2022年数列通项公式的求法 .pdf

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1、不同的信念，决定不同的命运常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列, 求通公式项时, 只需求出1a与d或1a与q, 再代入公式dnaan11或11nnqaa中即可 . 例 1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13 后成为等比数列nb的345,b b b,求数列nb的的通项公式 . 练 习 ： 数 列na是 等 差 数 列 , 数 列nb是 等 比 数 列 , 数 列nc中 对 于 任 何*nN都 有1234127,0,6954nnncab cccc分别求出此三个数列的通项公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

2、结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运2、 累加法形如nfaann 11a已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当fnd为常数时，na为等差数列，则11naand；（2）当fn为n的函数时，用累加法. 方法如下：由nfaann 1得当2n时，11nnaafn，122nnaaf n，L322aaf，211aaf，以上1n个等式累加得11 +221naafnfnffL1naa1 +221f nfnffL（3）已知1a，nfaann 1，其中f n可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 若fn可以是关于n的一次函数，累加后

3、可转化为等差数列求和；若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例 2、数列na中已知111,23nnaaan, 求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运练习 1：已知数列na满足11322,.nnnaanaa且求练习 2：已知数列na中，111,32nnnaaan, 求na的通项公式 . 练习 3：已知数列na满足11211,2nnaaann求求na的通项

4、公式 . 3、 累乘法形如1nnafna1a已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式. 给递推公式1,nnafnnNa中的n依次取 1,2,3 ，1n, 可得到下面1n个式子：23412311 ,2 ,3 ,1 .nnaaaaffffnaaaaL利用公式23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaaL可得：11231 .naaffff nL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运例 3、已知数列na满足11,2,31nnnnaaaan求. 练习 1：数列na中已知1121,nnanaa

5、n, 求na的通项公式 . 练习 2: 设na是首项为1的正项数列，且2211(1)0nnnnnanaaa，求na的通项公式 . 4、 奇偶分析法(1) 对于形如1nnaafn型的递推公式求通项公式当1nnaad d为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论 . 当f n为n的函 数 时 ，由1nnaafn，11nnaaf n两式相 减， 得到+111nnaaf nfn，分奇偶项来求通项. 例 4、数列na满足111,4nnaaa，求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

6、 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运练习：数列na满足116,6nnaaa，求na的通项公式 . 例 5、数列na满足110,2nnaaan，求na的通项公式 . 练习 1: 数列na满足111,1nnaaan，求na的通项公式 . 练习 2：数列na满足112,31nnaaan，求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运(2) 对于形如1nnaafn型的递推公式求通项公式当1nnaad d为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶

7、数项来讨论 . 当fn为n的函数时，由1nnaaf n，11nnaafn两式相除，得到+111nnfnaafn，分奇偶项来求通项 . 例 6、已知数列na满足112,4nnaaa，求na的通项公式 . 练习：已知数列na满足112,23nnaaa，求na的通项公式 . 例 7、已知数列na满足1113,2nnnaaa，求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运练习 1: 数列na满足112,3nnnaaa，求na的通项公式 . 练习 2：数列na满足111,2nnnaaa，求

8、na的通项公式 . 5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求na较难 , 可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列, 从而根据等差或者等比数列的定义求出通项 . 常见的有 : (1)1,nnapaq p q为常数1,nnnatp atat构造为等比数列. (2)11111,npnnnnnnnaaapatpt ptpp两边同时除以为常数(3)11111,1npnnnnnnnaapapatqt p qtqq q两边同时除以为常数再参考类型(4)1, ,nnapaqnr p q r是常数11nnanp an(5)21+nnnapaqa2111t,tnnnnnnatap aaaa构造等比数列精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运例 8、已知数列na中，11a，321nnaa，求na.练习： 已数列na中，11a且111,_.2nnnaaa则例 9、已知数列na中，1113,33nnnaaa, 求na的通项公式 . 练习 1：已知数列na中，113,22nnnaaa，则na_练习 2：已知数列na中，112,34 33nnnaaa, 求na的通项公式 . 例 10、已知数列na满足11162,1,nnnaaa求.na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、 - - - - -第 8 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运练习 1：设数列 na 满足nnnaaa23, 111，则na_练习 2：已知数列na中，111511,632nnnaaa，求na. 练习 3：已知数列nanN的满足：111113 ,432,7nnnak aankkR（1）判断数列47nna是否成等比数列；（2）求数列na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运例 11、数列na中已知111,23nnaaan, 求na的通项公式 . 练习 1：数列na中已知1

11、12,32nnaaan, 求na的通项公式 . 练习 2：数列na中已知2112,322nnaaann, 求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运例 12、已知数列na中，12125,2,2+33nnnaaaaan，求 求na的通项公式 . 练习 1：已知数列na中，12+2+1211,2,+33nnnaaaaa，求 求na的通项公式 . 练习 2：在数列na中，11a，235a，2na135na23na，令1nnnbaa。(1) 求证 :数列nb是等比数列，并求nb。(

12、2) 求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运6、利用na与nS的关系如果给出条件是na与nS的关系式 , 可利用111,2nnnanaSSn求解 .例 13、已知数列na的前 n 项和为322nnSn，求na的通项公式 . 练习 1：已知数列na的前 n 项和为2134nSnn，求na的通项公式 . 练习 2：若数列na的前n项和为33,2nnSa求na的通项公式 . 练习 3：已知数列na前n项和2142nnnSa, 求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - -

13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运7、 倒数法（1）11111=,nnnnnnnnpaqapqaqapapaapa构造是等差数列(2) 1111=nnnnnnnpaqattqaqatapap ap例 14、已知数列na满足1=1a，1232nnnaaa，求na的通项公式 . 练习：已知数列na中，113,12nnnaaaa则na_.例 15、已知数列na满足1=1a，11234nnnaaa，求na的通项公式 . 练习：已知数列na中，1122,31nnnaaaa则na_.精选学习资料 - - - - - - - -

14、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运8、1110,0lglglg,rnnnnnnnapapaapraapaq两边取对数转化为型例 16、已知数列na中，211100,10,nnaaa求na练习：已知数列na中，3112,2,nnaaa求na9、其他例 17、已数列na中，11a，11nnnnaaaa，则数列通项na_. 例 18、在数列na中，1a 1， n 2 时，na 、nS 、nS 12成等比数列 . （1）求234,aaa ； （2）求数列na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

15、 - - - - - -第 14 页，共 15 页不同的信念，决定不同的命运例 19、已知在等比数列an中，11a，且2a是1a和31a的等差中项 . （1）求数列 an的通项公式；（2）若数列nb满足12323nnbbbnbanNL，求数列nb的通项公式例 20、已知等差数列an的首项 a1 1，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项（1）求数列 an与 bn的通项公式；（2）设数列 cn对任意正整数n，均有3121123nnnccccabbbb，求 cn.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页