2022年高等数学课本习题答案第01章函数与极限习题详解 .pdf

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1、第一章函数与极限习题详解1 第一章函数与极限习 题 1-1 1求下列函数的自然定义域：（1）2121yxx；解：依题意有21020 xx，则函数定义域( )|2x1D xx x且（2）221arccos36xyxx；解：依题意有2211360 xxx，则函数定义域( )D x（3）2ln(32)yxx；解：依题意有2320 xx，则函数定义域( )|12D xxx（4）312xxy；解：依题意有30 xx，则函数定义域( )|x0, 1D xxx且（5）1sin1,121;xyxx, ，解：依题意有定义域( )|D xxx（6）1arctan3yxx. 解：依题意有030 xx，则函数定义域(

2、 )|3x0D xx x且2已知( )f x 定义域为 0,1 ，求2(),(sin ),(),()()f xfxf xaf xaf xa(0a) 的定义域解：因为( )f x 定义域为 0,1 ，所以当201x时，得函数2()f x的定义域为 1,1 ；当0sin1x时，得函数(sin)fx 定义域为 2 ,(21) kk；当01xa时，得函数()f xa 定义域为 ,1aa；当0101xaxa时，得函数()()f xaf xa 定义域为：（ 1）若12a，,1xaa ；（2）若12a，12x； （3）若12a，x3设2221( )1,2axf xxaaxx其中0,a求函数值(2 ),(1)

3、faf解：因为2221( )12axf xxaaxx，则2211(2 )142afaaaa，20 , 1,11(1)12 ,0 1110 时，不等式42| 103na成立（3） 要使2|3na成立，13,9n取139N， 那么当nN时，2|3na成立 . 2根据数列极限的定义证明：（1）1lim0!nn；（ 2）23lim1nnn解： （1）0， 要使111|0 |!nnn， 只要取1N， 所以，对任意0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解5 存在1N，当nN时，总有1|0|!n，则1lim

4、0!nn. (2)0, 要 使222332|1|2(3)nnnnnn, 即32n, 只 要 取32N,所以 ,对任意的0,存在32N, 当nN, 总有23|1|nn, 则23l i m1nnn.3若limnnxa，证明lim | |nnxa并举例说明：如果数列|nx有极限，但数列nx未必有极限证明 : 因为limnnxa, 所以0, 1N , 当1nN 时, 有 |nxa.不妨假设a0, 由收敛数列的保号性可知:2N , 当2nN 时 , 有0nx, 取12max,NNN, 则对0, N, 当nN时, 有 | | |nnxaxa.故lim | |nnxa. 同理可证0a时, lim | |nn

5、xa成立 .反之 , 如果数列|nx有极限 , 但数列|nx未必有极限 .如：数列1nnx, |1nx，显然lim | 1nnx, 但limnnx不存在4设数列nx有界，又lim0nny证明：lim0nnnx y证明 : 依题意 ,存在 M0, 对一切 n 都有 |nxM ， 又lim0nny, 对0, 存在N, 当nN时 , |0|ny, 因为对上述N, 当nN时 , |0| |nnnnnx yx yMyM,由的任意性 , 则lim0nnnx y5设数列nx的一般项1(3)cos2nnxn，求limnnx解: 因为1lim0 xn, (3)| cos| 12n, 所以1(3)limcos02

6、xnn. 6对于数列nx，若21()kxA k，2()kxA k，证明：()nxA n证明 : 由于21limkkxA, 所以 , 0, 10N, 当1kN 时，有21|kxA, 同理 , 0,20N, 当2kN 时 , 有2|kxA取N=max12,NN, 0, 当nN时 , |nxA成立 , 故()nxA n习 题 1-3 1当1x时，234yx问等于多少，使当|1|x时， |4|0.01y？解：令1|1|2x，则35|1|22x，要使225|4| |34 | |1| |1|1|1|0.012yxxxxx，只要 |1|0.004x，所以取0.004，使当|1|x时， |4| 0.01y成立

7、2当 x时，222123xyx问X等于多少，使当|xX 时， |2|0.001y？解： 要使222217|2| |2|3|3|xyxxM 时,总有sin|0|xx,故sinlim0 xxx.4用X或语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim( )1xf x；（2）lim( )xf xa；（3）lim( )xaf xb；（4）3lim( )8xf x解: (1) 0,0M, 当 x-M 时, 总有 |( )1|fx;(2) 0,0M, 当 |xM , 总有 |( )|f xa; (3) 0,0, 当axa时 , 总有 |( )|f xb; (4) 0,0当33x时, 总有 |( )8|f x5

8、证明 :0lim |0 xx. 证明 : 由于00lim |lim0 xxxx, 00lim |lim()0 xxxx,所以0lim | 0 xx. 6 证明：若 x及 x时， 函数( )f x 的极限都存在且都等于A， 则lim( )xf xA证 明 : 由 于lim( )xf xA,则 对0,10M,当1xM时 ,有 |( )|f xA 又lim( )xf xA,则20M,当2xM ,有 |( )|fxA.取12max,MMM那么对0,当|xM 时,总有 |( )|f xA,故有lim( )xf xA.习 题 1-4 1根据定义证明：（1）211xyx为当1x时的无穷小；（2）1sinyx

9、x为当 x时的无穷小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解7 （3）13xyx为当0 x时的无穷大证明 : (1) 0,因为21|0| |1|1xxx,取,则当 0 |1|x时, 总有0 x,故211lim01xxx(2) 0,因为111|sin0| sin|xxxxx,取1M, 则当 |xM 时, 总有1|sin|1|sin0|xxxxx, 故1limsin0 xxx. (3) 0M, 13M,当 0|x时,总有1311| |3|3|xMxxx,所以013limxxx. 2函数sinyxx

10、在 (0,) 内是否有界？该函数是否为x时的无穷大？解答 : 取2 nxn,则0ny,因此当2 nxnn时, 0nnyx故函数sinyxx 当 x时,不是无穷大量下证该函数在0,内是无界的 . 0M,2 2nxn且nxn, 2 sin 2 2 222nynnn， 取01NM, 002(0,)2xN, 有022nyNM ，所以sinyxx 是无界的 .3证明：函数11cosyxx在区间 (0,1 上无界，但这函数不是0 x时的无穷大证明 : 令1tx,类似第 2 题可得习 题 1-5 1求下列极限：（1）23231lim41nnnnn；（2）111lim1 22 3(1)nn n；（3）2221

11、2limnnnnn；（4）1132lim32nnnnn；（5）2211lim54xxxx；（6）3221lim53xxxx；（7）22lim1xxxx；（8）2221lim53xxxx；（9）330()limhxhxh；（10）22131lim41xxxx；（11）3131lim11xxx；（12）23lim531xxxxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解8 （13）33111lim11xxxxx；（14）3lim21xxx；（15）3lim(236)xxx；（16）323327lim3

12、xxxxx解: (1) 23231lim41nnnnn = 233311lim0411nnnnnn(2) 111lim1 22 3(1)nn n = 111111lim()()()12231nnn= 1lim(1)11nn(3) 22212limnnnnn=21(1)12lim2nn nn(4) 1132lim32nnnnn=21()13lim2332 ()3nnn(5) 2211lim54xxxx=1(1)(1)lim(1)(4)xxxxx=112lim43xxx(6) 3221lim53xxxx=322132523(7) 22lim1xxxx=22222211lim1xxxxxxxxxx=

13、221lim1xxxxx=2111lim21111xxxx(8) 2221lim53xxxx=2212lim2531xxxx(9) 330()limhxhxh=322330(33)limhxx hxhhxh=3220lim(33)3hxxhhx (10) 3131lim11xxx=2313(1)lim1xxxx=21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx=212lim11xxxx(11) 23lim531xxxxx=22311lim0315xxxxx(12) 33111lim11xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，

14、共 26 页第一章函数与极限习题详解9 =2233322133333( 11)( 11)(1)(1)(1)(1) )lim( 11)(1)(1)(1)(1) )( 11)xxxxxxxxxxxxxxxxx=2233312 (1)(1)(1)(1) )lim2 ( 11)xxxxxxxxx=62 (13) 3lim21xxx=2lim12xxx(14) 3lim(236)xxx=32336lim(2)xxxx(15) 323327lim3xxxxx=32331lim(327)lim3xxxxxx2设,0,( )2,0.xexf xxax问当 a 为何值时，极限0lim( )xf x存在解：因为0

15、000lim( )lim1, lim( )lim(2)xxxxxf xef xxaa ，所以，当00lim( )lim( )xxf xf x，即1a时，0lim( )xf x存在3求当 x1时，函数12111xxex的极限解：因为11211111limlim(1)0,1xxxxxexex11211111limlim(1),1xxxxxexex所以12111lim1xxxex不存在。4已知2lim (5)1xxaxbxc，其中,abc 为常数，求a 和b的值解：因为2222(5)(5)lim (5)lim5xxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxaxbxc222(25)(25)= limlim

16、155xxca xba xbxcxbcxaxbxcaxx，所以25015aba，则2510ab5计算下列极限：（1）01limsin0 xxx；（2）sin1limlimsin0 xxxxxx;（3）11limsin0 xxx；（4）arctan1limlimarctan0 xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解10 6 试问函数215sin,0 ,10 ,0,( )5,0.xxxxf xxx在0 x处的左、 右极限是否存在？当0 x时，( )f x 的极限是否存在？解：200lim

17、( )lim(5)5xxf xx，001lim( )lim(5sin)5xxf xxx，因为(0 )(0 )ff，所以0lim( )5xf x习 题 1-6 1 计算下列极限：（1）10lim 12xxx；（2）22lim 1xxx；（3）122lim2xxx；（4）5lim5xxxx解： （1）1211()220022lim(1)lim(1)xxxxexx （2）( 4)242022lim(1)lim(1)xxxxexx（3）121122 22222lim()lim(1)22xxxxxxe （4）51051051010lim()lim(1)(1)555xxxxxxxx510510101010

18、lim(1)lim(1)55xxxexx2计算下列极限：（1）0limcotxxx；(2) 0sin 2lim3xxx；（3）0coscos3lim5xxxx；（4）302cos1limxxx；（5）1limsinxxx；（6） lim2sin(2nnnxx为不等于零的常数） 解：00cos(1)limcotlim1sinxxxxxxx00sin 22sincos2(2)limlim333xxxxxxx00coscos32sin 2 sin(3)limlim055xxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页

19、第一章函数与极限习题详解11 2233000222sinsincos122(4) limlimlim022xxxxxxxxxx1sin1(5) limsinlim11xxxxxxsin2(6) lim 2 sinlim22nnnnnnxxxxx3利用极限存在准则证明：（1）数列3 ，33 ，333 ，的极限存在；证明：先用数学归纳法证明数列nx单调递增。由于213330 xx。假设10nnxx成立，则1133nnnnxxxx ，所以数列nx单调递增下证有界性1313x，假设13nx，则133(13)312 313nnxx，故 013nx，即数列nx有界根据单调有界准则知limnnx存在不妨设l

20、imnnxA， 则有3AA ， 解得11132A，21132A（舍去），即有113lim2nnx（2）3lim11nn；证明：因为33111nn，又3lim1lim 11nnn，所以3lim11nn(3) 226662121lim32nnnnnnnn；证明：因为222211626662612.2nnkkkknnnnnnnnnnn，又22116261limlim3nnkknnkknnnn，所以原式成立(4) 01lim1xxx证明：对任一xR，有1xxx ，则当0 x时，有1111xxx于是（1）当0 x时，111(1)xxxxxx，由夹逼准则得01lim1xxx（2）当0 x时，111(1)x

21、xxxxx，同样有01lim1xxx习 题 1-7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解12 1 当0 x时，22xx 与2332xx 相比，哪一个是高阶无穷小？解：因为232032lim02xxxxx，所以2332xx 是比22xx 高阶无穷小2 证明：当0 x时，2sec12xx证明：因为22200011sec11cos1coslimlimlimcos222xxxxxxxxxx，又2(1cos )2xx，则20sec1lim12xxx，故2sec12xx3 利用等价无穷小的性质，求下列极

22、限：（1）0tanlim(,sinxnxnmmx为正整数）；（2）20121limsin3xxxx；（3）20ln(123)lim4xxxx；（4）sin301limarctanxxex；（5）01coslim(1cos)xxxx；（ 6）2021coslimsin 3xxx；（7）2330357lim42tanxxxxxx；（8）220sintan3limsin52xxxxxx；（9）30lim2xxxxab,其中0,0ab, 均为常数 . 解：00tan()(1)limlimsinxxnxnxnmxmxm22001(2)12112(2)limlimsin336xxxxxxxx2200ln(

23、123)231(3)limlim442xxxxxxxxsin300sin113(4)limlimarctan3xxxxexx2000011cos1cos112(5) limlimlimlim12(1cos)(1cos)(1cos )1cos2xxxxxxxxxxxxxxx22230000121cos2(1cos )12(6)limlimlimlimsin 3(3 )sin 3 (21cos )21cosxxxxxxxxxxxx1121 87 222233000357333(7)limlimlim42tan2tan22xxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

24、归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解13 2200sintan344(8)limlimsin5255xxxxxxxxx22(sintan34 ,sin525 )xxxxxxx因为30023 l n (1 )32l i ml i m l n ()20( 9 ) l i m ()2xxxxxxxababxxxxxabee003(2)3 (1) (1)2limlim2xxxxxxababxxee33(lnln )22()abeab当0 x时，若124(1)1ax与sinxx是等价无穷小，试求a解：依题意有1240(1)1lim1sinxaxxx，因为

25、14122241(1)11()1()4axaxax，sinxx，则12242001()(1)14limlim1sin4xxaxaxaxxx，故4a习 题 1-8 1研究下列函数的连续性：（1）,|1,( )1,| 1;xxf xx（ 2）1 ,( )0 ,.cxQf xxQ解答： （1）在, 1 和1,内连续，1x为跳跃间断点；（2）( )f x 在R上处处不连续。2讨论下列函数的间断点，并指出其类型如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续（1）11( )1xf xe；解答：( )f x 在,0和 0,内连续，0 x为跳跃间断点（2）1sin,0 ,( )0 ,0 ;xxf xxx解：

26、( )f x 在R上是连续的（3）221( )32xf xxx；解：( )f x 在 （， 1） ，（1， 2） 和 （2，） 内连续，x=1 为可去向断点， 若令(1)2f,则( )f x 在 x=1 连续； x=2 为第二类向断点（4）1( )sinf xx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解14 解：( )f x 在（，0）和 (0,) 内连续， x=0 为第二类向断点；（5）22( )|(1)xxf xxx；解：( )f x 在 (, 1)， （ 1， 0） ， （0，1）和 (1

27、,) 内连续； x=1是第二类间断点；x=0 是跳跃间断点；x=1 是可去间断点，若令1(1)2f，则( )f x 在 x=1 处连续（6）1,3,( )4,3.xxf xxx解：( )f x 在 (,3) 和 3,) 内连续， x3 为跳跃间断点3讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型（1）1( )lim(0)1nnf xxx；解：1,01,1( )1,2,0,1.xf xxx1x为跳跃间断点；（2）22(1)( )lim1nnnxxf xx解：,| 1( )0,| 1,| 1xxf xxxx11xx和为跳跃间断点4设函数2sin 2,0 ,( ),0.xxf xxxax试确定 a 的

28、值，使函数( )f x 在0 x处连续解：因为20000sin 2lim( )lim2, lim( )lim (),xxxxxf xf xxaax(0),fa 所以，依题意有a =2. 5设函数ln(13 ),0 ,( )sin1,0 xxf xaxbxx在点0 x处连续，求a 和b的值解 ： 因 为0000ln(13 )3lim( )lim(1)1,lim( )limsinxxxxxf xbxf xaxa，(0)1,f依 题 意 有3,ab 为任意实数6试分别举出具有以下性质的函数( )f x 的例子：(1) 110,1,2,2xnn是( )f x 的所有间断点，且它们都是无穷间断点，例如：

29、( )cot()cotf xxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解15 (2)( )f x 在R上处处不连续，但( )f x 在R上处处连续；例如：1,( )1,;cxQf xxQ(3)( )f x 在R上处处有定义，但仅在一点连续，例如：,( ),.cxxQf xxxQ习 题 1-9 1研究下列函数的连续性：（1）2( )cosexf xxx；解答：因为2( )cosxf xxxe 在,上是初等函数， 所以( )f x 在,上连续（2）33( )27xf xx；解答：显然当3x时，(

30、)f x 无意义， 但3331lim2727xxx， 则3x是函数33( )27xf xx的可去间断点（3）2( )12f xxx；解答：当2120 xx时，即4,3x时，( )f x 连续求下列极限：（1）11limsin53xxx；解：11limsin()sin1;532xxx（2）2lim arcsinxxxx ；解：2lim arcsin()xxxxlim arcsinx222()()xxxxxxxxx21lim arcsinarcsin26xxxxx；（3）11ln(2)2lim3arctan4xxx；解：111ln(2)ln(21)122lim;3arctan3arctan144x

31、xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解16 （4）10lim 14xxxx；解：10lim 14xxxx11( 4 )40lim1( 4 )xxxxxx4e；（5）20lim1ln 1xxx；解：12ln(1)2ln(1)00lim1ln(1)lim1ln(1)xxxxxxxx2e；（6）121 cos0lim(1e )xxxx；解：22112221 cos1 cos00lim(1)lim(1);xxxexxxxx exxx ex ee（7）201tan1sinlim1sinxxxxxx；

32、解：201tan1sinlim1sinxxxxxx220( 1tan1sin)( 1tan1sin)lim1sin11sin1xxxxxxxx（）（）21sin11tan1sinxxx2200(tansin )1sin1limlimsin1tan1sinxxxxxxxxx20tan(1cos )limsinxxxxx22012lim2xxxx x；（8）2cot0lim(cos)xxx；解：2cot0lim(cos)xxx21cos11cos1tan20lim(1cos1)xxxxxe；（9）lim lnln(2)nnnn解：lim lnln(2)nnnn2limlnlimln(1)22nnn

33、nnnn2limln(1)2nnn222222limln(1)ln22nnnnen；3设函数( )f x 与( )g x 在点0 x 连续，证明函数( )max( ) ,( )xf xg x，( )min( ) ,( )xf xg x在点0 x 也连续证明：略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解17 4若函数2,0,( )sin,0abxxf xbxxx在 (,) 内连续，则a 和b的关系是（） Aab Bab C ab D 不能确定解 答 ： 因 为20000sinlim( )lim(),

34、 lim( )lim,xxxxbxf xabxaf xbx(0),fa 依 题 意 有ab5设2lim8xxxaxa且0a，求常数 a的值解 ： 因 为333233lim()lim(1)lim(1)x aaxxxaax axxxxaaaexaxaxa， 则38ae， 所 以ln2a习 题 1-10 1.证明方程ln2xx在 (1, )e 内至少有一实根证明：令( )ln2f xxx，则( )f x 在1,e上连续，又(1)20f，( )20,f ee根据零点定理，( )ln2f xxx在开区间 (1, )e 内至少有一点使( )0f， 即ln2xx在(1, )e 内至少有一实根2证明方程51x

35、x有正实根证明：令5( )1f xxx，则( )f x 在 (,) 内连续，又(0)10f，(1)10f，根据零点定理，5( )1f xxx在 (0,1) 内至少有一点，使( )0f，即51xx有正实根3设函数( )f x 对于闭区间 ,a b 上的任意两点x 、y，恒有( )( )f xf yL xy ，其中L为正常数，且( )( )0f af b证明：至少有一点( , )a b ，使得( )0f证明：任取( , )xa b ，取x，使( , )xxa b ，依题意有 0()( )f xxf xLx ，则0lim()( )0 xf xxf x，即0lim()( )xf xxf x，由 x 的

36、任意性，可知( )f x 在 ( , )a b 内连续，同理可证( )f x 在点 a 右连续，点b左连续，那么，( )f x 在 , a b 上连续。而且( )( )0f af b，根据零点定理，至少有一点( , )a b ，使得( )0f4若( )f x 在 , a b 上连续，12naxxxb ，则在1(,)nxx内至少有一点，使12()()()( )nf xf xf xfn证明：因为( )f x 在 , a b 上连续，所以( )f x 在 , a b 上有最小值m ，最大值M，使得1()mf xM ,2()mfxM ，.，()nmfxM ， 因此12()().()nf xf xf x

37、mMn，由介值定理得，在1(,)nx x内至少有一点，使12()()()( )nf xf xf xfn. 若( )f x 在 , a b 上连续，, ,0 (1, 2 , 3,)iixa btin ，且01niit试证至少精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解18 存在一点(,)ab 使得1122( )()()()nnft f xt f xt f x证明：因为( )f x 在 , a b 上连续，所以( )f x 在 , a b 上有最小值m ，最大值M，使得1()mf xM,2()mfxM，

38、.，()nmf xM， 那 么1111tt()tmfxM，2222tt()tmf xM ，nnn.tt()tnmf xM ，即111( )nnniiiiiimtt f iMt，又11niit，故1( )niimt f iM ，由介值定理可知，至少存在一点( , )a b 使得1122( )()()()nnft f xt f xt f x6证明：若( )f x 在 (,) 内连续，且lim( )xf x存在，则( )f x 必在 (,) 内有界证明：因为lim( )xf x存在，则必有0X， 使得当 xX 时，对任意的， 有( )f xa，因此，( )f x 在区间(,)X 及区间(,)X上有界

39、，即当(,)(,)xXX，存在10M，有1( )f xM ，同时，( )f x 在 ,X X 上连续，有由有界性定理知，存在20M，当2,( )xX Xf xM，取12max,MMM ，则当(,)x时，总有( )f xM ，即( )f x 在 (,) 内有界复习题 A 1. 设21( )2f xx, ( )1xg xx, 求( ) ,fg xgfx及其定义域 . 解: 22211( )4221xfg xxxxx, 其定义域为2420 xx且1x, 即|221Dx xx且;. 2221121312xgfxxx,其定义域为22203-0,xx且|23Dx xx且. 2.求函数2( )(1)sgnf

40、 xxx的反函数 . 解: 因22(1),0( )0,01,0 xxf xxxx, 所以 , 1(1),1( )0,01,1xxfxxxx3单项选择题(1) 下列各式中正确的是（）A10lim 1exxx；B01lim1exxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解19 C1lim 1exxx；D1lim1exxx(2) 当0 x时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（） A2x；B1cosx；C211x；Dtanxx(3) 极限12111lime1xxxx为（）A1；B0

41、；C；D不存在但不为(4) 若当0 xx时，( )x和( )x都是无穷小， 则当0 xx时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小（） A( )( )xx；B2( )x和2( )x；Cln 1( )( )xx；D2( )( )xx(5) 设22,1,( )1,1xxbxf xxax适合1lim( )xf xA，则以下结果正确的是（） A4,3,4abA；B4,4,aAb可取任意实数；C3,4,bAa可取任意实数；D, ,a b A都可取任意实数解答：(1) A; (2) D; (3) D: (4) D; (5) C4.求下列极限 : (1) 111sin3lim3sinlim3 333nnnnnn;

42、 (2) 1111188lim(1)lim188718nnnn; (3) 2222()()lim arccos()lim arccosnnxxxxxxxxxxxx; =21lim arccosarccos23nxxxx; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解20 (4) 2001cos22sin2limlimsin333xxxxxxxx; (5) 2200011sincoscos1limlimlimcos0;xxxxxxxxxxx(6) 2200161216121612limlim44161

43、2xxxxxxxxxxxxxx=20088limlim14161241612xxxxxxxxxx; (7) 22222000sinsin2sin ()sin ()1cos(sin)122limlimlim;2(1)24xxxxxxInxxx(8) 1111limsinsinlimsinlimsinxxxxxxxxxxx1sin1limlimsin101;1xxxxxx(9) 2222lim()lim(1);x aaxxaaxaxxxaaexaxa(10) 100limcoslim1(cos1)xxxxxx1cos11cos120lim1(cos1)xxxxxe5 设当0 xx时，( )f x是

44、比( )g x高阶的无穷小 证明：当0 xx时，( )( )f xg x与( )g x是等价无穷小证明 : 由已知得0( )lim0,( )xxf xg x则00( )( )( )limlim(1)1,( )( )xxxxf xg xf xg xg x即( )( )( )f xg xg x与是等价无穷小6已知32lim82xxaxbx，求常数a与b的值解 ：因 为32lim82xxaxbx， 所 以32lim()820 xxaxbab， 则3222(2)2(4)82 ,limlim2(2)xxxaxbxxxabaxx那么22lim2(4)128xxxaa，4,0ab解得7.设1110,6(1)

45、.nnnxxxnx证明数列极限存在，并求此极限证明：用数学归纳法证明此数列的单调性因为110 x及2164xx， 可知12,xx假设1,nnxx则11266nnnnxxxx， 所以 nx单调递减， 又显然0nx，即nx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解21 有下界，由单调有界准则知nx存在极限，设limnnxA，16nnxx对两边取极限，有A=6A ，解之得A=3 或 A=2（舍去），即得limnnx=38.确定常数a 与 b 的值，使得函数( )f x =1sin6x,0,2x3 ,0,

46、(1) ,0.xxax xbxx处处连续解：当0 x时，( )f x =sin62xx和当0 x时，( )f x =1(1)xbx，显然它们都是连续的，又0limxf （ x） =0limxsin 62xx=3，0limxf （ x） =0limx1(1)xbx=0limx(1)bbxbx=be ， 当0 x时， ( )f x =a,要使 f（x）在 x=0 点也连续，则be =3=a,即 a=3,b=ln39.求下列函数的间断点，并判断其类型（1）( )f x =1arctanx；解：因为0limx( )f x =0limx1arctanx=2，0limx( )f x =0limx1arct

47、anx=2，又0 x时，( )fx连续，所以只有x=0 为间断点， x=0 为跳跃间断点（2）( )f x =tanxx；解：当 tanx=0 时，有 x=0 或 x=n（n=1,2,）因为00lim( )limtanxxxf xx=1，所以x=0 为可去间断点又limxntanxx=（n=1,2,） ，所以 xn（n=1,2,）为无穷间断点 当2xn（n=1,2,）时，2limxntanxx=0，所以2xn（n=1,2,）是可去间断点（3）( )lim1nxnxxxef xe；解：( )lim1nxnxxxef xe=1,0,1,02,0,xxx x，因0limxf（ x）=0，0limx(

48、 )f x =1，所以 x=0 为跳跃间断点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页第一章函数与极限习题详解22 复习题 B 1单项选择题（1）当0 x时，下列无穷小量中与x不等价的是（） A233xxx B 2ln(1)xx C 24e251xxx D 2sin(6sin)xx（2）下列极限不存在的是（） A1sinlim (2)xxxx B 01limsinxxx C 231limxxxx D 0ln(1)1lim(arctan)xxxx（3）极限（）等于eA1lim(1)xxx B 11lim (1)xxx C

49、1lim (1)xxx D 01lim(1)xxx（4）设n，数列|( )|( )f ng n，如果lim( )3ng n，则lim( )nf n的值为（） Alim( )3nf n B3lim( )3nf n Clim( )3nf n D 3lim( )3nf n（5）已知22lim()11xxaxbx，其中a与b为常数则（） A2a，3b B 2a，3b C 2a，3b D 2a，3b（6）设函数3( )sinxxf xx，则（） A有无穷多个第一类间断点 B只有1个可去间断点C有2个跳跃间断点 D有3个可去间断点解答：（1）D;（2）C;（ 3）B;（ 4）B;（ 5）C;（6）D（提示

50、： x=0，1 为可去间断点）2填空题（1）设函数( )f x 的定义域是0,1 ，则1()1xfx的定义域是 _（2）计算22011limln1xxxxxx=_（3）设21220lim(122)eax bxxxx，则a=_，b（4）设0 x时，2cosxxxee与 x是同阶无穷小，则（5）设30( )lim3xf xx，则0( )limxf xx，20( )limxf xx（6） 在“充分”、 “必要” 和“充分必要” 三者中选择一个正确的填入空格内：数列nx有界是数列nx收敛的条件；函数( )f x的极限0lim( )xxf x存在是( )f x在0 x的某一精选学习资料 - - - -