13aS，2,(1)43,(2)nnann(2) 当2n时，12221log (1)loglognnnnaSSnnn，当1n时，11221 1log (1 1)1log1aS，21lognnan(nN)为所求 . 总结升华： 已知nS求出na依据的是nS的定义：12.nnSaaa，分段求解，然后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形

10、式. 举一反三：【变式 1】已知数列na的前n项和23nnS，求通项na. 【答案】 当2n时，11111(23)(23)222(21)2nnnnnnnnnaSS，当1n时，11 11123121aS，11,(1)2,(2)nnnan. 【变式 2】已知数列na的前n项积2nSn，求通项na【答案】 当2n时，121nnnnaSSn，当1n时，11121231 1aS，3,(1)2,(2)1nnannn. 类型五：数列na的单调性例 6已知数列na中323nnan, 判断数列na的单调性，并给以证明. 思路点拨 :选择数列中任意相邻两项作差比较即可.解析： 3(3)1111333nnann，1

11、111111(3)(3)043(3)(4)nnaannnn（nN）数列na是递增数列 . 总结升华： 数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明. 举一反三：【变式 1】数列na中：11a,122nnnaaa（nN）（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；（2）判断它的单调性. 【答案】（1）11a,223a,31224a, 425a, 51236a, 21nan；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载（2）方法一： 1222021(2)(1)nnaannnn， 数列na是递减数列 . 方法二： 函数2( )1f xx在1,)x上单调递减，数列na是递减数列 . 【变式 2】数列na中：1( )2nnaa（nN，0a且a为常数），判断数列na的单调性 . 【答案】 11111( )( )( )2222nnnnnaaaaa，当0a时10nnaa， 数列na是递减数列；当0a时10nnaa， 数列na是递增数列 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页