2022年高考题型专题冲刺精讲专题三立体几何 .pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题三立体几何【命题特点】考小题，推陈出新。有关立体几何的小题，其考查的重点在于基础知识。其中，三视图、点直线平面之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容，特别是三视图， 是新课标增加的内容。考大题， 全面考查。考查立体几何的大题中，一般是考查线、面之间的平行、垂直关系，线面角、面面角，面积、体积等问题，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识, 基本方法 , 基本技能的理解、掌握和应用情况。【试题常见设计形式】高考题型：立体几何的试题一般以两小一大命题。立体几何的热点是三视图，近两年课改地区的高考试题中，都出现三视图的试题，应引起重视。另外

2、证明线线、线面、面面垂直、平行，二面角、线面角等重点内容也会重点的考查。三视图是新课标新增的内容，课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。证明空间线面、线线、面面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路。角和距离问题，可以用空间向量来解决，应加强训练。与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用。平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变。【突破方法技巧】立体几何解题过程中，常有明显的规

3、律性，所以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念、从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系了，如果出现在等腰（或等边）三角形的底边上，那就是出垂直了。所以中点联系到了平行和垂直两大位置关系，能够利用这些规律去解决问题，会使我们思路更加明确而避免走弯路。1位置关系： （1）两条异面直线相互垂直证明方法：证

4、明两条异面直线所成角为90o；证明线面垂直，得到线线垂直；证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。2求距离： 求距离的重

5、点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。 （2）点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法。3求角（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是2,

6、0(，向量所成的角范围是,0，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为2或2。（3）平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或 。【典型例题分析】考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积【例 1】 2010 陕西文 如图，在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩

7、形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点 . ( ) 证明：EF平面PAD； ( ) 求三棱锥EABC的体积 V. 考点二：直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质掌握直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直）的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的问题，能证明一些空间位置关系的简单命题。【例 2】2010 辽宁 已知三棱锥P ABC中， PA ABC ，AB AC ， PA=AC= ?AB ，N为AB 上一点， AB=4AN,M,S分别为PB,BC

8、的中点 . （）证明： CM SN ； （）求SN与平面 CMN 所成角的大小 . 【 例 3】2010 辽宁如 图，棱柱111ABCA B C的侧面11BCC B是菱形，11B CA B（）证明：平面1AB C平面11A BC；（）设D是11AC上的点，且1/A B平面1B CD，求11:A DDC的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载DCBAP【例 4】2010 安徽 、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，22ABEF，/EFAB，EFFB，90BFC，BFFC，H为BC的

9、中点 .( ) 求证：/FH平面EDB；( )求证：AC平面EDB；( ) 求四面体BDEF的体积 . . 【例 5】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC （I ）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE；（II ）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离考点三： 空间距离和角近几年的高考题比较注重求问形式的多元化，但问题最终的落脚点无外乎是证明平行或垂直、求解角度或距离；而解决的方法也是主要集中在一两个常见的形式上。比如求证空间中某直线和某平面的平行关系，要么采用

10、线面平行的判定定理在该平面中找到一条和该直线平行的直线（利用中位线或平行四边形），要么采用面面平行的性质定理构造过该直线与该平面平行的平面。再比如利用“三垂线”求作二面角的平面角，一般只要在其中一个半平面内找到一点 P，过它的一个平面和另一半平面相交得到交线，再过点P作此交线的垂线，垂足即为点 P射影，之后过此射影作二面角的棱的垂线并连结垂足和点P ，平面角即会出现；这种方式还会用在求解线面角、点面距等问题当中，应当认真体会。另外“空间向量”的引入，会为我们开辟一条新的道路，尤其在求解空间角与距离的问题中，“向量法”更是极具可操作性、规律性，并具有一定的优势。只要能够建立恰当的坐标系、掌握好“

11、法向量”的求解方法并学会各种角与距离的向量法求解公式，问题一般就不难解决了，但是必须要保证运算的精准！【例 6】如图，四棱锥P-ABCD中，PD 平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC ，BCD=900（）求证： PC BC （）求点A到平面 PBC的距离(19)第题图GABCDHEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载【例 7】 2010 天津、如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是 正方形，FA平面 ABCD ， BC AD ，CD=1 ， AD=22， BAD CDA

12、 45. （）求异面直线CE与 AF所成角的余弦值； （）证明CD 平面 ABF ；（）求二面角B-EF-A 的正切值。【例 8】2010 陕西如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2， E， F 分别是 AD， PC的中点（） 证明：PC 平面 BEF ； （）求平面 BEF与平面 BAP夹角的大小。【例 9】 2010 浙江 如图， 在矩形ABCD中，点,E F分别在线段,AB AD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将AEFV翻折成A EFV， 使平面A EFBEF平面. （）求二面角AFDC的余弦值；（）点,M N分别在线

13、段,FD BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长。【例 10】 2010 山东 如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形 （）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【例 11】2010 广东 如图 5，弧 AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧 AC的中点，点B和点 C为线段AD 的三等分点平面AEC 外一点F 满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

14、 - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载5FBDFa， FE=6a （）证明： EB FD； （）已知点Q,R分别为线段FE,FB 上的点，使得22,33BQFE FRFB, 求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值【例 12】2010 四川 、已知正方体ABCDABCD 的棱长 为 1，点M是棱AA 的中点，点O是对角线BD 的中点 . （）求证：OM为异面直线AA 和BD 的公垂线；（）求二面角MBC B 的大小；（）求三棱锥MOBC的体积 . 【例 13】如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAE

15、F（ I）求证：EFBCE平面；（ II ）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？若存在， 请指出点M的位置， 并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （ III）求二面角FBDA的大小。例 14】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB CD，AD=CD=2AB, E、F分别为PC 、CD的中点 . （）试证： CD平面 BEF ；（）设PAkAB, 且二面角E-BD-C的平面角大于30, 求k的取值范围 . 【突破训练】1、 如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。 （）证明：平面P

16、AC平面PBD; （）若6AB,APBADB60, 求四棱锥PABCD的体积。DABCDMOABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载2、2010 北京、 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE AC,EF AC,AB=2，CE=EF=1. （）求证：AF平面BDE； （）求证：CF平面BDE ；（）求二面角A-BE-D的大小。3、2010 江西 如图 BCD与 MCD 都是边长为2 的正三角形，平面MCD 平面 BCD ，AB平面 BCD ，2 3AB。（）求点A到平面 MBC

17、的距离；（）求平面ACM 与平面 BCD所成二面角的正弦值。4、 如图4， 在正三棱柱111ABCA B C 中 , 12ABAA , 点D是11A B 的中点，点E在11AC 上，且DEAE. ( ) 证明：平面ADE平面11ACC A ；( ) 求直线AD和平面1ABC 所成角的正弦值 . 5、 2010 天津、如图，在长方体1111ABCDA B C D中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1: 2: 4ABADAA（）求异面直线EF与1A D所成角的余弦值；（）证明AF平面1A ED（）求二面角1AEDF的正弦值。法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，

18、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载设1AB, 依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0, 4)A,31,02E6、如图，四棱锥S-ABCD中， SD底面 ABCD ，AB/DC，ADDC ，AB=AD=1 ，DC=SD=2 ，E为棱 SB上的一点，平面 EDC平面 SBC .（）证明：SE=2EB ； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . 7、如题（ 19）图，在四棱锥S-ABCD中， AD BC且 AD CD ；平面CSD 平面 ABCD ，CS DS ，CS=2AD=2 ；E 为

19、BS 的中点， CE=2， AS=3求：（）点A到平面 BCS的距离；（）二面角E-CD-A 的大小。8、如图，四棱锥FABCD 的底面 ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE 、CF都与平面ABCD垂直， AE=1，CF=2.（I ）求二面角BAFD的大小；（II ）求四棱锥EABCD与四棱锥 FABC D公共部分的体积. 9、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD， AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱AD 、AA1、AB的中点。（）证明：直线EE1/ 平面 FCC1； （）求二面角B-FC1-C 的余弦

20、值。10、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证： 平面ABM平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离 . 11、如图，在五面体ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ，ABAD ，M为 EC的中点， AF=AB=BC=FE=12ADm (I) 求异面直线BF与 DE所成的角的大小； (II) 证明 平面 AMD平面 CDE ； （III）求二面角A-CD-E 的余弦值。12、如图，正三棱柱111ABCAB

21、 C的所有棱长都为2，D为1CC中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1AA DB的大小；（）求点C到平面1ABD的距离13、如图， 在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2 ，AB=PA=2，PA 底面 ABCD ，E是 AD的中点， F 在 PC上（）求 F在何处时， EF平面 PBC ； （）在（）的条件下，EF是不是 PC与 AD的公垂线段 . 若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；（）在（）的条件下，求直线BD与平面 BEF所成的角 . 14、如图，在四棱锥P ABCD中， PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，ABC= BAD=90 ，EADBCPBPA.21为 AB 中点， F 为 PC中点 . （I ）求证： PE BC ； （II ）求二面角CPE A的余弦值；（III）若四棱锥P ABCD 的体积为4，求 AF的长 . A B C D 1A1C1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页