2022年文科立体几何知识点方法总结高三复习 .pdf

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1、mll立体几何知识点整理（文科）一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交Al符号表示：3. 线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量 ，ln且l, 则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平

2、行实现。/,/且相交mlml三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。mlnlmllmmlABCllm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方

3、法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二 )线面角(1)定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ，作PO于 O,连结 AO ， 则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0当0时，l或/l当90时，l(3)求法：方法一：定义

4、法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三 )二面角及其平面角(1)定义： 在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、 n，则射线m 和 n 的夹角为二面角 l的平面角。lmlmlcbaABCnAOPlAOP名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - nmlP(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1： 作出二面角的平面角(三垂线定理 )，

5、并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1： 如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP步骤 1： 过点 P 作 PO于 O， 线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化

6、为线面距离。nm如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbamDCBAmn如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm，则异面直线m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacd高考题典例考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱111ABCAB C的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD； （）求二面角1AA DB的大小；A B C D 1A1C1B名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

7、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - （）求点C到平面1A BD的距离解答过程 （）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCA BC中，平面ABC 平面11BCCB，AO平面11BCC B连结1BO，在正方形11BB C C中，OD，分别 为1B CC C，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABA B，1AB 平面1A BD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD于F， 连 结AF，由（）得1AB

8、平面1ABD1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AAD中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1ABD中，11152 26A BDBDA DA BS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3设点C到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS点C到平面1ABD的距离为22考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别

9、为ABBC、的中点，求CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ，EF为BCD的中位线，EFCDCD,面SEF,CDA B C D 1A1C1BO F 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB

10、、BC 、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故 CD 与 SE 间的距离为332. 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆

11、为所求，以下求点 O 平面11DGB的距离 , 1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA, 又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1, 作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离 . 在OGO1中，222212111AOOOSOGO. 又362,23212111OHOHGOOHSOGO. 即 BD 到平面11DGB的距离等于362. B A C D O G H 1A1C1D1B1O名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

12、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解析二BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B 平面11DGB的距离 . 设点 B 到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV, ,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选

13、出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小解答过程 ： （I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE是异面直线AO与CD所成的角在RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CE

14、COOE又132DEAO在RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间OCADBEOCADBxyz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 图形补成熟悉的几何体，其目的在于容

15、易发现两条异面直线间的关系，如解析三 .一般来说， 平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0. 考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 SABCD 中，底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC底面ABCD 已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC； （）求直线SD与平面SAB所成角的大小解答过程：（） 作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面AB，得SO底面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABC， 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SA

16、BC，依题设ADBC，故SAAD， 由2 2ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SDSAB的面积22111222SABSAAB连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB AD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABSABDVV，得121133h SSO S，解得2h设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点

17、明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角例 6如图， 已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30 （I）证明BCPQ（II）求二面角BACP的大小A B C Q P DBCASODBCAS名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 过程指引 ： （I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB因为，PQ，所以CO，又因为CACB，所以OAOB而45BAO，所以45

18、ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC，故PQBC（II）由（ I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO 过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（ I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin 302OHAO在RtOAB中 ，45ABOBAO， 所 以3B OA O， 于 是 在RtBOH中 ，3t a n232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面

19、角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图，已知1111ABCDABC D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD， ， ，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂 足 为A B C Q P O H CBAGHMDEF1B1A1D1C名

20、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan过程指引 ： （1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND因为AEDN，1NDCF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而ENAD，1FDCN又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此

21、推知CNBE，从而1FDBE因此，1EBFD， ， ，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFB23132BCBGCF因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB 平面11BCC B，所以EM 平面11BCCB（3） 如图，连结EH 因为MHBF，EMBF， 所以BF 平面EMH， 得E HB F 于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFB22223311332BCBMBCCF，tan13EMMHCBAGHMDEF1B1A1D1CN名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -