2022年数学分析习题及教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一、单项选择题（每小题3 分，3618 分）1、 下列级数中条件收敛的是（） A1( 1)nnB1( 1)nnnC21( 1)nnnD11(1)nnn2、 若f是(,)内以2为周期的按段光滑的函数, 则f的傅里叶（ Fourier）级数在它的间断点x处 （） A 收敛于( )f xB 收敛于1(0)(0)2fxf xC 发散D可能收敛也可能发散3、函数)(xf在,ba上可积的必要条件是（） A有界B连续C单调D存在原函数4、设( )f x的一个原函数为ln x，则( )fx（ ）A1xBlnxxC21xDxe5、已知反常积分20 (0)1dxkkx收敛于 1，则k（）A2B22

2、C2D246、231ln(ln)(ln)( 1)(ln)nnxxxx收敛，则（）A xeBxeC x为 任 意 实 数D1exe1、已知幂级数1nnna x在2x处条件收敛，则它的收敛半径为数学分析复习资料（11021102班专用）二、填空题（每小题3 分， 36 18 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载2、若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn，则其通项nu，和S3、曲线1yx与直线1x，2x及x轴所围成的曲边梯形面积为4、已知由定积分的换元积分法可得，10()( )bxxae f e d

3、xf x dx，则a，b5、数集( 1)1, 2 , 3,1nnnn的聚点为6、 函数2( )xf xe的麦克劳林 （Maclaurin） 展开式为1、 (1)dxxx2、2lnxx dx3、22 0 (0)aaxdx a4、2 00coslimsinxxt dtx5、2 01sin2x dx四、解答题（第1 小题 6 分，第 2、3 小题各 8 分，共 22 分）1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数3、设( )f xx, 将f在(,)上展为傅里叶（Fourier）级数五、证明题（每小题6 分， 62 12 分）1、

4、已知级数1nna与1nnc都收敛，且, 1, 2, 3nnnabcn，证明：级数1nnb也收敛 2 、证明：22 0 0sincosnnx dxx dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载答案一、单项选择题（每小题3 分， 3618 分） B B A C D D 二、填空题（每小题3 分， 3618 分）22,= 2(1)nuSn nl n 21,abe1201,(,)!nnxxn三、计算题（每小题6 分， 6530 分）1.解111(1)1xxxx1(1)dxxx11()1dxxxlnln 1.xxC

5、2.解由分部积分公式得231lnln3xxdxxdx3311lnln33xxx dx33111ln33xxxdxx3211ln33xxx dx3311ln39xxxC3.解令sin ,0,2xat t由定积分的换元积分公式，得220aax dx2220cosatdt220(1cos2 )2at dt2201(sin2 )22att2.4a4.解由洛必达 (LHospital) 法则得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载200coslimsinxxtdtx20coslimcosxxx0limcosxx15

6、.解201 sin2xdx220(sincos )xx dx20sincosxxdx4204(cossin )(sincos )xx dxxx dx2404(sincos )(sincos )xxxx2 22.四、解答题（第1 小题 6 分，第 2、3 小题各 8 分，共 22 分）1.解(,) ,xn+（正整数）22sin1nxnn而级数211nn收敛，故由M 判别法知，2.解幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn，收敛区间为( 1,1)易知1nnxn在1x处收敛，而在1x发散，故1nnxn的收敛域为 1,1)01,( 1, 1)1nnxxx逐项求积分可得21sinnnxn在区间(,

7、)上一致收敛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载0001,( 1,1)1xxnndtt dtxt即101ln(1),( 1,1).1nnnnxxxxnn3.解 函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。由于( )f x在(,)为奇函数，故0,0, 1, 2,nan，而1sin11coscosnbxnxdxxnxnxdxnn1( 1)2nn所以在区间(,)上，11sin( )2( 1).nnnxf xxn五、证明题（每小题5 分， 5210 分

8、）1.证明由1nna与1nnc都收敛知，级数1()nnnca也收敛。又由, 1, 2, 3nnnabcn，可知，0,1,2,3,nnnnbacan从而由正项级数的比较判别法知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载1()nnnba收敛，于是由(),1,2,3,nnnnbbaan知级数1nnb收敛2.证明令2xt，则2tx. 由定积分的换元积分公式，得0202sinsin ()2nnxdxt dt2200sin ()cos2nnt dttdt20cosnxdx（由于总结的定理和答案要打出来太长，总共有七八十页，要打出来的话有点太多，得不偿失，所以大家还是多看看书吧，顺便做两套题，大家加油哦！）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页