2022年高考数学_数列通项公式求解方法总结 .pdf

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1、保护原创权益净化网络环境求数列通项公式的十种方法一、公式法例 1 已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、累加法例 2

2、已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(21 1)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 3 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - -

3、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例4 已知数列na满足1132313n

4、nnaaa，求数列na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL因此11(1 3)2(1)211313313322 3nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232

5、111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaL，即得数列3nna的通项公式， 最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境后再求数列na的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(11) 5 32 (1)3 2533

6、25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 6 （ 2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaananL所以1123123(1)nnnaaaananaL用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan

7、故11(2)nnanna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境所以13222122! (1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaaLL由123123(1)(2)nnaaaananL，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnanL。所以，na的通项公式为!.2nna评注： 本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaaL，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出

8、数列na的通项公式。四、待定系数法例 7已知数列na满足112356nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax将123 5nnnaa代入式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352 ,1,xxx则代入式得1152(5 )nnnnaa由1156510a及式得50nna， 则11525nnnnaa， 则数列5 nna是以1151a为首项，以2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5

9、nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境将13524nnnaa代入式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52 )24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得115223(522)nnnnaa由115221 12130a及式，得5220nna，则115223522nn

10、nnaa，故数列522nna是以115221 1213a为首项，以3 为公比的等比数列，因此15 22133nnna，则113 3522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列522nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz将212345nnaann代入式，得2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则222(3

11、)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213 1101 18131320a及式，得2310180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 118131

12、32a为首项，以2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan设1lg(1)5(lg)nna

13、x nyaxny11 将式代入11式，得5lglg 3lg 2(1)5(lg)nnanx nyaxny， 两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则lg35lg 25xxxyy，故lg34lg3lg 2164xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境代入11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg71041644164a及12式，得lg3lg3lg 2lg

14、04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg 7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 3

15、32 )5lg(332 )lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2lg4164nan是等比数列， 进而求出数列lg3lg3lg 2lg4164nan的通项公式， 最后再求出数列na的通项公式。六、迭代法例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)2

16、1nnnnaa，所以121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2) (1)11 2(3) (2)(1)(1)123 (1)223(2) 23 (1)233 (2)(1)2332 3(2) (1)213! 21nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaL LL LL又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列

17、的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常 用 对 数 得1lg3(1)2lgnnnana， 即1lg3(1)2lgnnnana， 再 由 累 乘 法 可 推 知(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaaL，从而1(1)3! 225nn nnna。七、数学归纳法例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得2122322243228(1 1)88224(21 1) (213)9925

18、258(21)248 348(221) (223)252549498(31)488480(23 1) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(21 1)9a，所以等式成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)

19、(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列na满足111(1 4124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1

20、)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(1 4124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111 240nnba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132( )( )22nnnb，则21( )32nnb，即21124( )32nna，得2 11

21、1( )( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列，进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法例 14已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所以数列23n

22、naa是以112422343aa为 首 项 ， 以913为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故12132()39nnnaa， 则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124( )41xf xx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境例 15 已知数列na满足1172223nn

23、naaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x是函数31( )47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以135231221222(1)155515115nnnnnnnaaaaaaa，所以数列11na是以1111121a为首项，以52为公差的等差数列，则121(1)15nna，故2823nnan。评注：本题解题的关键是先求出函数31( )47xf xx的不动点，即方程7223xxx的根1x，进而可推出1112115nnaa， 从而可知数列11na为等差数列， 再求出数列11na的通项公式，最后求出数列na的通项公式。十、特征根

24、法例 16已知数列na满足11123(2)1nnnaaanaa，求数列na的通项公式。解 ：113(2)nnnaaan的 相 应 特 征 方 程 为2310， 解 之 求 特 征 根 是12353522，所以12353522nacc。由初始值121aa，得方程组1112221235351()()2235351()()22cccc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境求得1252 5552 55cc从而52 5 3552 5 35()()5252nnna。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根

25、。再由初始值确定出21cc，从而可得数列na的通项公式。求数列通项公式的十种方法一、公式法例 1 已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列n

26、a的通项公式。二、累加法例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(21 1)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出1123221

27、1()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 3 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例5

28、 已知数列na满足1132313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境因此11(1 3)2(1)21131331

29、3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaL，即得数列3nna的通项公式， 最后再求数列na的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(

30、11) 5 32 (1)3 253325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 6 （ 2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaananL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

31、 - - - - - -第 14 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境所以1123123(1)nnnaaaananaL用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122! (1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaaLL由123123(1)(2)nnaaaananL，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnanL。所以，na的通项公式为!.2nna评注： 本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaaL，从而

32、可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。四、待定系数法例 7已知数列na满足112356nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax将123 5nnnaa代入式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352 ,1,xxx则代入式得1152(5 )nnnnaa由1156510a及式得50nna， 则11525nnnnaa， 则数列5 nna是以1151a为首项，以2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

33、 - - - - - -第 15 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy将13524nnnaa代入式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52 )24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得115223(522)nnnnaa由115221 12130a及式，得

34、5220nna，则115223522nnnnaa，故数列522nna是以115221 1213a为首项，以3 为公比的等比数列，因此15 22133nnna，则113 3522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列522nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

35、 - - -第 16 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境将212345nnaann代入式，得2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213 1101 18131320a及式，得2310180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列23101

36、8nann为以213 110 11813132a为首项，以2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg

37、2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境将式代入11式，得5lglg 3lg 2(1)5(lg)nnanx nyaxny， 两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则lg35lg 25xxxyy，故lg34lg3lg 2164xy代入11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg71041644

38、164a及12式，得lg3lg3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg 7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2lg(

39、7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )5lg(332 )lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境lg3lg3lg2lg4164nan是等比数列， 进而求出数列lg3

40、lg3lg 2lg4164nan的通项公式， 最后再求出数列na的通项公式。六、迭代法例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2) (1)11 2(3) (2)(1)(1)123 (1)223(2) 23 (1)233 (2)(1)2332 3(2) (1)213! 21nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaL LL LL又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。

41、评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常 用 对 数 得1lg3(1)2lgnnnana， 即1lg3(1)2lgnnnana， 再 由 累 乘 法 可 推 知(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaaL，从而1(1)3! 225nn nnna。七、数学归纳法例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得精选学习资料 - - - - -

42、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境2122322243228(1 1)88224(21 1) (213)9925258(21)248 348(221) (223)252549498(31)488480(23 1) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(21 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222

43、222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

44、- - - -第 20 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境例 13 已知数列na满足111(1 4124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(1 4124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111 240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132( )( )22nnnb，则21( )3

45、2nnb，即21124( )32nna，得2 111( )( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列，进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法例 14已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnn

46、nnnaaaaaaaaaaaaaa。所以数列23nnaa是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境以112422343aa为 首 项 ， 以913为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故12132()39nnnaa， 则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124( )41xf xx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项

47、公式。例 15 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x是函数31( )47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以135231221222(1)155515115nnnnnnnaaaaaaa，所以数列11na是以1111121a为首项，以52为公差的等差数列，则121(1)15nna，故2823nnan。评注：本题解题的关键是先求出函数31( )47xf xx的不动点，即方程7223xxx的根1x，进而可推出1112115nnaa， 从而可知数列11na为等差数列， 再求出数列11na

48、的通项公式，最后求出数列na的通项公式。十、特征根法例 16已知数列na满足11123(2)1nnnaaanaa，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页保护原创权益净化网络环境解 ：113(2)nnnaaan的 相 应 特 征 方 程 为2310， 解 之 求 特 征 根 是12353522，所以12353522nacc。由初始值121aa，得方程组1112221235351()()2235351()()22cccc求得1252 5552 55cc从而52 5 3552 5 35()()5252nnna。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出21cc，从而可得数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页